教學設(shè)計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高二學期上學期課題數(shù)列的概念（1）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學A版選擇性必修2出版社：人民教育出版社出版日期教學目標教學目標：1.通過日常生活和數(shù)學中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式.2.經(jīng)歷“事實—概念”的概念形成過程，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).類比函數(shù)，在數(shù)列學習中經(jīng)歷“定義—表示方法—性質(zhì)”的研究過程，體會研究一個數(shù)學對象的基本路徑，感受類比遷移、從特殊到一般等數(shù)學思想方法.3.學會用聯(lián)系的觀點學習數(shù)學，形成系統(tǒng)的知識鏈，將新知識順利納入已有的知識體系．提升觀察、歸納的思維品質(zhì)，養(yǎng)成自主探索的學習習慣；感受數(shù)學文化的魅力，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣.教學重點：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用.教學難點：從實例中抽象出數(shù)列的概念教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動情境導入問題1：德國的天文學家提丟斯于1766年提出了一個數(shù)列：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，…這個數(shù)列能夠反映太陽系諸行星與太陽的平均距離.如果你是天文學家，通過這列數(shù)，你有什么大膽的猜測？師生活動：教師呈現(xiàn)情境，向?qū)W生敘述關(guān)于天文學家提丟斯的故事，學生通過教師的敘述，對數(shù)列有一個初步的印象.研究路徑問題2：如何研究“數(shù)列”這一新的概念？師生活動：學生在教師的引導下，回顧函數(shù)的學習過程，類比函數(shù)“定義—表示方法—性質(zhì)”的研究路徑來學習數(shù)列.概念形成問題3：如何給“數(shù)列”下定義？師生活動：教師引導學生思考給數(shù)列下定義的方法，即：類比給出函數(shù)概念的思路，歸納幾個具體的例子所滿足的共同特征，通過“事實—概念（定義、表示）”的數(shù)學抽象過程，給出數(shù)列的定義.追問（1）：王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？師生活動：教師引導學生記王芳第i歲時的身高為hi，i=1的時候，就表示1歲時的身高h1，也就是75.同理，h2＝87，h3=96，h17＝168．hi中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，也就是說h1＝75是排在第１位的數(shù)，h2＝87是排在第２位的數(shù)……h(huán)17＝168是排在第17位的數(shù).學生不難理解，如果它們之間交換位置，那么表示的意義就不一樣了．所以，這是具有確定順序的一列數(shù)．追問（2）：在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上就有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？師生活動：教師引導學生類比描述第一個例子的方法來分析這列數(shù).記第i天月亮可見部分的數(shù)為si，那么s1＝5，s2＝10，…，s15＝240．這里，si中的i反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置.s1＝5是排在第1位的數(shù)，s2＝10是排在第2位的數(shù)……s15＝240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置．所以，這也是具有確定順序的一列數(shù)．追問（3）：的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：，，，，….你能仿照上面的敘述，說明這也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？師生活動：學生仿照前兩個例子的敘述，分析這列數(shù).追問（4）：上述例子的共同特征是什么？師生活動：教師引導學生從特殊到一般，歸納三個例子的共同特征，抓住“一列數(shù)”和“順序”這兩個關(guān)鍵點.問題4：數(shù)列的定義是什么？師生活動：教師引導學生根據(jù)上述三個例子的共同特征，給出數(shù)列的定義：一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.追問（1）：1，3，5，7是一個數(shù)列，7，5，3，1也是一個數(shù)列，這兩個數(shù)列是不是同一個數(shù)列？師生活動：教師提醒學生，根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列中的數(shù)是有先后順序的，兩個數(shù)列即使所含的數(shù)完全相同，只要排列的順序不同，就是兩個不同的數(shù)列.追問（2）：1，1，1，1，1…是不是一個數(shù)列？師生活動：教師讓學生認識到數(shù)列中的數(shù)只要求按一定順序排列，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復出現(xiàn)．掌握數(shù)列的概念，要抓住兩個關(guān)鍵詞：一列數(shù)和順序．問題5：如何用一般的符號來表示數(shù)列？師生活動：教師引導學生通過數(shù)列的定義獲得從數(shù)學上刻畫數(shù)列的方法——用正整數(shù)表示數(shù)列確定的順序，即用，，···，，…分別表示數(shù)列的第1項（或稱為首項）、第2項、…，第n項，….數(shù)列的一般形式可以寫成，，···，，···，簡記為．追問：在數(shù)列中，符號與所表示的意義是否相同？師生活動：教師引導學生認識到僅表示數(shù)列中的第n項這一個數(shù)值．而表示一個數(shù)列，通常要在其前面寫上“數(shù)列”這兩個字，即“數(shù)列”.