(完整)高二數(shù)學典型統(tǒng)計案例習題及答案某中學為研究學生數(shù)學成績與物理成績的相關(guān)性，隨機抽取高二年級100名學生，記錄其最近一次數(shù)學和物理考試成績（滿分均為150分），部分數(shù)據(jù)整理如下：數(shù)學成績分組（分）：[80,100)、[100,120)、[120,140)、[140,160]對應頻數(shù)：15、35、30、20物理成績分組（分）：[70,90)、[90,110)、[110,130)、[130,150]對應頻數(shù)：20、40、25、15同時統(tǒng)計了數(shù)學成績≥120分的學生中，物理成績≥110分的有28人；數(shù)學成績<120分的學生中，物理成績≥110分的有12人。（1）分別計算數(shù)學成績和物理成績的平均分（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為數(shù)學成績與物理成績有關(guān)聯(lián)（參考公式：$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，臨界值表：$P(\chi^2\geq6.635)=0.01$，$P(\chi^2\geq10.828)=0.001$）；（3）從數(shù)學成績在[140,160]的20名學生中，按物理成績分層抽樣抽取5人，其中物理成績在[130,150]的學生有3人，現(xiàn)從這5人中隨機選2人參加數(shù)理競賽，求至少有1人物理成績在[130,150]的概率。解答：（1）計算數(shù)學成績平均分：數(shù)學成績各組區(qū)間中點分別為90、110、130、150，對應頻數(shù)15、35、30、20。平均分$\overline{x}_數(shù)=\frac{90×15+110×35+130×30+150×20}{100}$計算分子：$90×15=1350$，$110×35=3850$，$130×30=3900$，$150×20=3000$，總和為$1350+3850=5200$，$3900+3000=6900$，$5200+6900=12100$。因此$\overline{x}_數(shù)=\frac{12100}{100}=121.0$分（保留一位小數(shù)）。物理成績各組區(qū)間中點分別為80、100、120、140，對應頻數(shù)20、40、25、15。平均分$\overline{x}_物=\frac{80×20+100×40+120×25+140×15}{100}$計算分子：$80×20=1600$，$100×40=4000$，$120×25=3000$，$140×15=2100$，總和為$1600+4000=5600$，$3000+2100=5100$，$5600+5100=10700$。因此$\overline{x}_物=\frac{10700}{100}=107.0$分（保留一位小數(shù)）。（2）構(gòu)建2×2列聯(lián)表：題目中給出“數(shù)學成績≥120分的學生中，物理成績≥110分的有28人”，數(shù)學成績≥120分的總?cè)藬?shù)為$30+20=50$人，因此數(shù)學≥120分且物理<110分的人數(shù)為$50-28=22$人。數(shù)學成績<120分的總?cè)藬?shù)為$100-50=50$人，其中物理≥110分的有12人，因此數(shù)學<120分且物理<110分的人數(shù)為$50-12=38$人。列聯(lián)表如下：||物理成績≥110分|物理成績<110分|合計||----------------|----------------|----------------|------||數(shù)學成績≥120分|28|22|50||數(shù)學成績<120分|12|38|50||合計|40|60|100|計算卡方統(tǒng)計量$\chi^2$：代入公式$\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=100$，$a=28$，$b=22$，$c=12$，$d=38$。分子部分：$(ad-bc)^2=(28×38-22×12)^2=(1064-264)^2=800^2=640000$分母部分：$(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×50×40×60=50×50=2500$，$40×60=2400$，$2500×2400=6000000$因此$\chi^2=\frac{100×640000}{6000000}=\frac{64000000}{6000000}≈10.667$比較臨界值：題目中給出$P(\chi^2≥6.635)=0.01$，即99%置信水平對應的臨界值為6.635。計算得$\chi^2≈10.667>6.635$，因此有99%的把握認為數(shù)學成績與物理成績有關(guān)聯(lián)。（3）分層抽樣與概率計算：數(shù)學成績在[140,160]的20名學生中，按物理成績分層抽樣抽取5人。設(shè)物理成績在[130,150]的學生有$x$人，[110,130)的有$y$人，[90,110)的有$z$人，[70,90)的有$w$人（但題目中僅提及“物理成績在[130,150]的學生有3人”，因此需結(jié)合物理成績總體分布確定分層比例）。物理成績總體中，[130,150]的頻數(shù)為15，占總?cè)藬?shù)100的15%；[110,130)的頻數(shù)為25，占25%；[90,110)的頻數(shù)為40，占40%；[70,90)的頻數(shù)為20，占20%。但數(shù)學成績在[140,160]的20名學生中，物理成績的分布需根據(jù)題目補充信息推斷：題目中“數(shù)學成績≥120分的學生中，物理成績≥110分的有28人”，而數(shù)學≥120分的總?cè)藬?shù)為50人（包括[120,140)的30人和[140,160]的20人）。其中，數(shù)學在[120,140)的30人中，物理≥110分的人數(shù)為$28-3$（假設(shè)[140,160]中物理≥110分的有3人？但題目明確“從數(shù)學[140,160]的20人中分層抽樣抽取5人，其中物理[130,150]的有3人”，因此這20人中物理成績在[130,150]的人數(shù)為$3÷\frac{5}{20}=12$人（因為分層抽樣按比例抽取，抽取5人占20人的$\frac{1}{4}$，所以物理[130,150]的3人對應總體中的$3×4=12$人）。但更直接的方式是：題目已說明“從數(shù)學[140,160]的20人中按物理成績分層抽樣抽取5人，其中物理[130,150]的學生有3人”，因此這5人中，物理[130,150]的有3人（記為A類），其余2人來自物理成績低于130分的層次（記為B類）?