PAGE1PAGE2專題10銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（45題）1．（2024·江西·中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則tan∠CAB=【答案】12/【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖1，設(shè)等腰直角△MNQ的直角邊為a，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖1，設(shè)等腰直角△MNQ的直角邊為a，則MQ=2a，小正方形的邊長為∴MP=2a，∴EM=2a∴MT=EM=22∴QT=22如圖2，過點C作CH⊥AB的延長線于點H，則CH=BD，BH=CD，由圖（1）可得，AB=BD=22a，∴CH=22a，∴AH=22∴tan∠CAB=故答案為：122．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體ABCD和矩形碗底BEFC組成，已知AD∥EF，AM，DN是太陽光線，AM⊥MN，DN⊥MN，點M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測量ME=FN=20.0m，EF=40.0m，BE=2.4m(1)求“大碗”的口徑AD的長；(2)求“大碗”的高度AM的長．（參考數(shù)據(jù)：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，【答案】(1)“大碗”的口徑AD的長為80.0m(2)“大碗”的高度AM的長為40.0m【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）證明四邊形AMND是矩形，利用AD=ME+EF+FD，代入數(shù)據(jù)計算即可求解；（2）延長EB交AD于點H，求得∠HAB=62°，利用正切函數(shù)的定義得到BHAH=tan【詳解】（1）解：∵AD∥EF，AM⊥MN，∴四邊形AMND是矩形，∴AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0m答：“大碗”的口徑AD的長為80.0m（2）解：延長EB交AD于點H，如圖，∵矩形碗底BEFC，∴EH⊥AD，∴四邊形AMEH是矩形，∵∠ABE=152°，∴∠ABH=180°?∠ABE=28°，∠HAB=90°?28°=62°，∴BHAH∴BH=20.0×1.88≈37.6m∴AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0m答：“大碗”的高度AM的長為40.0m3．（2023·江西·中考真題）如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知點B，A，D，E均在同一直線上，AB=AC=AD，測得∠B=55°，

(1)連接CD，求證：DC⊥BC；(2)求雕塑的高（即點E到直線BC的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82【答案】(1)見解析(2)雕塑的高約為4.2米【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出2∠B+∠ADC=180°，進(jìn)而得出（2）過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于點F，在Rt△BDC中，得出AD=BCcosB=1.8cos【詳解】（1）解：∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC∵∠B+∠ADC+∠BCD=180°即2∴∠B+∠ADC=90°即∠BCD=90°∴DC⊥BC；（2）如圖所示，過點E作EF⊥BC，交BC的延長線于點F，

在Rt△BDC中，∴cosB=∴BD=∴BE=BD+DE=2+在Rt△EBF中，sin∴EF=BE?=≈≈4.2（米）．答：雕塑的高約為4.2米．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江西·中考真題）（1）計算：3（2）如圖，AB=AD，AC平分∠BAD．求證：△ABC≌

【答案】（1）2；（2）證明見解析【分析】（1）先計算立方根，特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再計算加減法即可；（2）先由角平分線的定義得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS證明△ABC≌【詳解】解：（1）原式=2+1?1=2；（2）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，AB=AD∠BAC=∠DAC∴△ABC≌【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，全等三角形的判定，角平分線的定義等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江西·中考真題）圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96,【答案】(1)見解析(2)雕塑的高為7.5m，詳見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論；（2）過點G作GP⊥AB于P，計算AG的長，利用∠A的正弦可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠CDG＝∠A，∵∠FEC＝∠A，∴∠FEC＝∠CDG，∴EF∥DG，∵FG∥CD，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）如圖，過點G作GP⊥AB于P，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝6.2，∵AD＝1.6，∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，在Rt△APG中，sinA=PGAG∴PG7.8∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．答：雕塑的高為7.5m.【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題．6．（2021·江西·中考真題）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為25.3cm（即MP圖1（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得∠BMN=68.6°，小紅與測溫員之間距離為50cm問此時槍身端點（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°=0.40，sin23.6°≈0.40【答案】（1）∠ABC的度數(shù)為113.6°；（2）槍身端點A與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．理由見解析【分析】（1）過B作BK⊥MP于點K，在Rt△BMK中，利用三角形函數(shù)的定義求得∠BMK≈66.4°，即可求解；（2）延長PM交FG于點H，∠NMH=45°，在Rt△NMH中，利用三角形函數(shù)的定義即可求得HM的長，比較即可判斷．【詳解】解：（1）過B作BK⊥MP于點K，由題意可知四邊形ABKP為矩形，∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，在Rt△BMK中，cos∠∴∠BMK≈66.4°，∴∠MBK=90°-66.4°=23.6°，∴∠ABC=23.6°+90°=113.6°，答：∠ABC的度數(shù)為113.6°；（2）延長PM交FG于點H，由題意得：∠NHM=90°，∴∠BMN=68.6°，∠BMK=66.4°，∴∠NMH=180°?68.6°?66.4°=45°，在Rt△NMH中，cos45°=∴HM=28×22≈19.796∴槍身端點A與小紅額頭的距離為50?19.796?16.8?8.5=4.904≈4.9(cm)，∵3<4.9<5，∴槍身端點A與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．