大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計附答案一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，則P(A|B)的值為（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.72.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=\[\begin{cases}kxy,&0<x<1,0<y<x\\0,&\text{其他}\end{cases}\]則常數(shù)k=（）A.2B.4C.6D.84.設(shè)X?,X?,…,X?是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡單隨機(jī)樣本，\(\bar{X}\)為樣本均值，S2為樣本方差，則下列統(tǒng)計量中服從t(n-1)分布的是（）A.\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\)B.\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}\)C.\(\frac{(n-1)S2}{\sigma2}\)D.\(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)5.設(shè)總體X~N(μ,1)，X?,X?,X?為樣本，對假設(shè)H?:μ=0vsH?:μ≠0，取拒絕域為|X?|≥c，若顯著性水平α=0.05，則c=（）（已知Φ(1.96)=0.975）A.1.96B.1.96/√3C.1.96×√3D.0.05---二、填空題（每小題4分，共20分）6.袋中有3個紅球和2個白球，不放回地取兩次，每次取1個，則第二次取到紅球的概率為______。7.設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,4)，Y=2X-1，則D(Y)=______。8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：\[\begin{array}{c|cc}Y\backslashX&0&1\\\hline0&0.2&0.3\\1&0.1&0.4\\\end{array}\]則P(X+Y=1)=______。9.設(shè)總體X的概率密度為f(x)=\[\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\]其中θ>0為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?為樣本，則θ的矩估計量為______。10.設(shè)某批電子元件的壽命X~N(μ,σ2)，從中抽取16個元件，測得樣本均值為1000小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為50小時，則μ的95%置信區(qū)間為______（t?.???(15)=2.131）。---三、計算題（共65分）11.（10分）某工廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，產(chǎn)量分別占全廠的30%、50%、20%，次品率分別為2%、1%、3%?，F(xiàn)從全廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到次品，該次品來自乙生產(chǎn)線的概率。12.（12分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：\[f(x,y)=\begin{cases}e^{-y},&0<x<y\\0,&\text{其他}\end{cases}\]（1）求X的邊緣概率密度f_X(x)；（2）求條件概率密度f_{Y|X}(y|x)；（3）計算E(Y|X=1)。13.（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：\[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x,&0<x<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\]（1）求X的分布函數(shù)F(x)；（2）求Y=X2的概率密度f_Y(y)；（3）計算D(X)。14.（15分）設(shè)總體X的概率分布為：\[\begin{array}{c|ccc}X&0&1&2\\\hlineP&\theta2&2\theta(1-\theta)&(1-\theta)2\\\end{array}\]其中θ∈(0,1)為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?為樣本，求：（1）θ的矩估計量；（2）θ的極大似然估計量；（3）若樣本觀測值為(0,1,1,2)，求θ的極大似然估計值。15.（16分）某品牌手機(jī)電池的待機(jī)時間X~N(μ,σ2)，其中σ2=100（小時2）。現(xiàn)隨機(jī)抽取25塊電池，測得平均待機(jī)時間為150小時。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求置信區(qū)間長度不超過5小時，至少需要抽取多少塊電池（Φ(1.96)=0.975）；（3）檢驗H?:μ=155vsH?:μ≠155（α=0.05），并說明結(jié)論。---參考答案與解析一、單項選擇題1.答案：A解析：由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，得P(AB)=0.6+0.5-0.8=0.3；故P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.3/0.5=0.4。2.答案：A解析：泊松分布E(X)=λ，D(X)=λ，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2。展開E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2=λ+λ2-3λ+2=λ2-2λ+2=1，解得λ=1。3.答案：C解析：由歸一化條件∫∫f(x,y)dxdy=1，積分區(qū)域0<x<1，0<y<x，故∫?1∫??kxydydx=k∫?1x·(x2/2)dx=k/2·∫?1x3dx=k/2·(1/4)=k/8=1，解得k=8？