統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)題及答案一、概率論基礎(chǔ)1.某高校統(tǒng)計(jì)專業(yè)學(xué)生中，60%為女生，40%為男生。已知女生中30%選修了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，男生中50%選修了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。現(xiàn)隨機(jī)抽取一名選修了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)生，求該學(xué)生是女生的概率。解答：設(shè)事件A為“學(xué)生是女生”，事件B為“選修了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)”。已知P(A)=0.6，P(?A)=0.4；P(B|A)=0.3，P(B|?A)=0.5。根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為P(A|B)=P(B|A)P(A)/[P(B|A)P(A)+P(B|?A)P(?A)]。代入數(shù)據(jù)得分子為0.3×0.6=0.18，分母為0.18+0.5×0.4=0.18+0.2=0.38，因此P(A|B)=0.18/0.38≈0.4737，即約47.37%。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，求λ的值。解答：泊松分布的期望E(X)=λ，方差Var(X)=λ，且E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=λ+λ2。展開E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2。代入已知條件得(λ+λ2)-3λ+2=1，整理為λ2-2λ+1=0，解得λ=1。二、參數(shù)估計(jì)3.從某批燈泡中隨機(jī)抽取10只，測(cè)得其壽命（單位：小時(shí)）為：1520,1480,1500,1530,1490,1510,1540,1470,1550,1500。假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2未知，求μ的95%置信區(qū)間。解答：首先計(jì)算樣本均值x?和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s。x?=(1520+1480+…+1500)/10=1509。樣本方差s2=[(1520-1509)2+…+(1500-1509)2]/(10-1)=[(121)+(81)+(1)+(441)+(361)+(1)+(961)+(361)+(1681)+(81)]/9=(121+81=202;202+1=203;203+441=644;644+361=1005;1005+1=1006;1006+961=1967;1967+361=2328;2328+1681=4009;4009+81=4090)/9≈454.44，故s≈21.32。自由度n-1=9，查t分布表得t?.???(9)=2.262。置信區(qū)間為x?±tα/2(s/√n)=1509±2.262×(21.32/√10)≈1509±2.262×6.74≈1509±15.26，即(1493.74,1524.26)。4.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1)（0<x<1，θ>0），其中θ為未知參數(shù)。從總體中抽取樣本X?,X?,…,X?，求θ的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。解答：（1）矩估計(jì)：一階原點(diǎn)矩E(X)=∫?1x·θx^(θ-1)dx=θ∫?1x^θdx=θ/(θ+1)。令樣本均值x?=E(X)，即x?=θ/(θ+1)，解得θ=x?/(1-x?)，故矩估計(jì)量為θ?=X?/(1-X?)。（2）極大似然估計(jì)：似然函數(shù)L(θ)=∏?=1?θx?^(θ-1)=θ?(∏x?)^(θ-1)。取對(duì)數(shù)得lnL=nlnθ+(θ-1)∑lnx?。對(duì)θ求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：d(lnL)/dθ=n/θ+∑lnx?=0，解得θ=-n/∑lnx?，故極大似然估計(jì)量為θ?=-n/∑lnX?。三、假設(shè)檢驗(yàn)5.某工廠聲稱其生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度均值為10cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5cm。