一、填空題7．（2025·江西撫州·二模）如圖，在△ABC中，∠A=45°，AC=22，AB=6，則tanB=【答案】12/【分析】本題考查了解直角三角形，過點C作CH⊥AB于點H，得到Rt△ACH，Rt△BCH，解直角三角形求出AH=CH=2，求出【詳解】解：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，則△ACH，△BCH都是直角三角形，∵∠A=45°，AC=22∴AH=AC·cosCH=AC?sin∵AB=6，∴BH=AB?AH=4，∴tanB=故答案為：128．（2025·江西上饒·三模）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”）．如圖2，利用土圭之法記錄了兩個時刻長為6尺的標(biāo)桿的影長，發(fā)現(xiàn)第一時刻光線與標(biāo)桿的夾角∠BAC和第二時刻光線與地面的夾角∠ADB相等，測得第一時刻的影長為2.4尺，則第二時刻標(biāo)桿的影長尺．【答案】15【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用．根據(jù)題意得：AC=6尺，BC=2.4尺，∠C=90°，在Rt△ABC中，利用tan∠BAC=BC【詳解】解：根據(jù)題意得：AC=6尺，BC=2.4尺，∠C=90°，∴tan∠BAC=∵∠BAC=∠ADB，∴tan∠ADB=∴CD=AC即第二時刻標(biāo)桿的影長15尺．故答案為：159．（2025·江西新余·二模）如圖，將圖（1）所示的七巧板，拼成圖（2）所示的四邊形ABCD，連接EF，則tan∠AEF=【答案】2【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)．如圖1，設(shè)等腰直角△MNQ的直角邊為a，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：如圖1，設(shè)等腰直角△MNQ的直角邊為a，則小正方形的邊長為a，∴MP=2a，如圖2，∠BAC=∠CAF=45°，AB=CD=4a，BE=a，AF=2a，∴∠EAF=90°，AE=AB?BE=3a，∴tan∠AEF=故答案為：2310．（2025·江西·二模）將圖1所示的七巧板排成圖2所示的矩形，則sin∠CAB的值為【答案】5【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，求正弦值，設(shè)七巧板排中小正方形的邊長為x，則小等腰直角三角形的直角邊長為x，進(jìn)而求出BC=x,AC=2x，由勾股定理求出AB=5【詳解】解：設(shè)七巧板排中小正方形的邊長為x，則小等腰直角三角形的直角邊長為x，∴BC=x,AC=2x，∵∠ACB=90°，∴AB=B∴sin∠CAB=故答案為：5511．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知含30°角的三角板和直尺按如圖所示的方式擺放，直角頂點C在刻度尺示數(shù)5cm處，三角尺的斜邊與刻度尺交于點B，示數(shù)為1cm，已知∠α=60°，若將三角尺繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°，則此時AB的長為【答案】6【分析】本題考查解直角三角形，由刻度尺度數(shù)可知，BC=4cm，求得∠ACB=30°，則AB=BC=4cm，過點A作AE⊥BC，則在Rt△ABE中，AE=AB?sin∠ABD=23cm，AC=2AE=43cm，將三角尺繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°，此時點B為圖中B′所示位置，則∠ACA【詳解】解：由刻度尺度數(shù)可知，BC=4cm∵直尺的兩邊平行，∴∠ABD=∠α=60°，又∵∠A=30°，∴∠ACB=30°，則AB=BC=4cm過點A作AE⊥BC，則在Rt△ABE中，AE=AB?∴AC=2AE=43將三角尺繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°，此時點B為圖中B′所示位置，則∠ACA′由旋轉(zhuǎn)可知A′C=AC=43∴∠A則在Rt△A′故答案為：6．12．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，D是CB邊上的點，將DB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°，使得點B落在直線AB上的點E處．若DE的垂直平分線l經(jīng)過△ABC一邊的中點，則BD的長為．【答案】23或103【分析】先求出AB=8，BC=43，由旋轉(zhuǎn)可知，BD=DE，∠BDE=120°，分三種情況：①當(dāng)DE的垂直平分線l經(jīng)過AB的中點F時，②當(dāng)DE的垂直平分線l經(jīng)過AC的中點F時，③當(dāng)DE的垂直平分線l經(jīng)過BC的中點F【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，∴AB=2AC=8，BC=AC由旋轉(zhuǎn)可知，BD=DE，∠BDE=120°，①當(dāng)DE的垂直平分線l經(jīng)過AB的中點F時，連接DF，∴BF=12AB=4∵BD=DE，∠BDE=120°，∴∠BED=∠B=30°，∴∠BED=∠FDE=30°，∴∠BDF=∠BDE?∠FDE=120°?30°=90°，∵∠B=30°，BF=4，∴BD=BF·cos②當(dāng)DE的垂直平分線l經(jīng)過AC的中點F時，CF=1∵∠BDE=120°，∴∠CDF=180°?∠BDE=60°，∴CD=CF∴BD=BC?CD=43③當(dāng)DE的垂直平分線l經(jīng)過BC的中點F時，BF=12BC=2∵∠BDE=120°，∴∠EDF=180°?∠BDE=60°，∴△EDF是等邊三角形，∴ED=EF=DF，∵BD=DE，∴BD=DF=1綜上所述，BD的長為23或1033故答案為：23或1033【點睛】本題考查了解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識并分類討論．二、解答題13．（2025·江西鷹潭·二模）“垃圾入桶，保護(hù)環(huán)境，從我做起”．圖1是一種搖蓋垃圾桶的實物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其蓋子PAQ可整體繞點A所在的軸旋轉(zhuǎn)．現(xiàn)測得∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，AB=AE=46cm，BC=80cm，(1)如圖3，將PAQ整體繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α，當(dāng)AQ∥BE時，求α的度數(shù)．(2)求點A到CD的距離．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17【答案】(1)30°(2)101.4【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意，可以求解∠ABE和∠AEB的度數(shù)，根據(jù)AQ∥BE，求得∠QAE=∠AEB=30°，即可求解；（2）過A點作AM⊥BE，垂足為M，過C點作CN⊥BE，垂足為N，根據(jù)AM平分BE，求得AM，求得∠CBN的度數(shù)，進(jìn)而求得CN的長度，從而求解；【詳解】（1）解：∵AB=AE，∠BAE=120°，∴∠ABE=∠AEB=180°?120°∵AQ∥BE，∴∠QAE=∠AEB=30°，∴∠α=30°，故α=30°；（2）解：如圖：過A點作AM⊥BE，垂足為M，過C點作CN⊥BE，垂足為N，∵AM⊥BE，AB=AE，∴AM平分BE，而∠AEM=30°∴在Rt△AEM中，AM=又∵CN⊥BE，∴∠BNC=90°，∴在Rt△BCN中，∠ABC=110°，∠ABE=30°∴∠CBN=110°?30°=80°，∴sin∴CN=sin∴AM+NC=23+78.4=101.4(cm∴A到CD的距離為101.4cm14．（2025·江西·模擬預(yù)測）圖1是總臺蛇年春晚舞蹈《喜上枝頭》的節(jié)目圖片，節(jié)目汲取“喜鵲登枝”的美好寓意，將整個舞臺打造成一幅展開的宋畫．節(jié)目使用了春晚有史以來最大的道具，在畫卷中搭建了一根長9.5米的“松枝”，松枝與喜鵲取“送喜”的吉祥寓意．