（此處需重新計算）正確計算：∫?1∫??kxydydx=k∫?1x·[y2/2]??dx=k∫?1x·(x2/2)dx=k/2∫?1x3dx=k/2·(1/4)=k/8=1?k=8？但選項中無8，可能題目設(shè)定有誤?；蛟}積分區(qū)域為0<x<1,0<y<1且x+y<1，則積分應(yīng)為k∫?1∫?^(1-x)xydydx，此時結(jié)果可能為6?？赡茴}目中聯(lián)合密度的區(qū)域應(yīng)為0<x<1,0<y<1且x>y，即y從0到x，x從0到1，正確計算應(yīng)為：∫?1∫??kxydydx=k∫?1x·(x2/2)dx=k/2·(x?/4)|?1=k/8=1?k=8，但選項中D為8，可能原題正確選項為D，可能之前解析錯誤。（注：經(jīng)核對，正確計算應(yīng)為k=8，故第3題正確答案為D。）4.答案：A解析：t分布定義為\(\frac{Z}{\sqrt{\chi2/n}}\)，其中Z~N(0,1)，χ2~χ2(n)獨立。本題中\(zhòng)(\bar{X}~N(μ,σ2/n)\)，故\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{σ}~N(0,1)\)；\(\frac{(n-1)S2}{σ2}~χ2(n-1)\)，因此\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)}{S}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-μ)/σ}{\sqrt{(n-1)S2/σ2/(n-1)}}~t(n-1)\)，選A。5.答案：B解析：X?~N(μ,1/3)（因n=3，σ2=1），H?成立時X?~N(0,1/3)。拒絕域為|X?|≥c，α=P(|X?|≥c|H?)=2[1-Φ(c√3)]=0.05，故Φ(c√3)=0.975，c√3=1.96?c=1.96/√3，選B。---二、填空題6.答案：3/5解析：設(shè)A為“第一次取紅球”，B為“第二次取紅球”，則P(B)=P(A)P(B|A)+P(ā)P(B|ā)=(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=(6/20)+(6/20)=12/20=3/5。7.答案：16解析：D(Y)=D(2X-1)=4D(X)=4×4=16（因X~N(2,4)，D(X)=4）。8.答案：0.4解析：X+Y=1的情況為(X=0,Y=1)和(X=1,Y=0)，概率為0.1+0.3=0.4。9.答案：\(\hat{\theta}=\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}\)解析：一階矩E(X)=∫?1x·θx^(θ-1)dx=θ∫?1x^θdx=θ/(θ+1)。令θ/(θ+1)=X?，解得θ=X?/(1-X?)。10.答案：(973.36,1026.64)解析：置信區(qū)間為\(\bar{X}±t_{α/2}(n-1)·S/\sqrt{n}\)，代入得1000±2.131×50/4=1000±26.64，即(973.36,1026.64)。---三、計算題11.（1）設(shè)A=“產(chǎn)品是次品”，B?,B?,B?分別為“來自甲、乙、丙生產(chǎn)線”，則：P(B?)=0.3,P(B?)=0.5,P(B?)=0.2；P(A|B?)=0.02,P(A|B?)=0.01,P(A|B?)=0.03。由全概率公式：P(A)=ΣP(B?)P(A|B?)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.03=0.006+0.005+0.006=0.017。（2）由貝葉斯公式：P(B?|A)=P(B?)P(A|B?)/P(A)=0.5×0.01/0.017≈0.2941。12.（1）X的邊緣密度f_X(x)=∫?^∞e^{-y}dy=e^{-x}（x>0），其他為0。（2）條件密度f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=e^{-y}/e^{-x}=e^{-(y-x)}（y>x>0）。（3）E(Y|X=1)=∫?^∞y·e^{-(y-1)}dy，令t=y-1，則=∫?^∞(t+1)e^{-t}dt=∫?^∞te^{-t}dt+∫?^∞e^{-t}dt=1+1=2。13.（1）分布函數(shù)F(x)=\[\begin{cases}0,&x≤0\\∫??(1/2)tdt=x2/4,&0<x<2\\1,&x≥2\end{cases}\]（2）Y=X2，當(dāng)0<y<4時，F(xiàn)_Y(y)=P(X2≤y)=P(-√y≤X≤√y)=F(√y)-F(-√y)=(√y)2/4=y/4，故f_Y(y)=dF_Y(y)/dy=1/4（0<y<4）；其他為0。（3）E(X)=∫?2x·(1/2)xdx=(1/2)∫?2x2dx=(1/2)(8/3)=4/3；E(X2)=∫?2x2·(1/2)xdx=(1/2)∫?2x3dx=(1/2)(16/4)=2；D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2-(16/9)=2/9。14.（1）一階矩E(X)=0×θ2+1×2θ(1-θ)+2×(1-θ)2=2θ(1-θ)+2(1-2θ+θ2)=2θ-2θ2+2-4θ+2θ2=2-2θ。令2-2θ=X?，解得θ的矩估計量\(\hat{\theta}=(2-\bar{X})/2=1-\bar{X}/2\)。（2）似然函數(shù)L(θ)=∏[θ2]^{n?}·[2θ(1-θ)]^{n?}·[(1-θ)2]^{n?}，其中n?+n?+n?=n。取對數(shù)得：lnL=2n?lnθ+n?[ln2+lnθ+ln(1-θ)]+2n?ln(1-θ)。求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：d(lnL)/dθ=(2n?+n?)/θ-(n?+2n?)/(1-θ)=0?(2n?+n?)(1-θ)=(n?+2n?)θ?θ=(2n?+n?)/(2n?+n?+n?+2n?)=(2n?+n?)/(2(n?+n?+n?)+n?)=(2n?+n?)/(2n+n?)（因n?+n?+n?=n）。（3）樣本觀測值(0,1,1,2)，則n?=1,n?=2,n?=1，代入得θ=(2×1+2)/(2×4+2)=4/10=0.4。15.（1）σ2=100