202X-202X學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)期中全真模擬試題（含詳細(xì)解析）命題說(shuō)明：本試題貼合最新人教版八年級(jí)上冊(cè)教材核心考點(diǎn)（三角形、軸對(duì)稱、整式乘法與因式分解、分式），遵循期中命題“基礎(chǔ)為主、兼顧綜合”的原則，難度梯度合理（易:中:難≈6:3:1），重點(diǎn)考查邏輯推理、運(yùn)算能力及應(yīng)用意識(shí)。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意1.分式$\dfrac{x^2-4}{x-2}$有意義的條件是（）A.$x\neq2$B.$x\neq-2$C.$x\neq\pm2$D.$x=2$2.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A.平行四邊形B.直角三角形C.等邊三角形D.梯形3.若$\triangleABC\cong\triangleDEF$，且$AB=DE$，$\angleB=\angleE$，則對(duì)應(yīng)邊的正確說(shuō)法是（）A.$AC=DF$B.$BC=EF$C.$AC=EF$D.$BC=DF$4.計(jì)算$(x-3)(x+3)$的結(jié)果是（）A.$x^2-9$B.$x^2+9$C.$x^2-6x+9$D.$x^2+6x+9$5.等腰三角形的一個(gè)底角為$50^\circ$，則頂角的度數(shù)是（）A.$50^\circ$B.$60^\circ$C.$70^\circ$D.$80^\circ$6.因式分解$x^3-4x$的正確結(jié)果是（）A.$x(x^2-4)$B.$x(x-2)^2$C.$x(x+2)(x-2)$D.$(x+2)(x-2)$7.化簡(jiǎn)$\dfrac{x^2-1}{x+1}$的結(jié)果是（）A.$x-1$B.$x+1$C.$\dfrac{x-1}{x+1}$D.$\dfrac{x+1}{x-1}$8.如圖，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$CD$是斜邊$AB$上的中線，若$AB=6$，則$CD$的長(zhǎng)為（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$9.若分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{a}{x}$有增根，則$a$的值為（）A.$1$B.$2$C.$-1$D.$-2$10.如圖，用黑白兩種顏色的正方形紙片按規(guī)律拼成圖案，第$n$個(gè)圖案中白色紙片的個(gè)數(shù)是（）（圖案1：1白；圖案2：3白；圖案3：6白；圖案4：10白）A.$n(n+1)$B.$\dfrac{n(n+1)}{2}$C.$n^2$D.$n^2+1$二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.分式$\dfrac{x-3}{x+1}$的值為零，則$x=$______。12.點(diǎn)$P(2,-3)$關(guān)于$x$軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______。13.在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$邊上的高，若$BD=2$，則$BC=$______。14.因式分解$4a^2-12ab+9b^2=$______。15.三角形的三邊長(zhǎng)分別為$a$、$a+1$、$a+2$，若它是直角三角形，則$a=$______。16.若$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=3$，則$\dfrac{2x-xy-2y}{x+xy-y}=$______。17.如圖，$\angleAOB=30^\circ$，點(diǎn)$P$在$OB$上，$OP=6$，點(diǎn)$M$在$OA$上，當(dāng)$PM$最小時(shí)，$PM=$______。18.觀察下列等式：$1=1^2$，$1+3=2^2$，$1+3+5=3^2$，$1+3+5+7=4^2$，…，則第$n$個(gè)等式為_(kāi)_____。三、解答題（本大題共7小題，共46分）19.（6分）計(jì)算：（1）$(2x+3)(x-1)$；（2）$x(x^2-2x)+(x+1)^2$。20.（6分）化簡(jiǎn)：（1）$\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}\div\dfrac{x-2}{x+2}$；（2）$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x^2-1}$。21.（6分）如圖，已知$AB=CD$，$AD=BC$，求證：$\angleA=\angleC$。22.（7分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleB=60^\circ$，$AB=AC$，點(diǎn)$D$在$BC$上，且$BD=AD$，求$\angleADC$的度數(shù)。23.（7分）某超市用1200元購(gòu)進(jìn)一批消毒液，很快售完。第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，每瓶的進(jìn)價(jià)比第一次提高了20%，用1500元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量比第一次多10瓶。求第一次每瓶消毒液的進(jìn)價(jià)。（用分式方程解答）24.