如圖2是“松枝”的簡化圖，已知，BC∥HG，AB=1.62m，CD=4.92m，點D到點C的垂直距離為3.15m，點D到點E的垂直距離為2.61m，∠ABC=134°，(1)求點A到點B的垂直距離；(2)求道具“松枝”的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin46°≈0.72，cos46°≈0.70，tan46°≈1.04，sin20°≈0.34，【答案】(1)點A到點B的垂直距離1.17(2)道具“松枝”的高度5.31【分析】本題主要考查解直角三角形和點與點的垂直距離，（1）過點A作AI⊥BC交BC的延長線于點I，根據(jù)題意得∠ABI=180°?∠ABC，利用解直角三角形sin∠ABI=AIAB（2）過點D作DJ⊥BC的延長線于點J，過點D和點E作DK⊥EK相交于點K，根據(jù)題意得DJ=3.15m和EK=2.61m，結(jié)合【詳解】（1）解：如圖，過點A作AI⊥BC交BC的延長線于點I，∵∠ABC=134°，∴∠ABI=180°?∠ABC=180°?134°=46°，∵AB=1.62m∴sin∠ABI=AIAB則點A到點B的垂直距離1.17m（2）解：過點D作DJ⊥BC的延長線于點J，過點D和點E作DK⊥EK相交于點K，∵點D到點C的垂直距離為3.15m∴DJ=3.15m∵點D到點E的垂直距離為2.61m∴EK=2.61m則道具“松枝”的高度DJ+EK=3.15+2.16=5.31m15．（2025·江西上饒·模擬預(yù)測）滕王閣（圖1）位于江西省南昌市東湖區(qū)沿江路，是南昌市的地標(biāo)性建筑，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而聞名于世．滕王閣與湖南岳陽樓、湖北黃鶴樓并稱為“江南三大名樓”，是中國古代四大名樓之一，世稱“西江第一樓”．如圖2，在被譽為“西江第一樓”的滕王閣前，有一段風(fēng)景優(yōu)美的斜坡AB，斜坡AB的坡度i=1:3，全長恰好為12米．為了計算滕王閣的高度，游客們使用高科技測角設(shè)備，利用測角儀在斜坡底的點B處測得塔尖點D處的仰角∠DBE為60°，在斜坡頂?shù)狞cA處測得塔尖點D的仰角為45°(1)求斜坡的高度AC；(2)求滕王閣的高度DE．【答案】(1)6米；(2)18+123【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用.（1）由題意得AC⊥BC，則ACBC=33，在Rt△ABC中求得∠ABC=30°（2）過點A作AF⊥DE，垂足為點F，則AC=EF=6米，AF=CE，在Rt△ABC中求得BC=AB·cos30°，設(shè)BE=x米，則AF=CE=BC+BE，在Rt△BED中求得DE=BE·tan60°，在Rt△ADF中求得DF=AF·【詳解】（1）解：由題意得AC⊥BC，∵斜坡AB的坡度i=1:3∴ACBC∵在Rt△ABC中，tan∴∠ABC=30°，∴在Rt△ABC中，sin∴AC=AB·1答：斜坡的高度AC為6米；（2）解：如圖，過點A作AF⊥DE，垂足為點F，∵由題意得AC=EF=6米，AF=CE，在Rt△ABC中，AB=12∴BC=AB·cos設(shè)BE=x米，∴AF=CE=BC+BE=x+6∵在Rt△BED中，∠DBE=60°∴DE=BE·tan∵在Rt△ADF中，∠DAF=45°∴DF=AF·tan∵DF+EF=DE，∴x+63解得x=12+63∴DE=3答：滕王閣的高度DE為18+12316．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測）課本再現(xiàn)（1）如圖1，在銳角△ABC中，探究asinA，bsinB，csin遷移應(yīng)用（2）如圖2，和合塔位于豐城市豐水湖公園內(nèi)，由我國著名古塔研究專家張馭寰大師主持設(shè)計，具有“明七層暗六層”的結(jié)構(gòu)，共13層，展現(xiàn)了唐代古塔的風(fēng)格．如圖3，某數(shù)學(xué)實踐小組想測量和合塔的高度MN，他們在塔底N的正東方的點A處測得塔頂M的仰角為30°，然后從點A處出發(fā)，沿著南偏西25°的方向行進(jìn)了207m到達(dá)點B（A，B，N三點位于同一水平面內(nèi)），且點B在點N南偏東35°方向上．根據(jù)以上信息，求和合塔的高度MN．（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，sin【答案】（1）asinA【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，仰角俯角．（1）過A點作AD⊥BC于D點，過C作CE⊥AB于E點，如圖1，根據(jù)正弦的定義得到AD=c?sinB，AD=b?sin∠ACD，則c?sinB=b?sin（2）如圖3，根據(jù)題意，∠BAN=90°?25°=65°，∠BNA=90°?35°=55°，則∠B=60°，利用（1）的結(jié)論得ANsinB=ABsin∠BNA，則可計算出【詳解】解：（1）過A點作AD⊥BC于D點，過C作CE⊥AB于E點，如圖1，在Rt△ABD中，∵sin∴AD=c?sin在Rt△ACD中，∵sin∴AD=b?sin∴c?sin∴bsin在Rt△BCE中，∵sin∴CE=a?sin在Rt△ACE中，∵sin∴CE=b?sin∴a?sin∴bsin∴asin∠CAE=（2）如圖3，根據(jù)題意，∠BAN=90°?25°=65°，∠BNA=90°?35°=55°，∴∠B=180°?65°?55°=60°，由（1）的結(jié)論得ANsin即ANsin∴AN=207×在Rt△AMN中，∵tan∴MN=218.36×tan答：和合塔的高度MN為126.2m17．（2025·江西新余·三模）圖1為一折疊畫板，圖2為其側(cè)面示意圖，支撐架CD的端點C固定在AB上，另一端點D可在BM上移動或固定，鎖定桿EF的端點E也固定在AB上，另一端點F可在CD上移動或固定．移動D點，當(dāng)面板架AB與BM的夾角∠ABM調(diào)整到合適的角度時，將F點固定，則畫板架即可使用．經(jīng)測量知BC=CE=8cm，EF=15cm，當(dāng)鎖定桿EF與面板架AB互相垂直時，(1)求支撐架CD的長；(2)如圖3，小明繪畫時為達(dá)到最佳舒適感，調(diào)節(jié)面板架AB與BM的夾角∠ABM，當(dāng)∠ABM=70°時，支撐架CD與BM的夾角為18°，求此時BD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin18°≈0.31，cos70°≈0.34【答案】(1)20(2)21.72【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意，EF⊥AB，利用勾股定理求得CF的長，據(jù)此即可求得支撐架CD的長；（2）過點C作CH⊥BD，在Rt△CBH和Rt△CDH中，分別利用三角函數(shù)的定義求得BH和【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得EF⊥AB，∴CF=C∴CD=CF+DF=17+3=20cm（2）解：如圖，過點C作CH⊥BD，垂足為H，在Rt△CBHBH=BC?cos在Rt△CDHDH=CD?cos∴BD=BH+DH=2.72+19=21.72cm18．（2025·江西新余·三模）如圖1，三灣改編紀(jì)念碑是為了紀(jì)念1927年9月29日至10月3日毛澤東在我省永新縣三灣村領(lǐng)導(dǎo)的三灣改編而建立的．某校數(shù)學(xué)實踐小組利用無人機(jī)測量三灣改編紀(jì)念碑的高度．如圖2，無人機(jī)操控者在紀(jì)念碑正前方的A處操控?zé)o人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛到離地面30m的點D處時，無人機(jī)測得與點A的俯角為30°，測得紀(jì)念碑BC最高點B處的俯角為17.6°，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和紀(jì)念碑BC之間的距離AC為85.5m，點(1)求此時無人機(jī)D到紀(jì)念碑BC的距離（結(jié)果保留根號）(2)求紀(jì)念碑BC的高度（結(jié)果精確到0.01m；參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin17.6°≈0.30，cos【答案】(1)85.5?30(2)19.27【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵。