高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.1 B.2 C. D.0【答案】B【解析】由偶函數(shù)性質(zhì)得，.故選：B.4.從和兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】組成兩位數(shù)的樣本空間，樣本點(diǎn)總數(shù)為8.能被3整除的數(shù)為24，42，有2個.故所求概率為.故選：D．5.圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn).設(shè)拋物線的方程為，由點(diǎn)可得，解得，所以.當(dāng)時，，所以水面寬度為.故選：C.6.已知橢圓，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若線段軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)、，由題意可得，，則，兩式相減可得，所以，，解得，因此，直線的斜率為.故選：A.7.若動圓過定點(diǎn)，且和定圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A.（） B.（）C.（） D.（）【答案】D【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)，由兩圓外切可得，所以,所以的軌跡為雙曲線的右支.設(shè)的軌跡方程為，則，所以軌跡方程為.故選：D.8.已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與在第一象限的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，下列結(jié)論正確的是（）A.直線過點(diǎn) B.直線的傾斜角為C. D.是等邊三角形【答案】ABD【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，而，所以直線過點(diǎn)，故A正確；設(shè)直線的傾斜角，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，即直線的傾斜角為，故B正確；因?yàn)?，故C錯誤；因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可知，，又，所以是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】.A：，所以的最小正周期為，故A正確；B：令，得，當(dāng)時，，所以為函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；C：令，得，當(dāng)時，，所以為函數(shù)的一個對稱中心，故C錯誤；D：令，得，當(dāng)時，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，而為的真子集，故D正確.故選：ABD.11.若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點(diǎn)H，使得平面C.線段長度的最小值是D.存在點(diǎn)H，使得【答案】ABC【解析】對于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，過點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，對于C：，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知單位向量滿足，則與的夾角為__________.【答案】【解析】由，可得，解得，則，又，所以與的夾角為.13.如圖，在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則__________.【答案】6【解析】棱長為的正方體中，連接，則是邊長為的等邊三角形，.14.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)與在第一象限的交點(diǎn)為，且，記的離心率分別為，則__________.【答案】2【解析】由題意可知，，所以.因?yàn)椋?，即，所?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知在中，，，，記的外接圓為圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.解：（1）（方法一）直線的方程為，、的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，直線的方程為，、的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為.直線與直線的交點(diǎn)為，即圓的圓心為.點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法二）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，解得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓圓心為，，直線的斜率為，所以切線斜率為，所求切線方程為，整理得.16.如圖，長方體的底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則證明：.因?yàn)?，所以，平面ACD1，所以平面.（2）易知為平面的一個法向量，且..易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，是與的一個公共點(diǎn)，，.（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且與相切的直線與交于點(diǎn)，求.解：（1）記，則拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為.因?yàn)?，所以，解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，記，因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所以，?由解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.設(shè)直線.聯(lián)立得.由，解得，則.設(shè).聯(lián)立得，則，故.18.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.（1）證明：.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左?右頂點(diǎn)分別為，圓過點(diǎn)（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與雙曲線的左?右兩支的交點(diǎn)分別為，，連接并延長，交雙曲線于點(diǎn)，記直線與直線的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在曲線