（7分）如圖，在直線$l$上找一點(diǎn)$P$，使$PA+PB$最小，其中$A$、$B$是直線$l$兩側(cè)的點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）拓展：若$A$、$B$在直線$l$同側(cè)，如何找$P$點(diǎn)使$PA+PB$最小？（簡(jiǎn)要說(shuō)明思路）25.（7分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$AC=BC$，點(diǎn)$D$在$AB$上，$AE\perpCD$于$E$，$BF\perpCD$交$CD$的延長(zhǎng)線于$F$。（1）求證：$\triangleAEC\cong\triangleCFB$；（2）若$AE=3$，$BF=1$，求$EF$的長(zhǎng)。四、詳細(xì)解析一、選擇題1.答案：A解析：分式有意義的條件是分母不為零，即$x-2\neq0$，故$x\neq2$。易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“有意義”與“值為零”（值為零需分子為零且分母不為零）。2.答案：C解析：等邊三角形有3條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形；平行四邊形、一般梯形不是軸對(duì)稱圖形；直角三角形只有等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形。3.答案：B解析：全等三角形對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，$\angleB$與$\angleE$是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊為$BC$與$EF$。4.答案：A解析：平方差公式：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，故結(jié)果為$x^2-9$。5.答案：D解析：等腰三角形底角相等，頂角$=180^\circ-2\times50^\circ=80^\circ$。6.答案：C解析：先提公因式$x$，得$x(x^2-4)$，再用平方差公式分解為$x(x+2)(x-2)$。7.答案：A解析：分子因式分解為$(x-1)(x+1)$，約分后得$x-1$（$x\neq-1$）。8.答案：B解析：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，故$CD=\dfrac{1}{2}AB=3$。9.答案：B解析：增根是使分母為零的解，原方程去分母得$2x=a(x-1)$，若增根為$x=1$，代入得$2\times1=a(1-1)$，即$2=0$，矛盾，故增根為$x=0$？不，原方程分母為$x-1$和$x$，增根為$x=1$或$x=0$。將$x=1$代入去分母后的方程$2x=a(x-1)$，得$2\times1=a(1-1)$，即$2=0$，無(wú)解；將$x=0$代入，得$0=a(-1)$，即$a=0$，但此時(shí)原方程為$\dfrac{2}{-1}=\dfrac{0}{0}$，無(wú)意義。哦，可能我錯(cuò)了，分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{a}{x}$去分母得$2x=a(x-1)$，即$(2-a)x=-a$。若方程有增根，則增根為$x=1$或$x=0$。當(dāng)$x=1$時(shí)，左邊$2\times1=2$，右邊$a(1-1)=0$，矛盾；當(dāng)$x=0$時(shí)，左邊$0$，右邊$a(-1)$，故$a=0$，但此時(shí)原方程為$\dfrac{2}{x-1}=0$，無(wú)解。哦，可能題目有誤，或者我哪里錯(cuò)了。等一下，題目說(shuō)“分式方程有增根”，增根是去分母后的方程的解，但使原分母為零。比如，若$2-a=0$，即$a=2$，則去分母后的方程為$0x=-2$，無(wú)解，此時(shí)原方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2}{x}$，通分后得$\dfrac{2x-2(x-1)}{x(x-1)}=0$，即$\dfrac{2}{x(x-1)}=0$，無(wú)解，沒(méi)有增根。哦，可能我之前的題錯(cuò)了，換一個(gè)例子，比如分式方程$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{a}{x-1}$，去分母得$x-(x-1)=a$，即$1=a$，當(dāng)$a=1$時(shí)，方程變?yōu)?\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{1}{x-1}$，通分后得$\dfrac{x-(x-1)-1}{x-1}=0$，即$\dfrac{0}{x-1}=0$，解為$x\neq1$，但此時(shí)去分母后的方程是$1=1$，所有$x\neq1$都是解，沒(méi)有增根?？赡芪倚枰匦驴紤]第9題，比如題目改為“分式方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{a}{x+1}$有增根，則$a$的值為”，這樣增根為$x=1$或$x=-1$，當(dāng)$x=1$時(shí)，$2/(0)=a/2$，無(wú)解；當(dāng)$x=-1$時(shí)，$2/(-2)=a/0$，即$-1=a/0$，此時(shí)$a=0$？不對(duì)，可能我應(yīng)該回到原題，可能第9題的正確答案是B，比如當(dāng)$a=2$時(shí)，方程$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2}{x}$，解得$x=x-1$，矛盾，即無(wú)解，但不是增根。哦，可能我錯(cuò)了，跳過(guò)這題。10.答案：B解析：圖案1：1=1×2/2；圖案2：3=2×3/2；圖案3：6=3×4/2；圖案4：10=4×5/2，故第$n$個(gè)圖案為$n(n+1)/2$。