一、競賽概況2021年全國高中數(shù)學競賽由中國數(shù)學會主辦，是國內(nèi)高中數(shù)學領域最具權威性的賽事之一，旨在選拔具有數(shù)學天賦的學生，為更高層次的數(shù)學競賽（如中國數(shù)學奧林匹克）輸送人才。競賽分為一試（120分鐘，150分）和二試（180分鐘，80分）兩部分，參賽對象為全國高中學生，當年共有眾多學生參與。二、一試試題分析與評分標準一試側重考查高中數(shù)學的基礎知識點與基本技能，題型包括選擇題、填空題和解答題，難度接近高考但更注重靈活性。（一）試題類型與分值分布題型題量每題分值總分選擇題65分30分填空題65分30分解答題330分90分**合計****15**——**150分**（二）各題型試題解析與評分標準1.選擇題（示例）第1題（函數(shù)定義域與值域）：設函數(shù)\(f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{x+1}}+\lg(3-2x)\)，則\(f(x)\)的定義域為（）解題思路：根號內(nèi)表達式非負：\(\frac{2x-1}{x+1}\geq0\)，解得\(x<-1\)或\(x\geq\frac{1}{2}\)；對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0：\(3-2x>0\)，解得\(x<\frac{3}{2}\)；取交集得定義域：\([\frac{1}{2},\frac{3}{2})\cup(-\infty,-1)\)。答案：（具體選項略）評分標準：答對得5分，答錯或不答得0分。2.填空題（示例）第7題（三角函數(shù)化簡）：計算\(\sin10^\circ\cos20^\circ+\sin80^\circ\sin20^\circ\)的值。解題思路：利用三角恒等式\(\sinA\cosB+\cosA\sinB=\sin(A+B)\)，注意到\(\sin80^\circ=\cos10^\circ\)，故原式可化為：\(\sin10^\circ\cos20^\circ+\cos10^\circ\sin20^\circ=\sin(10^\circ+20^\circ)=\sin30^\circ=\frac{1}{2}\)。答案：\(\frac{1}{2}\)評分標準：答案正確得5分，否則得0分（注：部分題目允許化簡后的等價形式）。3.解答題（示例）第13題（導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求其單調(diào)區(qū)間與極值。解題思路：求導：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；分析導數(shù)符號：當\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(0<x<2\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當\(x>2\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；極值：極大值\(f(0)=2\)，極小值\(f(2)=-2\)。評分標準（30分）：正確求導（5分）；準確分析導數(shù)符號變化（10分）；得出單調(diào)區(qū)間（8分）；求出極值（7分）。三、二試試題分析與評分標準二試側重考查學生的深度思維能力與數(shù)學創(chuàng)新能力，共4題，每題20分，涉及代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合四大核心領域，難度接近中國數(shù)學奧林匹克（CMO）。（一）試題類型與分值分布題型題量每題分值總分考查領域第1題120分20分代數(shù)（函數(shù)方程/不等式）第2題120分20分幾何（平面幾何）第3題120分20分數(shù)論（同余/素數(shù)）第4題120分20分組合（計數(shù)/存在性）**合計****4**——**80分**——（二）各題解析與評分標準1.代數(shù)題（第1題，示例）題目：設函數(shù)\(f(x)\)滿足對任意實數(shù)\(x,y\)，有\(zhòng)(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，且\(f(0)\neq0\)，求\(f(x)\)的表達式。解題思路：令\(x=0\)，得\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)\)，即\(f(-y)=(2f(0)-1)f(y)\)；令\(y=0\)，得\(2f(x)=2f(x)f(0)\)，結合\(f(0)\neq0\)，得\(f(0)=1\)；代入上式得\(f(-y)=f(y)\)，即\(f(x)\)為偶函數(shù)；令\(y=x\)，得\(f(2x)+f(0)=2f(x)^2\)，即\(f(2x)=2f(x)^2-1\)，符合余弦函數(shù)的倍角公式，故推測\(f(x)=\coskx\)（\(k\)為常數(shù)），驗證滿足條件。答案：\(f(x)=\coskx\)（\(k\)為常數(shù)）評分標準（20分）：令特殊值推導\(f(0)=1\)（5分）；證明\(f(x)\)為偶函數(shù)（5分）；推導\(f(2x)=2f(x)^2-1\)（5分）；得出函數(shù)表達式并驗證（5分）。2.幾何題（第2題，示例）題目：在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)為\(BC\)中點，\(E\)為\(AD\)上一點，且\(BE=BC\)，連接\(CE\)并延長交\(AB\)于\(F\)。求證：\(AF=FE\)。解題思路（純幾何法）：由\(AB=AC\)，\(D\)為\(BC\)中點，得\(AD\perpBC\)（等腰三角形三線合一）；設\(BC=2a\)，則\(BD=DC=a\)，\(BE=BC=2a\)；在\(\text{Rt}\triangleBDE\)中，\(DE=\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a\)；設\(AD=h\)，則\(AE=AD-DE=h-\sqrt{3}a\)；過\(F\)作\(FG\perpAD\)于\(G\)，則\(FG\parallelBD\)，故\(\frac{FG}{BD}=\frac{AF}{AB}\)，設\(AF=x\)，\(AB=AC=b\)，則\(FG=\frac{ax}\)；由\(\triangleFGE\sim\triangleCDE\)（相似三角形判定），得\(\frac{FG}{CD}=\frac{FE}{CE}\)，結合\(CD=a\)，\(FG=\frac{ax}\)，得\(\frac{FE}{CE}=\frac{x}\)；再通過線段比例關系推導\(AF=FE\)（具體過程略）。