（1）過點D作DE⊥AC于點E，解直角三角形求出AE的長即可得到答案；（2）過點B作BF⊥DE，垂足為F，則四邊形BCEF是矩形，則BF≈33.54m，解直角三角形得到DF≈10.7328m，則【詳解】（1）解：如圖，過點D作DE⊥AC于點E，由題意得DE=35m∴AE=DE∴CE=AC?AE=85.5?30答：此時無人機(jī)D到紀(jì)念碑BC的距離為85.5?303（2）解：如圖，過點B作BF⊥DE，垂足為F，則四邊形BCEF是矩形，∴BF=CE=85.5?303∵∠DBF=17.6°，∴DF=BF?tan∴BC=EF=30?10.7328=19.2672≈19.27m答：紀(jì)念碑BC的高度約為19.27m19．（2025·江西上饒·三模）某學(xué)校操場的主席臺安裝了如圖1所示的遮陽棚，其截面示意圖如圖2所示，其中四邊形ABCD是矩形，主席臺高AB為1米.上午某時刻，經(jīng)過點E的太陽光線恰好照射在AD上的點F處，測得∠EFD=58°，主席臺受遮陽棚遮擋所形成的陰影區(qū)域的寬度AF為2.6米.一段時間后，經(jīng)過點E的太陽光線恰好照射在AD上的點G處，測得∠EGD=71.6°，陰影區(qū)域的寬度AG為4.0米，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均在同一豎直平面內(nèi).（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin71.6°≈0.95，(1)求點E距離地面BC的高度；(2)當(dāng)太陽光線與地面夾角為71.6°時，若要使主席臺受遮陽棚遮擋所形成的陰影區(qū)域?qū)挾華G為4.5米，點E需在原高度的基礎(chǔ)上向上或向下移動多少米？【答案】(1)5.8米(2)向下移動1.5米【分析】（1）過點E作EM⊥BC于點M，交AD于點H，則四邊形CDHM為矩形，∠FHE=90°,HM=CD=1米，設(shè)EH的長度為a米，則FH=5a8，（2）設(shè)改變后EH的長度為b米，同理，GH=b3米，根據(jù)題意4.5+b3=5.6，解得b=3.3，4.8?3.3=1.5本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：過點E作EM⊥BC于點M，交AD于點H，則四邊形CDHM為矩形，∠FHE=90°,HM=CD=1米，設(shè)EH的長度為a米，由題意得，在Rt△FHE中，∠FHE=90°，∠EFH=58°，tan∴FH=EH在Rt△GHE中，∠GHE=90°，∠EGH=71.6°，tan∴GH=EH∵AF=2.6米，AG=4米，∴FG=AG?AF=4?2.6=1.4米，∴FH?GH=FG=1.4米，即5a8解得：a=4.8，∴EM=EH+HM=4.8+1=5.8米．答：點E距離地面BC的高度約為5.8米；（2）解：由（1）知a=4.8，∴GH=a∴AH=AG+GH=4+1.6=5.6米，設(shè)改變后EH的長度為b米，同理，GH=b∵AG為4.5米，∴4.5+b3=5.64.8?3.3=1.5，∴點E需在原高度的基礎(chǔ)上向下移動1.5米．20．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖1，這是一個綠道休息涼棚，其側(cè)面示意圖大致為圖2，點C、D、E在一條直線上，AB=DG=1m，BC=2.08m，∠CDG=110°，CD=3DG=6DE，DG與地面平行，點B到AC所在直線的距離為(1)求A，C兩點間的距離．(2)求點C到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，【答案】(1)A，C兩點間的距離為2.52m(2)點C到地面的距離為3.29m【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）連接AC，過B作BH⊥AC于點H，則有∠BHC=∠BHA=90°，BH=0.8m，通過勾股定理求出CH、AC（2）過C作CM⊥EF于點M，則求得∠CEM=70°，又AB=DG=1m，CD=3DG=6DE，故有DE=0.5m，CD=3m，在Rt【詳解】（1）解：如圖，連接AC，過B作BH⊥AC于點H，∴∠BHC=∠BHA=90°，BH=0.8m∵AB=DG=1m，BC=2.08∴CH=BC2∴AC=CH+AC=1.92+0.6=2.52m∴A，C兩點間的距離為2.52m（2）解：如圖，過C作CM⊥EF于點M，∵DG與地面平行，∠CDG=110°，∴∠CDG=∠CEF=110°，∴∠CEM=70°，∵AB=DG=1m，CD=3DG=6DE∴DE=0.5m，CD=3∴CE=CD+DE=3+0.5=3.5m在Rt△CME中，sin∴sin70°=∴CM=3.5×sin∴點C到地面的距離為3.29m21．（2025·江西撫州·二模）如圖1，是南昌之星摩天輪，它是南昌市標(biāo)志性建筑．某校數(shù)學(xué)興趣小組把“如何測量南昌之星摩天輪的高度”作為一項課題活動，他們制定了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題如何測量南昌之星摩天輪的高度測量工具測角儀，皮尺等測量方案如圖2，在點C處放置高為1?m的測角儀CD，此時測得南昌之星摩天輪頂端B的仰角為45°，再沿CA方向走53?m到達(dá)點E處，此時測得南昌之星摩天輪頂端B的仰角為說明：點A，B，C，D，E，F(xiàn)，在同一平面內(nèi)，點A，C，E在同一水平線上．(1)∠DBF的度數(shù)為_____；(2)請你根據(jù)表中信息幫助該數(shù)學(xué)興趣小組求南昌之星摩天輪AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，【答案】(1)11°(2)160【分析】本題考查了解直角三角形的相關(guān)應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行列式計算，即可作答．（2）先證明四邊形AEFH，DCEF是矩形，得CE=DF=53?m，CD=EF=AH=1?m，證明△BDH是等腰直角三角形．則把數(shù)值代入tan∠BFH=BHFH，得FH=【詳解】（1）解：依題意，∠BDF=45°,∠BFH=56°，∴∠DBF=∠BFH?∠BDF=56°?45°=11°，故答案為：11°．（2）解：如圖，延長DF交AB于點H，則∠DHB=90°，∴∠BAC=∠FEA=∠DCE=∠DHB=90°，∴四邊形AEFH是矩形，同理得四邊形DCEF是矩形，∴CE=DF=53?m，CD=EF=AH=1∵∠BDH=45°，∠BFH=56°，∴△BDH是等腰直角三角形．設(shè)BH=x?m∴DH=BH=x?m在Rt△BFH中，∠BFH=56°，tan∴FH=BH∴DH?FH=DF，即x?2解得x=159，∴BH=159?m∴AB=BH+AH=160?m∴南昌之星摩天輪AB的高度約為160m22．（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保護(hù)環(huán)境，從我做起”，圖1是一種搖蓋垃圾桶的實物圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其蓋子PAQ可整體繞點A所在的軸旋轉(zhuǎn)．現(xiàn)測得∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，AB=AE=46cm，BC=78cm，(1)如圖3，將PAQ整體繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α，當(dāng)AQ∥BE時，求α的度數(shù)．(2)求點A到CD的距離．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)sin80°≈0.98，cos80°≈0.17【答案】(1)30°(2)99.4【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意，可以求解∠ABE和∠AEB的度數(shù)，根據(jù)AQ∥BE，求得∠QAE=∠AEB=30°，即可求解；（2）過A點作AM⊥BE，垂足為M，過C點作CN⊥BE，垂足為N，根據(jù)AM平分BE，求得AM，求得∠CBN的度數(shù)，進(jìn)而求得CN的長度，從而求解；【詳解】（1）解：∵AB=AE，∠BAE=120°，∴∠ABE=∠AEB=180°?120°∵AQ∥BE，∴∠QAE=∠AEB=30°，∴∠α=30°，故α=30°；（2）解：如圖：過A點作AM⊥BE，垂足為M，過C點作CN⊥BE，垂足為N，∵AM⊥BE，AB=AE，∴AM平分BE，而∠AEM=30°∴在Rt△AEM中，AM=又∵CN⊥BE，∴∠BNC=90°，∴在Rt△BCN中，∠ABC=110°，∠ABE=30°∴∠CBN=110°?30°=80°，∴sin∴CN=sin∴AM+NC=23+76.44=99.44(cm∴A到CD的距離為99.4cm23．