專升本選拔試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定義域是（）A.\(x\geq1\)B.\(x>1\)C.\(x\neq1\)D.\(x<1\)2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y'\)為（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(3\)4.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x+1\)C.\(y=3x-2\)D.\(y=-x+2\)5.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.直線\(3x-4y+5=0\)的斜率為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)8.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)9.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則公差\(d\)等于（）A.1B.2C.3D.410.函數(shù)\(y=\cos2x\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)答案：1.B2.C3.A4.A5.A6.B7.A8.A9.B10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)3.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的是（）A.\(y=|x|\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\lnx\)4.下列積分計(jì)算正確的是（）A.\(\int0dx=C\)B.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(2,1)\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=1\)B.\(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)C.\(\vec{a}+\vec=(3,0)\)D.\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角的余弦值為\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)6.關(guān)于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為\(0\)），以下說法正確的是（）A.當(dāng)\(A=0\)時(shí)，直線平行于\(x\)軸B.當(dāng)\(B=0\)時(shí)，直線平行于\(y\)軸C.直線的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直線在\(y\)軸上的截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的性質(zhì)有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)8.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，公比\(q=2\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2^n-1\)D.\(a_n=2^{n-1}\)9.下列三角函數(shù)關(guān)系正確的是（）A.\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)B.\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)（\(\cos\alpha\neq0\)）C.\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)D.\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)10.下列函數(shù)中，值域是\([0,+\infty)\)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)答案：1.ABD2.BCD3.BCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2+1\)是偶函數(shù)。（）2.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)。（）3.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）4.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)（\(f(x)\)為奇函數(shù)）。（）5.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）6.直線\(y=2x+1\)與直線\(y=2x-1\)平行。（）7.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）9.\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha+\cos\beta\)。（）10.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對(duì)\(y=x^3-3x^2+5\)求導(dǎo)得\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y'<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\int(2x+e^x)dx\)。答案：根據(jù)積分運(yùn)算法則，\(\int(2x+e^x)dx=\int2xdx+\inte^xdx\)。\(\int2xdx=x^2+C_1\)，\(\inte^xdx=e^x+C_2\)，所以結(jié)果為\(x^2+e^x+C\)（\(C=C_1+C_2\)）。3.已知直線過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)，求直線方程。答案：由直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），將\((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=3\)代入，可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(y=3x-1\)。4.求等比數(shù)列\(zhòng)(2,4,8,\cdots\)的前\(5\)項(xiàng)和。答案：此等比數(shù)列\(zhòng)(a_1=2\)，公比\(q=2\)。根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，\(n=5\)時(shí)，\(S_5=\frac{2(1-2^5)}{1-2}=2(2^5-1)=62\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在不同區(qū)間的單調(diào)性及漸近線情況。答案：對(duì)\(y=\frac{1}{x-1}\)求導(dǎo)得\(y'=-\frac{1}{(x-1)^2}<0\)，在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。2.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，消元后看判別式\(\Delta\)，\(\Delta>0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta<0\)相離；二是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)，\(d<r\)相交，\(d=r\)相切，\(d>r\)相離。3.闡述等差數(shù)列與等比數(shù)列在通項(xiàng)公式及求和公式上的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：都是數(shù)列的重要類型。區(qū)別：等差數(shù)列通項(xiàng)\(a_n=a_1+(n-1)d\)，求和\(S_n=\frac{n(a_1+