高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省七校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與直線互相垂直，那么的值等于A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，故選：D.2.如圖，平行六面體的底面是矩形，其中，，且，則線段的長(zhǎng)為（）A.9 B. C. D.6【答案】C【解析】由，得到，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，，故．故選：C．3.已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓與圓的位置關(guān)系是A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】化簡(jiǎn)圓到直線x+y=0的距離，又兩圓相交.選B4.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.5.已知橢圓方程為，P為橢圓上一點(diǎn)，若，為的內(nèi)切圓，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓定義及圓切線性質(zhì)知：.故選：B.6.如圖所示，在正四面體A-BCD中，E為棱AD的中點(diǎn)，則CE與平面BCD的夾角的正弦值為()A. B.C. D.【答案】B【解析】在正四面體中，設(shè)棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，如下圖所示過做平面，則為平面的中心，延長(zhǎng)交于，過做，連接，所以就是所求的與平面的夾角．所以，求得，所以，利用，解得，所以，，在中，，故選B.7.已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，則雙曲線C2的漸近線方程為()A.x±y＝0 B.x±y＝0C.x±y＝0 D.x±2y＝0【答案】C【解析】設(shè)橢圓C1：＝1(a>b>0)，雙曲線C2：＝1(m＞0，n＞0)，

依題意c1＝c2＝c，且＝，∴＝，則a＝3m.

由圓錐曲線定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|－|PF2|＝2m，∴|PF1|＝4m，|PF2|＝2m.

在△F1PF2中，由余弦定理得：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝12m2，∴c2＝3m2，

則n2＝c2－m2＝2m2，因此雙曲線C2的漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0.

故選：C.8.已知圓與圓，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓?圓的切線（分別為切點(diǎn)），若，則到圓距離的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題，，因?yàn)?，則，即，化簡(jiǎn)得，即動(dòng)點(diǎn)在直線上，圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以到圓距離的最小值是.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若方程所表示的曲線為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若為橢圓，則B.若為雙曲線，則或C.若為橢圓，則焦距為定值D.若為雙曲線，則焦距為定值【答案】ACD【解析】方程，由，解得,,，此時(shí)曲線是橢圓，所以A不正確．由得或，此時(shí)表示的曲線是雙曲線，所以B正確，當(dāng)，解得，此時(shí)曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故焦距為，不為定值，故C錯(cuò)誤，當(dāng)，解得時(shí)，此時(shí)曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則焦距為，不為定值，故D錯(cuò)誤，故選：ACD．10.已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的最大值為5 B.的最大值為C.直線與圓相切時(shí)， D.圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】圓方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.直線，即，過定點(diǎn)，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P滿足，，，則()A.當(dāng)時(shí)，的最小值為B.當(dāng)時(shí)，有且僅有一點(diǎn)P滿足C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一點(diǎn)P滿足到直線的距離與到平面ABCD的距離相等D.當(dāng)時(shí)，直線AP與所成角的大小為定值【答案】ACD【解析】如圖所示，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，則，，，則，∴．選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，為線段上的點(diǎn)，將平面和平面沿展開為同一個(gè)平面如圖，連接，則的最小值即為，故A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，，，則，即，即滿足條件的P點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，則，，，，則在上的投影為，則點(diǎn)P到直線的距離；平面ABCD的一個(gè)法向量為，，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為；當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離與到平面ABCD的距離相等時(shí)，，∵，∴方程有一個(gè)解，則，即僅存在一個(gè)點(diǎn)P滿足條件，故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，∵，故直線AP與所成角的大小為，為定值，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為12，那么點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為_____.【答案】2或22【解析】已知雙曲線，則，設(shè)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為，根據(jù)雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離差的絕對(duì)值等于可得，，解得或，經(jīng)驗(yàn)證均符合題意，故答案為：2或22.13.點(diǎn)在正方形所在的平面外，平面，，則異面直線與所成的角是___________.【答案】【解析】因?yàn)闉檎叫危推矫?，，可還原到正方體中，連接，則平行于，如圖所示.所以（或其補(bǔ)角）是與所成的角，因?yàn)闉檎切?，所以，所以與所成角為.14.已知，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于另外的點(diǎn)，．若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為________．【答案】【解析】由題意可知，，設(shè)，可得直線的斜率分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，設(shè)點(diǎn)，可得直線，的斜率，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，則，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱，又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱，且，過焦點(diǎn)，則軸，又，則，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以橢圓的離心率為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.15.已知直線的方程為：.（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線交坐標(biāo)軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長(zhǎng).（1）證明：由可得：，令，所以直線過定點(diǎn)．（2）解：由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點(diǎn)分別為，令x=0，得；令，得，所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最小，此時(shí)，，，的周長(zhǎng)為.所以當(dāng)面積最小時(shí)，的周長(zhǎng)為.16.在四棱錐中，，，平面平面，，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：過作于，因?yàn)椋耘c相交，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，平面，，，與相交，，平面，平面；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，，，，，為等邊三角形，，，，，，平面，平面，，即，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.17.已知圓O經(jīng)過橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上．求橢圓C的方程；若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線l的傾斜角．解：（1）由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點(diǎn)，所以橢圓焦距等于短軸長(zhǎng)，可得，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，即橢圓的方程為.（2）圓的方程為，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，解得，不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)其方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立，得：，判別式，即，設(shè)，則，所以，解得，所以直線的傾斜角為或.18.在梯形中，，，，P為的中點(diǎn)，線段與交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.（1）求二面角的余弦值；（2）線段上是否存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)樵谔菪沃?，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，所以是正三角形，四邊形為菱形，可得，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，，，所以二面角的余弦值為.（2）線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為.設(shè)，因?yàn)?，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，即，，解得，所以線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角的正弦值為.19.在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知空間中某單葉雙曲面的方程為，雙曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線過C上一點(diǎn)，且以為方向向量.（1）指出平面截曲面所得交線是什么曲線，并說明理由；（2）證明：直線在曲面上；（3）若過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.解：（1）根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面的方程為，已知曲面的方程為，當(dāng)時(shí)，平面截曲面所得交線上點(diǎn)滿足，即，也即在平面上到原點(diǎn)距離定值1，從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.（