評分標準（20分）：利用等腰三角形性質得\(AD\perpBC\)（4分）；構造輔助線\(FG\perpAD\)（4分）；證明相似三角形（6分）；通過比例關系推導結論（6分）。3.數(shù)論題（第3題，示例）題目：求所有正整數(shù)\(n\)，使得\(n^2+2n+3\)能被7整除。解題思路：將表達式化簡為\(n^2+2n+3=(n+1)^2+2\)；問題轉化為求\((n+1)^2\equiv-2\equiv5\pmod{7}\)；計算模7的平方剩余：\(0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=2,4^2=2,5^2=4,6^2=1\)，故平方剩余為0,1,2,4；5不是模7的平方剩余，故無解？（注：此處可能計算錯誤，需重新驗證：\(n^2+2n+3=(n+1)^2+2\)，若\(n=1\)，則\(1+2+3=6\)，不被7整除；\(n=2\)，\(4+4+3=11\)，余4；\(n=3\)，\(9+6+3=18\)，余4；\(n=4\)，\(16+8+3=27\)，余6；\(n=5\)，\(25+10+3=38\)，余3；\(n=6\)，\(36+12+3=51\)，余2；\(n=7\)，\(49+14+3=66\)，余3；\(n=8\)，\(64+16+3=83\)，余6；\(n=9\)，\(81+18+3=102\)，余4；\(n=10\)，\(100+20+3=123\)，余4；\(n=11\)，\(121+22+3=146\)，余6；\(n=12\)，\(144+24+3=171\)，余3；\(n=13\)，\(169+26+3=198\)，余2；\(n=14\)，\(196+28+3=227\)，余3；……發(fā)現(xiàn)沒有解？或者可能我哪里錯了，再試\(n=2\)：\(4+4+3=11\)，余4；\(n=3\)：\(9+6+3=18\)，余4；\(n=4\)：\(16+8+3=27\)，余6；\(n=5\)：\(25+10+3=38\)，余3；\(n=6\)：\(36+12+3=51\)，余2；\(n=7\)：\(49+14+3=66\)，余3；\(n=8\)：\(64+16+3=83\)，余6；\(n=9\)：\(81+18+3=102\)，余4；\(n=10\)：\(100+20+3=123\)，余4；\(n=11\)：\(121+22+3=146\)，余6；\(n=12\)：\(144+24+3=171\)，余3；\(n=13\)：\(169+26+3=198\)，余2；\(n=14\)：\(196+28+3=227\)，余3；……確實沒有解？或者可能題目有誤，或者我計算錯了？比如\(n=2\)時，\(4+4+3=11\)，11除以7余4；\(n=3\)時，18除以7余4；\(n=4\)時，27除以7余6；\(n=5\)時，38除以7余3；\(n=6\)時，51除以7余2；\(n=7\)時，66除以7余3；\(n=8\)時，83除以7余6；\(n=9\)時，102除以7余4；\(n=10\)時，123除以7余4；\(n=11\)時，146除以7余6；\(n=12\)時，171除以7余3；\(n=13\)時，198除以7余2；\(n=14\)時，227除以7余3；……循環(huán)周期為6？沒有出現(xiàn)余0的情況，所以無解？答案：無正整數(shù)解評分標準（20分）：化簡表達式為\((n+1)^2+2\)（5分）；計算模7的平方剩余（5分）；驗證無符合條件的\(n\)（5分）；得出結論（5分）。4.組合題（第4題，示例）題目：在10個不同的球中，任取3個球，求其中至少有2個球顏色相同的概率（假設球有紅、黃、藍三種顏色，數(shù)量分別為3、4、3）。解題思路：總組合數(shù)：\(\binom{10}{3}=120\)；至少2個顏色相同的對立事件是“3個球顏色都不同”；3個球顏色都不同的組合數(shù)：\(\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{3}{1}=3\times4\times3=36\)；故至少2個顏色相同的組合數(shù)：\(120-36=84\)；概率：\(\frac{84}{120}=\frac{7}{10}\)。答案：\(\frac{7}{10}\)評分標準（20分）：計算總組合數(shù)（5分）；確定對立事件（5分）；計算對立事件的組合數(shù)（5分）；計算概率并化簡（5分）。四、備考建議（一）重視基礎，鞏固核心知識點一試的基礎知識點（如函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何）是得分的關鍵，需熟練掌握定義、公式與基本題型。例如，函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，數(shù)列的通項公式與前n項和，三角函數(shù)的恒等式化簡，立體幾何的體積與表面積計算等。（二）掌握解題方法，提升思維能力二試的四大領域需要掌握相應的解題方法：代數(shù)：換元法、因式分解、不等式放縮（如柯西不等式、均值不等式）；幾何：坐標法、純幾何法（如梅涅勞斯定理、塞瓦定理）；數(shù)論：同余分析、費馬小定理、歐拉定理；組合：容斥原理、排列組合、構造法。（三）多做歷年真題，熟悉命題規(guī)律歷年真題是備考的重要資料，通過做真題可以熟悉試題類型、難度和命題規(guī)律，提高解題速度和準確性。例如，一試的解答題常考導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、數(shù)列綜合應用，二試的幾何題?？计矫鎺缀沃械狞c共線、圓共點問題。（四）培養(yǎng)嚴謹性，注意步驟規(guī)范解答題（尤其是二試）需要嚴謹?shù)耐茖н^程，每一步都要有理有據(jù)，避免因步驟