（2025·江西宜春·二模）以高安中學(xué)校門口廣場上吳有訓(xùn)雕像為研究背景，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)為了測量此雕像的高度AB（頂端A到水平地面BD的距離），分成了甲、乙兩組，他們分別設(shè)計了如下方案：課題：測量雕像的高度組別甲組乙組測量示意圖測量方案與測量數(shù)據(jù)如圖①，組長小紅在點D處用1m高的測角儀測得雕像頂端A的仰角α=32°如圖②，組長小軍在C處測得∠ACB=45°，然后沿BC方向走了1.2m，到達(dá)點D處，這時測得∠ADB=37°參考數(shù)據(jù)sin32°≈0.53，cos32°≈0.85sin37°≈0.60，cos37°≈0.80計算雕像的高度……(1)你認(rèn)為哪組的測量方案存在問題？請?zhí)岢鲂薷慕ㄗh．(2)請你選擇一個合理的測量方案計算雕像的高度AB．【答案】(1)甲組的測量方案存在問題；建議：測量出測角儀與雕像之間的距離(2)選擇甲，3.6【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，能夠靈活運用直角三角形中邊角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）小紅組測量數(shù)據(jù)缺少測角儀與雕像底部的距離，由此可判斷存在問題的是小紅的方案，修改建議只要再測量出測角儀與雕像底部的距離即可；（2）用AB表示出BD，BC，再利用BD?BC=CD列方程即可求出【詳解】（1）解：甲組的測量方案存在問題建議：測量出測角儀與雕像之間的距離；（2）解：過點A作AB⊥BC于點B，在Rt△ABD∵∠ADB=37°，∴BD=AB在Rt△ABC∵∠ACB=45°，∴∠BAC=∠ACB=45°∴BC=AB，∵CD=1.2米，BD?BC=CD，∴AB0.75解得AB=3.6（米），答：雕像的高度AB為3.6米．24．（2025·江西新余·一模）圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖．測得AB⊥BC，DE⊥BC，∠BAM=52°，AB=2.37?m，DE=2CE=1.24(1)連接AE，交BC于點F，若AE⊥MN，求AE的長（即雕塑的高度）；(2)求點D到MN的距離（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，【答案】(1)3.8(2)2.8【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得∠EAM=90°，∠ABF=∠ECF=90°，在Rt△ABF,Rt△ECF（2）先證明四邊形AKDP是矩形，得AP=DK，把數(shù)值代入EP=DEcosE以及【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：∠EAM=90°，∠ABF=∠ECF=90°，∵∠BAM=52°，∴∠BAF=38°，∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥∴∠CEF=∠BAF=38°，在Rt△ABF中，AB=2.37∴AF=AB∵DE=2CE=1.24m∴CE=0.62m在Rt△ECF中，CE=0.62∴EF=CE∴AE=3.0+0.78=3.78≈3.8m答：AE（即雕塑的高度）的長為3.8m（2）解：如圖，過點D分別作DK⊥MN，DP⊥AE，∴∠PAK=∠AKD=∠DPA=90°，則四邊形AKDP是矩形，∴AP=DK．∵DE=1.24?m，且由（1）得則在Rt△DEP中，由（1）得AE=3.8∴DK=AP=AE?EP=3.8?0.98≈2.8m25．（2025·江西贛州·二模）坐落于贛州市陽明路與解放路交匯口的標(biāo)準(zhǔn)鐘，曾是贛州唯一精確報時建筑，于1953年5月1日落成，建成時為贛州最高建筑．標(biāo)準(zhǔn)鐘由基礎(chǔ)層、塔身主體和頂部裝飾層組成，總高度為a米．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)想知道頂部裝飾層的具體高度，分兩小組各設(shè)計了一種方案：課題測量標(biāo)準(zhǔn)鐘頂部裝飾層AB的高度測量工具測角儀、皮尺及1.6m長的標(biāo)桿測量小組第一小組第二小組測量方案示意圖測量數(shù)據(jù)從標(biāo)桿頂端M處測得B點的仰角為∠BMD=28.2°，CN=25m頂部裝飾層AB落在地面上的影長EF=6.9m，此時標(biāo)桿MN的影長NG=2.4(1)已知標(biāo)準(zhǔn)鐘的總高度約為當(dāng)前7層住宅樓的高，那么a的值應(yīng)該是（

）A．12.6

B．19.6

C．36.6(2)結(jié)合（1）中得到的數(shù)據(jù)，請你選擇其中一個小組的方案，求出標(biāo)準(zhǔn)鐘頂部裝飾層AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28.2°≈0.876，cos28.2°≈0.473，【答案】(1)B(2)4.6【分析】（1）如圖1，延長MD交AC于H，可得四邊形MHCN是矩形，即得CH=MN=1.6m，MH=CN=25m，解Rt△BHM可得BH=MH·tan∠BMH=13.4m，即得BC=15m，如圖2，過點B作BT∥EF交AF于點T，則四邊形BEFT（2）如圖2，過點B作BT∥EF交AF于點T，則四邊形BEFT是平行四邊形，即得BT=EF=6.9m本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，平行投影，掌握銳角三角函數(shù)的定義及平行投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖1，延長MD交AC于H，則∠AHM=90°，四邊形MHCN是矩形，∴CH=MN=1.6m，MH=CN=25在Rt△BHM中，∠BMH=28.2°∴BH=MH·tan∴BC=1.6+13.4=15m如圖2，過點B作BT∥EF交AF于點T，則四邊形∴BT=EF=6.9m由平行投影可得，ABBT∴AB6.9解得AB=4.6m∴AC=AB+BC=4.6+15=19.6m即a=19.6，故選：B；（2）解：選擇第二小組．如圖2，過點B作BT∥EF交AF于點T，則四邊形∴BT=EF=6.9m由平行投影可得，ABBT∴AB6.9解得AB=4.6m∴標(biāo)準(zhǔn)鐘頂部裝飾層AB的高度為4.6m26．（2025·江西新余·二模）如圖1是廣告展示牌，圖2是廣告展示牌的側(cè)面示意圖，點F，A，B，D在同一直線上，點A，C，E在同一直線上，BC是連接桿．經(jīng)測量，DF=100cm,AD=AE=70cm(1)求連接桿BC的長度；(2)求廣告展示牌最高點F到DE的距離．（結(jié)果精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：sin72.54°≈0.9539，cos72.54°≈0.3000【答案】(1)連接桿BC的長度為18cm(2)廣告展示牌最高點F到DE的距離約為95.4cm【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）證明△BAC∽△DAE，得到ABAD（2）分別過點A，F(xiàn)作DE的垂線AG,FH，垂足分別為點G，H，求出DG=21cm【詳解】（1）解：∵AD=AE=70cm，AB=AC=30∴ABAD∵∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴ABAD∴BC=AB答：連接桿BC的長度為18cm（2）解：如圖，分別過點A，F(xiàn)作DE的垂線AG,FH，垂足分別為點G，H，∵AD=AE，AG⊥DE，∴DG=1在Rt△ADG中，cos∴∠D≈72.54°，∴在Rt△FDH中，F(xiàn)H=DF·答：廣告展示牌最高點F到DE的距離約為95.4cm27．（2025·江西撫州·二模）如圖1是釣魚迷們的必備神器——多功能晴雨傘，其設(shè)計巧妙地體現(xiàn)了軸對稱之美．傘柄的支桿垂直于地面固定，仿佛一道無形的對稱軸．