問題6：對于不同的數(shù)列，它們的項數(shù)有何特點呢？師生活動：教師引導學生回顧第一個例子，一共有17項，第二個例子有15項，這都是含有有限項的數(shù)列.而第三個數(shù)列就不同了，它有無窮多個項.可以根據(jù)數(shù)列中項數(shù)的有限和無限，將數(shù)列分成以下兩類：有窮數(shù)列（項數(shù)有限的數(shù)列）；無窮數(shù)列（項數(shù)無限的數(shù)列）．概念辨析問題7：數(shù)列中的各項與各項序號k（k＝1，2，3，···，n，···）之間的對應(yīng)關(guān)系是什么關(guān)系？師生活動：教師呈現(xiàn)數(shù)列各項與序號一一對應(yīng)的關(guān)系：學生根據(jù)教師呈現(xiàn)的數(shù)列各項與其序號的對應(yīng)關(guān)系，認識到對于每一個正整數(shù)n，都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以數(shù)列中的各項與各項序號k（k＝1，2，3，···，n，···）之間的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.由此可見，數(shù)列實際上是由序號和項構(gòu)成的函數(shù).追問：，，，，···，，…和，，，是同一個數(shù)列嗎？能否從函數(shù)的角度解釋一下？師生活動：學生從函數(shù)的角度解釋它們不是同一個數(shù)列的原因：第一個數(shù)列n可取一切正整數(shù)，所以定義域就是正整數(shù)集，它是個無窮數(shù)列.而第二個數(shù)列是個有窮數(shù)列，它的定義域?qū)嶋H上是正整數(shù)集的一個有限子集.因為定義域不同，所以不是同一個數(shù)列.教師借機讓學生認識到繼續(xù)研究數(shù)列的函數(shù)特性的必要性，并進一步引導學生得出：數(shù)列的定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，值域是實數(shù)集的子集.所以數(shù)列是從正整數(shù)集（或它的有限子集）到實數(shù)集的函數(shù).問題8：數(shù)列有哪些表示方法？師生活動：教師引導學生回顧當初研究函數(shù)的時候，學習了函數(shù)的概念和構(gòu)成三要素之后，又學習了函數(shù)的表示方法，有列表法、圖象法、解析法.數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，也應(yīng)當有這三種表示方法．追問（1）：數(shù)列的圖象有什么特點？師生活動：學生畫出某一數(shù)列的圖象，發(fā)現(xiàn)它是離散的，由一些孤立的點構(gòu)成，不能連在一起，這跟之前見到的大部分函數(shù)圖象不太一樣.教師引導學生思考導致這個現(xiàn)象的原因.學生不難發(fā)現(xiàn)根源在定義域：以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列的自變量只能取一個一個的整數(shù)，是離散的數(shù)，所以畫出的圖象自然也就是離散的.追問（2）：數(shù)列通項公式的作用是什么？師生活動：教師給出數(shù)列通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子就是數(shù)列的函數(shù)解析式，叫做這個數(shù)列的通項公式．教師幫助學生認識到：有了通項公式，就可以寫出數(shù)列的各項．問題9：數(shù)列的單調(diào)性是怎樣定義的？師生活動：教師引導學生用列表法和圖像法表示數(shù)列：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.教師讓學生從表和圖中觀察該數(shù)列中的項隨序號的變化呈現(xiàn)出的特點.學生不難發(fā)現(xiàn)從第2項起，每一項都大于它的前一項.教師趁機給出遞增數(shù)列的定義：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列.類比遞增數(shù)列的定義，給出遞減數(shù)列的定義：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列．特別地，各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列，如前面提到過的1，1，1，1，1…．鞏固新知例1根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象．（1）；（2）師生活動：教師引導學生根據(jù)通項公式，令n=1，就得到了首項，令n=2，就得到，以此類推，就可分別求出這兩個數(shù)列的前5項：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1.根據(jù)前5項的數(shù)據(jù)進行描點.教師提醒學生注意描點后不能連線了，因為數(shù)列圖象就是由一些孤立的點構(gòu)成的.追問：你能判斷（1）中數(shù)列的單調(diào)性嗎？師生活動：學生根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，結(jié)合圖象，不難得出：（1）中的數(shù)列是遞增數(shù)列.例2：根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）1，，，，…；（2）2，0，2，0，…．師生活動：學生在教師的引導下發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)列的特點是有正有負，正負相間.教師說明：我們常常用或來表示正負相間的變化規(guī)律．學生不難發(fā)現(xiàn)，除了正負方面的特征之外，（1）中數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為.有了第一個的基礎(chǔ)，學生在探究（2）中的數(shù)列時，不難發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列前４項的奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0，所以它的一個通項公式為.課堂小結(jié)問題10：回顧本節(jié)課所學的知識，思考：什么是數(shù)列