高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省棗莊市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：第I卷共11小題，1-8每小題5分，9-11每小題6分，共58分.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對得5分，選錯(cuò)得0分.1.已知（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，，，，，則以，，，為一個(gè)周期，因，則，故，則.故選：D2.已知，是平面外的兩條直線，在的前提下，是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如圖，在正方體中，記平面為，直線為，若記直線為，則滿足，但，故無法得出；因，則直線共面，記直線所確定的平面為，若，則；若，則由，可得，則，因，，，則，故由可得出.綜上可知，是的必要不充分條件.故選：B.3.在中，為中點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又，由題知，所以，則，故選：D4.已知，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】向量在向量上的投影向量為.故選：C.5.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)解，則（）A.4 B.8 C.6 D.0【答案】B【解析】由題意可得，，化簡整理得，則，得，則.故選：B6.已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形，則該圓錐的母線為（）A.6 B.12 C.3 D.2【答案】A【解析】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，則，因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，所以，即，所以.故選：A.7.已知棱長為的正方體的一個(gè)面在一半球底面上，且四個(gè)頂點(diǎn)都在此半球面上，則此半球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)半球的球心為，半徑為，連接，由題易知半球的球心是底面正方形的中心，且，，在中，，得到，故半球的體積為，故選：A.8.在中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得，又，所以，則，又，，則所以或，即或（舍去），所以，解得，則，所以因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，所以，即的取值范圍是．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為純虛數(shù)，則，C.若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限D(zhuǎn).若，則復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)的集合構(gòu)成區(qū)域的面積為【答案】ABD【解析】由得，所以，故A正確；由是純虛數(shù)，得，所以，故B正確；由得，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故C不正確；由，得滿足的點(diǎn)的集合構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，半徑為的圓及圓的內(nèi)部，所以面積為，故D正確.故選：ABD.10.在中，角所對的邊分別為，如下命題正確的是（）.A.若，，，則的面積為.B.若，則為鈍角.C.若為銳角三角形，則.D.若，，且有兩解，則b的取值范圍是.【答案】BCD【解析】A.在中，若，，，則由正弦定理得，解得，因?yàn)?，所以或，故或，所以的面積或，故A錯(cuò)誤.B.在中，若，則，因?yàn)?，所以為鈍角，故B正確.C.因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故C正確.D.如圖所示，若有兩解，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.在正方體，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.平面C.D.若正方體的棱長為2，則三棱錐的表面積為【答案】CD【解析】對于A：點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，四邊形為梯形，與不平行，故A不正確；對于B：平面，平面，平面，若平面，而，平面，所以平面平面，這與平面，平面矛盾，不平行平面，故B不正確；對于C：，到平面的距離為，，故C正確；對于D：在中，，，在中，設(shè)的中點(diǎn)為M，因?yàn)?，則，，，三棱錐的表面積，故D正確．故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個(gè)上底面邊長為1，下底面邊長為4，高為3的正四棱臺的體積為________.【答案】21【解析】由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與正四棱臺的體積相等，因?yàn)檎睦馀_的上下底面邊長分別為1和4，則上底面積，下底面積，棱臺的高，則棱臺體積，故答案為：21.13.若向量與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由向量與的夾角為鈍角，可得：，解得，由當(dāng)時(shí)，，與共線反向，舍去，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：14.如圖，的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，，設(shè)，，則四邊形面積的最大值為______.【答案】【解析】由，得到，整理得到，所以，得到，所以，又，所以，又，，所以，則，所以四邊形的面積為，又，則，當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.敘述并證明余弦定理.解：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其余兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積.證明如下：如圖，在中，因?yàn)?，故，也就是，同理可得?16.如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面，若不存在請說明理由：若存在給出證明．解：（1）因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以；?）存在，且當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.下面給出證明：因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.由（1）知，，又是的中點(diǎn)，，所以，所以四邊形是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面.又因?yàn)?，所以，平面平?7.已知分別是的內(nèi)角的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求.解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，整理得到，即，即，由正弦定理得，?（2）由，得，又，得，由余弦定理，且由（1）知所以，整理得，即，解得或（舍），所以，.18.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求B；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，；求：（i）面積的最大值；（ii）的最大值.解：（1）由正弦定理可化為，即，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，，有如下幾種情況：，即，矛盾；，即，矛盾；，可得，解得（2）（i）由余弦定理、基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，，故面積的最大值為；（ii）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，則，即，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，，由（i）知，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為.19.十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）求角；（2）若，求的值；（3）若，