現(xiàn)隨機(jī)抽取25個(gè)零件，測(cè)得樣本均值為10.2cm。在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該工廠的聲稱是否成立（假設(shè)長(zhǎng)度服從正態(tài)分布）。解答：原假設(shè)H?:μ=10，備擇假設(shè)H?:μ≠10（雙側(cè)檢驗(yàn)）?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差已知，用Z檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(x?-μ?)/(σ/√n)=(10.2-10)/(0.5/√25)=0.2/(0.1)=2。α=0.05時(shí)，雙側(cè)檢驗(yàn)的臨界值為Zα/2=1.96。由于|Z|=2>1.96，拒絕H?，認(rèn)為零件長(zhǎng)度均值與10cm有顯著差異。6.為比較兩種教學(xué)方法對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響，隨機(jī)選取10名學(xué)生，分別用方法A和方法B教學(xué)，成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑簩W(xué)生編號(hào)：12345678910方法A：85789288758090837986方法B：82759085737888817684假設(shè)成績(jī)差值服從正態(tài)分布，在α=0.05下檢驗(yàn)兩種方法的效果是否有顯著差異。解答：首先計(jì)算差值d?=A?-B?，得d=(3,3,2,3,2,2,2,2,3,2)。計(jì)算差值的均值d?=(3+3+2+3+2+2+2+2+3+2)/10=2.5，差值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_d=√[∑(d?-d?)2/(n-1)]。計(jì)算各d?-d?：0.5,0.5,-0.5,0.5,-0.5,-0.5,-0.5,-0.5,0.5,-0.5。平方和為(0.25×4)+(0.25×6)=0.25×10=2.5，故s_d=√(2.5/9)≈0.527。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(d?-0)/(s_d/√n)=2.5/(0.527/√10)≈2.5/(0.167)≈14.97。自由度n-1=9，α=0.05的雙側(cè)臨界值t?.???(9)=2.262。由于|t|=14.97>2.262，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法效果有顯著差異。四、方差分析7.某公司為研究三種廣告形式（A、B、C）對(duì)產(chǎn)品銷量的影響，選取12個(gè)銷售點(diǎn)，每種廣告形式分配4個(gè)點(diǎn)，銷量（單位：件）如下：A：25,28,22,24B：30,32,29,31C：18,20,16,19在α=0.05下檢驗(yàn)三種廣告形式的銷量是否有顯著差異。解答：（1）計(jì)算各組均值：x?_A=(25+28+22+24)/4=24.75，x?_B=(30+32+29+31)/4=30.5，x?_C=(18+20+16+19)/4=18.25，總均值x?=(24.75×4+30.5×4+18.25×4)/12=(99+122+73)/12=294/12=24.5。（2）計(jì)算總平方和SST=∑∑(x??-x?)2。A組：(25-24.5)2+(28-24.5)2+(22-24.5)2+(24-24.5)2=0.25+12.25+6.25+0.25=19；B組：(30-24.5)2+…+(31-24.5)2=30.25+56.25+20.25+42.25=149；C組：(18-24.5)2+…+(19-24.5)2=42.25+30.25+72.25+30.25=175；總SST=19+149+175=343。（3）組間平方和SSA=∑n?(x??-x?)2=4×(24.75-24.5)2+4×(30.5-24.5)2+4×(18.25-24.5)2=4×0.0625+4×36+4×39.0625=0.25+144+156.25=300.5。（4）組內(nèi)平方和SSE=SST-SSA=343-300.5=42.5。（5）自由度：組間df_A=3-1=2，組內(nèi)df_E=12-3=9，總df_T=11。（6）均方MSA=SSA/df_A=300.5/2=150.25，MSE=SSE/df_E=42.5/9≈4.722。（7）F統(tǒng)計(jì)量=F=MSA/MSE=150.25/4.722≈31.82。查F分布表，F(xiàn)?.??(2,9)=4.26。