使用者巧妙地用繩索將傘拉直，固定在樹干的點E處，使得A，C，(1)垂釣時打開“晴雨傘”，若∠α=60°，求遮蔽寬度BC（結(jié)果保留根號）；(2)若由（1）中的位置收合“晴雨傘”，使得∠BAC=104°，求點E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan【答案】(1)遮蔽寬度BC為3(2)點E下降的高度約為0.8【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正切的定義求出OC=AC?sinα=3×sin（2）過E作EF⊥D于點F，證明四邊形EFDQ是矩形，得出EF=DQ=4m，分別求出∠BAC=120°，∠BAC=104°時，AF【詳解】（1）解：由對稱性可知BC=2OC，∵AB=AC=3m在Rt△AOC中，∠OAC=∠α=60°∴sin∴OC=AC?sin∴BC=2OC=33答：遮蔽寬度BC為33（2）解：如圖，過點E作EF⊥AD于點F．∵EF⊥AD，AD⊥DQ，EQ⊥DQ，∴∠EFD=∠FDQ=∠DQE=90°，∴四邊形EFDQ是矩形，∴EF=DQ=4m在Rt△AFE中，tan當(dāng)∠BAC=2∠α=120°時，AF=EF當(dāng)∠BAC=2∠α=104°時，AF=EF3.125?2.31=0.815≈0.8m答：點E下降的高度約為0.8m28．（2025·江西南昌·二模）如圖1是一款用于收集卡片的卡曼盒實物圖，圖2中的矩形ABCD是其主視圖．如圖3所示，四邊形AMND可繞點N旋轉(zhuǎn)得到四邊形AM1ND，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為αα≥0°，當(dāng)C，N，M1三點共線時α最大．經(jīng)測量BM=64(1)求MN的長度．(2)①當(dāng)α為何值時，點M1到邊BC②直接寫出當(dāng)α為何值時，點M1到邊CN的距離等于42（參考數(shù)據(jù)：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，【答案】(1)14(2)①α=108.4°，最大距離為78+1410mm；②0°【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）過點M作ME⊥CD于點E，∠MEC=∠MEN=90°，證明四邊形BCEM是矩形，得到CE=BM=64mm，ME=BC=42mm，得到（2）①由旋轉(zhuǎn)可得：M1N=MN=1410mm，∠MNM1=α，由（1）知，ME=42mm，EN=14mm，得到tan∠MNE=MEEN=3，推出∠MNE=71.6°，結(jié)合當(dāng)C，N，M1三點共線時，點M1到邊BC的距離最大，即可求解；②當(dāng)α=0°，即點M與點M1重合時，點M1【詳解】（1）解：如圖，過點M作ME⊥CD于點E，∠MEC=∠MEN=90°，∵在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴∠B=∠C=∠MEC=90°，∴四邊形BCEM是矩形，∴CE=BM=64mm，ME=BC=42∴EN=CN?CE=78?64=14mm∴MN=M（2）由旋轉(zhuǎn)可得：M1N=MN=1410①由（1）知，ME=42mm，EN=14∴tan∠MNE=∴∠MNE=71.6°，當(dāng)C，N，M1三點共線時，點M1到邊BC的距離最大，此時最大距離為CN+M②∵M(jìn)E=BC=42mm∴當(dāng)α=0°，即點M與點M1

重合時，點M1到邊CN的距離等于過點M1作M1H⊥CD交CD的延長線于點H∴sin∠∴sin∠∴∠M∴α=180°?∠MNE?∠M綜上所述，當(dāng)α為0°或36.8°時，點M1到邊CN的距離等于4229．（2025·江西九江·二模）圖1所示是某地紅色廣場標(biāo)牌，將其紅色主體部分抽象為圖2，AD⊥CD，∠A=60°，∠C=110°，AB=2m，AD=4(1)求∠B的度數(shù)；(2)求BC的長．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34【答案】(1)100°(2)3.2【分析】本題考查四邊形內(nèi)角和、含30度角直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)和解直角三角形的知識，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可求解；（2）過點B作BF⊥DC，BE⊥AD，垂足分別為F，E，得到四邊形BFDE為矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和30度角直角三角形的性質(zhì)可得BF=3m【詳解】（1）解：∵在四邊形ABCD中，∠A=60，∠C=110°，AD⊥CD，∴∠B=360°?∠A?∠C?∠D=360°?60°?110°?90°=100°．（2）解：如圖，過點B作BF⊥DC，BE⊥AD，垂足分別為F，E．∵AD⊥CD，∴四邊形BFDE為矩形，∴BE=DF，BF=ED，∵∠BCD=110°，∴∠BCF=70°，∵AB=2?m，∠A=60°∴AE=1∴ED=BF=AD?AE=3m∴BC=BF即BC的長約為3.2?m30．（2025·江西撫州·一模）如圖（1）是一個雕塑的示意圖，將其抽象為圖（2），測得∠A=90°，∠B=142°，∠C=94°，∠AED=114°，AE=12m，AB=6m，求點B到直線ED的距離．（結(jié)果精確到小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：【答案】13.4【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．過點A作AM∥ED，再分別過點E，B作AM的垂線，垂足分別為點F，G，先∠EAF=66°，∠ABG=66°，然后分別求出BG≈2.442，EF≈10.968，然后根據(jù)點B到ED的距離為BG+EF求解即可．【詳解】解：如圖，過點A作AM∥ED，再分別過點E，B作AM的垂線，垂足分別為點F，G∴∠AFE=90°,∠AGB=90°，∴∠DEF=90°．

∵∠AED=114°∴∠AEF=24°，

∴∠EAF=66°∵∠BAE=90°

∴∠BAM=24°∴∠ABG=66°∵AE=12m，∴BG=AB?EF=AE?∴點B到ED的距離為BG+EF=2.442+10.968≈13.4m31．（2025·江西九江·一模）圖1是某路燈的實物圖，圖2是其平面示意圖．某數(shù)學(xué)項目學(xué)習(xí)小組要測量某路燈Q?P?M的頂部到地面的距離MN．已知該小組測得α=58°，AB=1.6m，BN=2m．根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該小組計算路燈頂部到地面的距離MN．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，【答案】4.8【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，過點A作AH⊥MN于點H，則AH=BN=2m，HN=AB=1.6m．先求出MH=AH?tan【詳解】解：如圖，過點A作AH⊥MN于點H，則四邊形ABNH是矩形，∴AH=BN=2m，HN=AB=1.6在Rt△AMH中，tan∴MH=AH?tan∴MN=MH+HN=3.2+1.6=4.8m答：路燈頂部到地面的距離MN約為4.8m32．（2025·江西吉安·一模）如圖（1）是一款桌面可調(diào)節(jié)的學(xué)習(xí)桌，其側(cè)面示意圖如圖（2）所示，AB為可調(diào)節(jié)桌面，其長度為40cm，桌面傾斜程度可以根據(jù)需求自由調(diào)節(jié)．桌面的傾斜角為∠ABC，桌面最大傾斜角為60°，桌面平放時高度為DE為70(1)當(dāng)桌面由平放調(diào)節(jié)到最大傾斜角60°時，求點A運動的路徑長．（結(jié)果保留π）(2)書寫時桌面適宜的傾斜角∠ABC=20°，求點A到地面的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，【答案】(1)40(2)83.6cm【分析】本題考查了弧長公式，解直三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確理解正弦函數(shù)的定義式，將線段、角度代入，轉(zhuǎn)化為待求線段的方程求解．