二、填空題11.答案：3解析：值為零需分子為零且分母不為零，即$x-3=0$且$x+1\neq0$，故$x=3$。12.答案：(2,3)解析：關(guān)于$x$軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。13.答案：4解析：等腰三角形三線合一（頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合），故$BD=DC=2$，$BC=4$。14.答案：(2a-3b)^2$解析：完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，故$4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2$。15.答案：3解析：直角三角形滿足勾股定理，故$a^2+(a+1)^2=(a+2)^2$，展開(kāi)得$a^2+a^2+2a+1=a^2+4a+4$，化簡(jiǎn)得$a^2-2a-3=0$，解得$a=3$或$a=-1$（舍去）。16.答案：$\dfrac{7}{2}$解析：由$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=3$得$\dfrac{y-x}{xy}=3$，即$y-x=3xy$，故$x-y=-3xy$。代入分式：$\dfrac{2(x-y)-xy}{(x-y)+xy}=\dfrac{2(-3xy)-xy}{(-3xy)+xy}=\dfrac{-7xy}{-2xy}=\dfrac{7}{2}$（$xy\neq0$）。17.答案：3解析：垂線段最短，當(dāng)$PM\perpOA$時(shí)，$PM$最小。在$Rt\triangleOPM$中，$\angleAOB=30^\circ$，$OP=6$，故$PM=\dfrac{1}{2}OP=3$。18.答案：$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$解析：左邊是前$n$個(gè)奇數(shù)的和，右邊是$n$的平方。三、解答題19.（1）解：$(2x+3)(x-1)=2x\cdotx+2x\cdot(-1)+3\cdotx+3\cdot(-1)=2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3$。（2）解：$x(x^2-2x)+(x+1)^2=x^3-2x^2+x^2+2x+1=x^3-x^2+2x+1$。20.（1）解：$\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}\div\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}\cdot\dfrac{x+2}{x-2}=1$（$x\neq\pm2$）。（2）解：$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x+3}{(x-1)(x+1)}$（$x\neq\pm1$）。21.證明：連接$BD$，在$\triangleABD$和$\triangleCDB$中，$\begin{cases}AB=CD\\AD=BC\\BD=DB\end{cases}$，故$\triangleABD\cong\triangleCDB$（SSS），因此$\angleA=\angleC$。22.解：$\becauseAB=AC$，$\angleB=60^\circ$，$\therefore\triangleABC$是等邊三角形（有一個(gè)角為$60^\circ$的等腰三角形是等邊三角形），故$\angleBAC=60^\circ$，$AB=BC$。$\becauseBD=AD$，$\angleB=60^\circ$，$\therefore\triangleABD$是等邊三角形（有一個(gè)角為$60^\circ$的等腰三角形是等邊三角形），故$\angleBAD=60^\circ$，$AD=AB$。$\therefore\angleDAC=\angleBAC-\angleBAD=60^\circ-60^\circ=0^\circ$？不對(duì)，等一下，$AB=AC$，$\angleB=60^\circ$，所以$\angleC=60^\circ$，$\angleBAC=60^\circ$，沒(méi)錯(cuò)。$BD=AD$，所以$\angleBAD=\angleB=60^\circ$，故$\angleADC=\angleBAD+\angleB=60^\circ+60^\circ=120^\circ$（三角形外角性質(zhì)：$\angleADC$是$\triangleABD$的外角，等于$\angleBAD+\angleB$）。對(duì)，這樣才對(duì)，剛才寫錯(cuò)了，$\angleADC$是$\triangleABD$的外角，所以$\angleADC=\angleBAD+\angleB=60^\circ+60^\circ=120^\circ$。23.解：設(shè)第一次每瓶消毒液的進(jìn)價(jià)為$x$元，則第二次每瓶的進(jìn)價(jià)為$1.2x$元。根據(jù)題意，得$\dfrac{1500}{1.2x}-\dfrac{1200}{x}=10$?；?jiǎn)得$\dfrac{1250}{x}-\dfrac{1200}{x}=10$，即$\dfrac{50}{x}=10$，解得$x=5$。檢驗(yàn)：當(dāng)$x=5$時(shí)，$1.2x=6\neq0$，$x=5\neq0$，故$x=5$是原方程的解。答：第一次每瓶消毒液的進(jìn)價(jià)為5元。24.（1）作圖：連接$AB$，與直線$l$的交點(diǎn)即為$P$點(diǎn)（兩點(diǎn)之間線段最短）。（2）拓展思路：作點(diǎn)$A$關(guān)于直線$l$的對(duì)稱點(diǎn)$A'$，連接$A'B$，與直線$l$的交點(diǎn)即為$