由于31.82>4.26，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為三種廣告形式的銷量有顯著差異。五、回歸分析8.某地區(qū)居民消費(fèi)支出（Y，萬(wàn)元）與可支配收入（X，萬(wàn)元）的樣本數(shù)據(jù)如下：X：5,7,9,11,13,15Y：3,4,5,6,7,8（1）求Y關(guān)于X的一元線性回歸方程；（2）計(jì)算判定系數(shù)R2，并解釋其意義；（3）檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性（α=0.05）。解答：（1）計(jì)算x?=(5+7+9+11+13+15)/6=10，?=(3+4+5+6+7+8)/6=5.5?！苮?y?=5×3+7×4+9×5+11×6+13×7+15×8=15+28+45+66+91+120=365?！苮?2=25+49+81+121+169+225=670?！苰?2=9+16+25+36+49+64=199。斜率b?=(n∑x?y?-∑x?∑y?)/[n∑x?2-(∑x?)2]=(6×365-60×33)/(6×670-602)=(2190-1980)/(4020-3600)=210/420=0.5。截距b?=?-b?x?=5.5-0.5×10=0.5。故回歸方程為?=0.5+0.5X。（2）總平方和SST=∑(y?-?)2=∑y?2-n?2=199-6×(5.5)2=199-6×30.25=199-181.5=17.5。回歸平方和SSR=b?2[n∑x?2-(∑x?)2]/n=(0.5)2×420/6=0.25×70=17.5（或SSR=∑(??-?)2=∑(0.5+0.5x?-5.5)2=∑(0.5x?-5)2=0.25∑(x?-10)2=0.25×[(5-10)2+…+(15-10)2]=0.25×(25+9+1+1+9+25)=0.25×70=17.5）。殘差平方和SSE=SST-SSR=17.5-17.5=0（因數(shù)據(jù)完全線性相關(guān)）。判定系數(shù)R2=SSR/SST=17.5/17.5=1，說(shuō)明可支配收入能完全解釋消費(fèi)支出的變化。（3）檢驗(yàn)H?:β?=0，H?:β?≠0。估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤S=√(SSE/(n-2))=√(0/4)=0（實(shí)際中因數(shù)據(jù)完全線性，標(biāo)準(zhǔn)誤為0，t統(tǒng)計(jì)量趨于無(wú)窮大）。t統(tǒng)計(jì)量t=b?/(S/√(∑(x?-x?)2))=0.5/(0/√70)→∞（實(shí)際情況下，當(dāng)R2=1時(shí)，回歸系數(shù)必然顯著）。因此拒絕H?，認(rèn)為回歸系數(shù)顯著不為0。9.某商品銷量（Y）與價(jià)格（X?）、廣告投入（X?）的多元線性回歸結(jié)果如下（括號(hào)內(nèi)為t值）：?=120-5X?+0.8X?（-3.2）（2.5）n=30，R2=0.85，F(xiàn)=28.6（p=0.000）（1）解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義；（2）檢驗(yàn)價(jià)格對(duì)銷量的影響是否顯著（α=0.05）；（3）說(shuō)明F檢驗(yàn)的結(jié)論。解答：（1）價(jià)格X?每增加1單位，銷量Y平均減少5單位；廣告投入X?每增加1單位，銷量Y平均增加0.8單位。（2）價(jià)格系數(shù)的t值為-3.2，絕對(duì)值大于t?.???(27)=2.052（n-2=30-2=28，近似取27），且p值小于0.05（因t=3.2>2.052），故拒絕H?，認(rèn)為價(jià)格對(duì)銷量的影響顯著。（3）F統(tǒng)計(jì)量=28.6，p=0.000<0.05，拒絕原假設(shè)（所有回歸系數(shù)均為0），說(shuō)明回歸模型整體顯著，即價(jià)格和廣告投入聯(lián)合對(duì)銷量有顯著影響。六、時(shí)間序列分析10.某城市2018-2022年各季度的用電量（單位：億度）如下：年份/季度：2018Q12018Q22018Q32018Q42019Q12019Q22019Q32019Q42020Q12020Q22020Q32020Q42021Q12021Q22021Q32021Q42022Q12022Q22022Q32022Q4用電量：1215181013161911141720121518211316192214（1）計(jì)算各季度的季節(jié)指數(shù)；（2）預(yù)測(cè)2023Q1的用電量（假設(shè)2023年趨勢(shì)值為17）。解答：（1）季節(jié)指數(shù)計(jì)算步驟：①計(jì)算各年同季度的平均：Q1=(