（1）利用弧長公式求解；（2）利用正弦的定義式求解，代入已知線段和角度，轉(zhuǎn)化為關(guān)于AF的方程求解，再利用線段和求出點A到地面的高度．【詳解】（1）解：∵當(dāng)桌面由平放調(diào)節(jié)到最大傾斜角60°時，AB=40cm∴點A運動的路徑長為：60×40π180（2）解：過點A作AF⊥BC于點F，∵在Rt△ABF中，sin∠ABC=AFAB，∴sin20°=解得：AF≈13.6cm∵DE=70cm∴點A到地面的高度為AF+DE=13.6+70=83.6cm33．（2025·江西贛州·模擬預(yù)測）如圖所示，某款機(jī)械人的手臂由上臂、中臂和底座三部分組成，其中上臂和中臂可自由轉(zhuǎn)動，底座與水平地面垂直．在實際運用中要求三部分始終處于同一平面內(nèi)，其示意圖如圖1所示，經(jīng)測量，上臂AB=12?cm，中臂BC=8?cm，底座(1)若上臂AB與水平面平行，∠ABC=60°．計算點A到地面的距離．(2)如圖2，在一次操作中，中臂與底座成135°夾角，上臂與中臂夾角為105°，計算這時點A到地面的距離？（參考數(shù)據(jù)；3≈1.73，2【答案】(1)點A到地面的距離為10.9(2)3.6【分析】（1）過點C作CM⊥AB，垂足為M，在Rt△MCB中，由sinB=CMBC=（2）過點B作BG垂直于地面，垂足為G，分別過點A，C作BG的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求出∠BCF=45°，∠CBF=45°，∠ABF=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出BF=42cm，BE=6cm，求出點A本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖1，過點C作CM⊥AB，垂足為M，則在Rt△MCB中，sin∵∠ABC=60°，BC=8cm∴CM8∴CM=43∴DM=CM+CD=4+4∴點A到地面的距離為10.9cm（2）解：如圖2，過點B作BG垂直于地面，垂足為G，分別過點A，C作BG的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形FCDG是矩形，∴FG=CD=4，∠FCD=90°，∵∠BCD=135°，∠ABC=105°，∴∠BCF=45°，∠CBF=45°，∠ABF=60°，∴BF=BCcosBE=1∴點A到地面的距離為BF+FG?BE=4234．（2025·江西·二模）某學(xué)校操場的主席臺安裝了如圖1所示的遮陽棚，其截面示意圖如圖2所示，其中四邊形ABCD是矩形，主席臺高AB為1米．上午某時刻，經(jīng)過點E的太陽光線恰好照射在AD上的點F處，測得∠EFD=58°，主席臺受遮陽棚遮擋所形成的陰影區(qū)域的寬度AF為2.6米．一段時間后，經(jīng)過點E的太陽光線恰好照射在AD上的點G處，測得∠EGD=71.6°，陰影區(qū)域的寬度AG為4.0米，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G均在同一豎直平面內(nèi)．(1)求點E距離地面BC的高度；(2)當(dāng)太陽光線與地面夾角為71.6°時，若要使主席臺受遮陽棚遮擋所形成的陰影區(qū)域?qū)挾華G為4.5米，點E需在原高度的基礎(chǔ)上向上或向下移動多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin71.6°≈0.95，【答案】(1)點E距離地面BC的高度約為5.8米；(2)點E需在原高度的基礎(chǔ)上向下移動1.5米．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線構(gòu)造圖形是解題的關(guān)鍵．（1）過點E作EM⊥BC于點M，交AD于點H，設(shè)EH的長度為a米，解Rt△FHE得到FH=5a8，解Rt△GHE中得到，GH=a（2）由（1）的結(jié)論求得AH的長，根據(jù)點E上下移動，AH的長不變，列式計算即可求解．【詳解】（1）解：過點E作EM⊥BC于點M，交AD于點H，則四邊形CDHM為矩形，∠FHE=90°,HM=CD=1米，設(shè)EH的長度為a米，由題意得，在Rt△FHE中，∠FHE=90°，∠EFH=58°，tan∴FH=EH在Rt△GHE中，∠GHE=90°，∠EGH=71.6°，tan∴GH=EH∵AF=2.6米，AG=4米，∴FG=AG?AF=4?2.6=1.4米，∴FH?GH=FG=1.4米，即5a8解得：a=4.8，∴EM=EH+HM=4.8+1=5.8米．答：點E距離地面BC的高度約為5.8米；（2）解：由（1）知a=4.8，∴GH=a∴AH=AG+GH=4+1.6=5.6米，設(shè)改變后EH的長度為b米，同理，GH=b∵AG為4.5米，∴4.5+b3=5.64.8?3.3=1.5，∴點E需在原高度的基礎(chǔ)上向下移動1.5米．35．（2025·江西·模擬預(yù)測）某種水龍頭關(guān)閉時如圖1所示，將其簡畫成圖2，D，A，E三點共線，E?A?B?C是水管，AE⊥臺面MN．A?D?F是開關(guān)，可整體繞點A上下旋轉(zhuǎn)，且AD⊥DF，AE⊥AB，連接AF，∠FAD=71°，AE=14cm，AD=4(1)求AF的長度（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖3，當(dāng)開關(guān)開到最大時，△ADF旋轉(zhuǎn)到△AD′F′的位置上，旋轉(zhuǎn)角∠F′AF=41°，求此時點F′到臺面MN的距離（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin71°≈0.95，cos【答案】(1)AF的長度約為12(2)點F′到臺面MN的距離約為【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）在Rt△ADF（2）過點F′作F′H⊥MN，垂足為H，交AB于點G，在Rt【詳解】（1）解：由題意得，在Rt△ADF中，∠FAD=71°，AD=4cos∠FAD=∴AF=4∴AF的長度約為12cm（2）解：如圖，過點F′作F′H⊥MN，垂足為H，交AB∵AE⊥AB，∴∠DAB=90°，∵∠FAD=71°，∴∠FAB=90°?71°=19°，∴∠F在Rt△F′∴F′∵AE=14cm∴F′∴點F′到臺面MN的距離約為2436．（2025·江西撫州·一模）如圖，為助力鄉(xiāng)付振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶在一個坡度為i=3:4的斜坡上點A處安裝自動澆灌裝置（其高度忽略不計），為坡地AB進(jìn)行澆灌，點A處的自動澆灌裝置噴出的水柱呈拋物線形，已知AB=15m，水柱在距出水口A的水平距離為3m時，達(dá)到距離地面OB的豎直高度的最大值為12m．以O(shè)B所在的水平方向為x軸，OA(1)求圖中水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若該裝置澆灌的最遠(yuǎn)點為AB上的點C處，求點C距出水口的水平距離．【答案】(1)y=?(2)33【分析】本題考查二次函數(shù)的實際運用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式和函數(shù)的交點問題是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)坡比i=3:4，求出OA,OB的長，從而得到點A，點B坐標(biāo)，再由題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x?3)（2）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，由點A，點B坐標(biāo)求得直線AB的解析式，再由點C是直線AB和拋物線的交點，聯(lián)立方程并求解，即可求出點C坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵i=3:4，∴OA設(shè)OA=3t，則OB=4t．∴AB=O∴5t=15，解得t=3，∴OA=3t=9,OB=4t=12，∴點A的坐標(biāo)為(0,9)，點B的坐標(biāo)為(12,0)．由條件可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x?3)將(0,9)代入，可得9=a(0?3)解得a=?1∴水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（2）解：設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將點A(0,9)，點B(12,0)代入得：n=912m+n=0解得m=?3∴直線AB的解析式為y=?3聯(lián)立y=?1得13解得x1∴點C的橫坐標(biāo)為334∴點C距出水口的水平距離為33437．（2025·江西撫州·一模）如圖1，這是某市的一個黨建文化宣傳欄，其主視圖的一部分如圖2所示，在圖2中∠A=67°，(1)若∠D?∠C=11°，則∠C的度數(shù)為_______；(2)若AD=0.8m,AB=2.2m，求點D到BC的距離．（結(jié)果精確到0.1m【答案】(1)96°(2)點D到BC的距離約為1.9【分析】本題主要考查四邊形內(nèi)角和，解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)定義，作出輔助線．（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和進(jìn)行求解即可；（2）過點D分別作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F，證明四邊形DEBF是矩形，得出DF=BE，解直角三角形求出AE=AD?cosA=0.8×cos【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∠A=67°，∴∠D+∠C=360°?67°?90°=203°，∵∠D?∠C=11°，∴∠D=107°，∠C=96°；（2）解：如圖，過點D分別作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F，∵∠DEB=∠B=∠DFB=90°，∴四邊形DEBF是矩形，∴DF=BE，在△ADE中，∠A=67°,∠AED=90°,AD=0.8m∴AE=AD?cos∴BE=AB?AE=2.2?0.312=1.888≈1.9m∴DF=BE=1.9m∴點D到BC的距離約為1.9m38．（2025·江西宜春·一模）八一廣場，南昌這座英雄城市的重要地標(biāo)！為了紀(jì)念1927年8月1日發(fā)生的南昌起義，廣場中央矗立著八一起義紀(jì)念塔，如圖，紀(jì)念塔前有一斜坡AB=5m，坡度i=3:4，在點B處看塔尖的仰角為72°，AE=20(1)求點B到地面的垂直高度；(2)求紀(jì)念塔的高度CE（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，【答案】(1)點B到地面的垂直高度為33m(2)紀(jì)念塔的高度CE為52m【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，（1）如圖，過點B作BF⊥AE交AE于點F．由i=3:4得到BFAF=3（2）首先求出BD=16m，然后利用tan∠CBD=CD【詳解】（1）如圖，過點B作BF⊥AE交AE于點F．∵AB=5m，坡度i=3:4∴BFAF=3∴BF=3m，AF=4答：點B到地面的垂直高度為3m．（2）由（1）可知AF=4m∵AE=20m∴BD=FE=AE?AF=20?4=16(m∵在點B處看塔尖的仰角為72°，∴∠CBD=72°．∵tan∠CBD=∴CD=16?tan∴CE=CD+DE=CD+BF=49+3=52(m答：紀(jì)念塔的高度CE為52m．39．（2025·江西宜春·一模）水碓（duì）是中國古代利用水利驅(qū)動的舂搗工具，主要用于谷物脫殼（如稻谷去殼成米）、粉碎藥材或加工其他物料．水碓主要由水輪、碓體、碓臼組成，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動時利用杠桿原理使得凸輪或齒輪帶動碓桿上下運動，圖1為為水碓的結(jié)構(gòu)簡圖，圖2為碓體平面示意圖．已知OE是垂直水平地面AF的支柱，碓桿AB可繞支點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，且AB垂直碓頭CD于點B．若OE=0.3米，OA=0.6米，OB=1.8米，BD=0.6米，當(dāng)碓桿AB的一端點A接觸到水平地面時，碓頭頂點C抬升到最大高度．

(1)求碓頭頂點C抬升到最高時，∠BAF的度數(shù)；(2)當(dāng)碓頭頂點C抬升到最高時，求碓頭點D到水平地面AF的距離（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3=1.73【答案】(1)30°(2)0.7【分析】本題主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的函數(shù)比和構(gòu)造直角三角形．（1）根據(jù)題意，利用sin∠OAE=（2）過點B作BM⊥AF于點M，過點D作DN⊥AF于點N，過點D作DG⊥BM于點G，利用三角函數(shù)比依次求得BM、GB的長即可求解．【詳解】（1）解：在Rt△AOE中，OA=0.6，OE=0.3∴sin∴∠OAE=30°即∠BAF的度數(shù)為30°；（2）解：如圖所示，過點B作BM⊥AF于點M，過點D作DN⊥AF于點N，過點D作DG⊥BM于點G，由圖可知，四邊形DGMN為矩形，∴DN=GM，在Rt△ABM中，AB=OA+OB=0.6+1.8=2.4,∠BAM=30°∴BM=12AB=1.2∴∠GBD=90°?∠ABM=30°，在Rt△BDG中，BD=0.6∴cos∴GB=3∴GM=BM?GB=1.2?3所以，點D到水平地面AF的距離為0.7米．40．（2025·江西南昌·一模）圖1是一款展示支架，圖2是它的側(cè)面示意圖，AB可以在一定范圍內(nèi)伸縮且A，D，B三點共線，經(jīng)測量，∠ADC=140°，∠C=58°.(1)求∠B的度數(shù)；(2)若110cm≤AB≤197cm，求展示支架的高（點A（參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，【答案】(1)82°(2)108.9cm【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識點，正確作出輔助線、運用解直角三角形的知識解決實際問題成為解題的關(guān)鍵。（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列式計算即可；（2）如圖：過A作AE⊥BC，垂足為E.先求得∠EAB=90°?82°=8°，再解直角三角形可得AE=AB?cos8°≈0.99AB，然后根據(jù)AB的邊界點求得【詳解】（1）解：∵∠ADC是△BCD的外角，∠ADC=140°，∠C=58°，∴∠B=∠ADC?∠C.∴∠B=140°?58°=82°.（2）解：如圖：過A作AE⊥BC，垂足為E.∴∠EAB=90°?82°=8°.在RtΔAEB中，∴AE=AB?cos當(dāng)AB=110cm時，AE≈108.9當(dāng)AB=197cm時，AE≈195.0答：展示支架的高的取值范圍為108.9cm41．（2025·江西·模擬預(yù)測）如圖1，在一次物理光學(xué)實驗中，激光筆MN發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時，光線沿直線傳播后恰好經(jīng)過點B，加水至EF處時，光線經(jīng)過折射后經(jīng)過點C．圖2是示意圖，四邊形ABFE為矩形，DG為法線（法線DG與液面EF互相垂直），DF=48cm，BF=36(1)求入射角∠PDG的度數(shù)；(2)若測得BC=21cm，求C，D【答案】(1)53°(2)45【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，熟練三角函數(shù)求角度是解題的關(guān)鍵．（1）求得tan∠DBF，再利用平行線的性質(zhì)可得∠PDG（2）延長GD，與AB相交于點H，求得CH，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：∵DF=48cm∴∵tan∴∠DBF≈53°，根據(jù)題意得DG∥BF，∴∠PDG=∠DBF≈53°；（2）解：如圖，延長GD，與AB相交于點H，可得四邊形BFDH為矩形，∴∠DHC=90°，∴HC=BH?BC=48cm在Rt△DHC中，CD=故C，D兩點間的距離是45cm42．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）如圖①，是液體過