，F(xiàn)從這5人中隨機選2人，求至少1人為A類的概率。總共有$C_5^2=10$種選法?！爸辽?人為A類”的對立事件是“2人都是B類”，B類有2人，選2人的選法有$C_2^2=1$種。因此所求概率$P=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}=0.9$。某城市為評估新能源汽車推廣效果，收集了2020-2023年該城市新能源汽車保有量（單位：萬輛）與公共充電樁數(shù)量（單位：千個）的數(shù)據(jù)如下：|年份|2020|2021|2022|2023||--------|------|------|------|------||保有量x|2.5|3.2|4.1|5.0||充電樁y|0.8|1.1|1.5|2.0|（1）計算x與y的相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并判斷是否具有較強線性相關(guān)關(guān)系（參考：|r|>0.75時認為強相關(guān)，公式：$r=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2}}$）；（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）若2024年該城市新能源汽車保有量預計達到6.0萬輛，預測當年公共充電樁數(shù)量（結(jié)果保留一位小數(shù)）。解答：（1）計算相關(guān)系數(shù)r：首先計算$\overline{x}$和$\overline{y}$：$\overline{x}=\frac{2.5+3.2+4.1+5.0}{4}=\frac{14.8}{4}=3.7$$\overline{y}=\frac{0.8+1.1+1.5+2.0}{4}=\frac{5.4}{4}=1.35$計算$\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$：2020年：$(2.5-3.7)(0.8-1.35)=(-1.2)(-0.55)=0.66$2021年：$(3.2-3.7)(1.1-1.35)=(-0.5)(-0.25)=0.125$2022年：$(4.1-3.7)(1.5-1.35)=(0.4)(0.15)=0.06$2023年：$(5.0-3.7)(2.0-1.35)=(1.3)(0.65)=0.845$總和：$0.66+0.125=0.785$，$0.06+0.845=0.905$，$0.785+0.905=1.69$計算$\sum(x_i-\overline{x})^2$：2020年：$(-1.2)^2=1.44$2021年：$(-0.5)^2=0.25$2022年：$(0.4)^2=0.16$2023年：$(1.3)^2=1.69$總和：$1.44+0.25=1.69$，$0.16+1.69=1.85$，$1.69+1.85=3.54$計算$\sum(y_i-\overline{y})^2$：2020年：$(-0.55)^2=0.3025$2021年：$(-0.25)^2=0.0625$2022年：$(0.15)^2=0.0225$2023年：$(0.65)^2=0.4225$總和：$0.3025+0.0625=0.365$，$0.0225+0.4225=0.445$，$0.365+0.445=0.81$因此相關(guān)系數(shù)$r=\frac{1.69}{\sqrt{3.54×0.81}}=\frac{1.69}{\sqrt{2.8674}}≈\frac{1.69}{1.693}≈0.998≈1.00$（保留兩位小數(shù)）。由于|r|≈1.00>0.75，說明x與y具有極強的線性相關(guān)關(guān)系。（2）求線性回歸方程：斜率$\hat=\frac{\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum(x_i-\overline{x})^2}=\frac{1.69}{3.54}≈0.477$（保留三位小數(shù)，后續(xù)四舍五入）截距$\hat{a}=\overline{y}-\hat\overline{x}=1.35-0.477×3.7≈1.35-1.765≈-0.415≈-0.42$（保留兩位小數(shù)）因此回歸方程為$\hat{y}=0.48x-0.42$（保留兩位小數(shù)，$\hat$四舍五入為0.48）。（3）預測2024年充電樁數(shù)量：當$x=6.0$時，$\hat{y}=0.48×6.0-0.42=2.88-0.42=2.46≈2.5$（保留一位小數(shù)）。某學校為了解學生課后自主學習時間（單位：分鐘）的分布情況，隨機抽取200名學生進行調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（直方圖信息：橫坐標為時間區(qū)間[0,30)、[30,60)、[60,90)、[90,120)、[120,150]，縱坐標為頻率/組距，對應高度分別為0.005、0.015、0.020、0.010、0.005）（1）求頻率分布直方圖中[60,90)組的頻數(shù)；（2）估計這200名學生課后自主學習時間的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（3）若從自主學習時間在[0,30)和[120,150]的學生中按比例分層抽樣抽取6人，再從中隨機選2人了解學習習慣，求這2人來自不同區(qū)間的概率。解答：（1）計算[60,90)組的頻數(shù)：頻率=組距×頻率/組距，組距為30（每個區(qū)間寬度30分鐘）。[60,90)組的頻率/組距=0.020，因此頻率=30×0.020=0.6。頻數(shù)=總?cè)藬?shù)×頻率=200×0.6=120人。（2）估計中位數(shù)：中位數(shù)是使得左右兩邊頻率各為0.5的位置。計算各區(qū)間累計頻率：[0,30)：頻率=30×0.005=0.15，累計頻率0.15；[30,60)：頻率=30×0.015=0.45，累計頻率0.15+0.45=0.60；此時累計頻率0.60>0.5，說明中位數(shù)在[30,60)區(qū)間內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為$m$，則前一個區(qū)間累計頻率為0.15，[30,60)區(qū)間內(nèi)需要補充的頻率為0.5-0.15=0.35。[30,60)區(qū)間的頻率/組距=0.015，組距30，因此頻率密度為0.015（即每增加1分鐘，頻率增加0.015）。設(shè)$m=30+t$，則$t×0.015=0.35$，解得$t=\frac{0.35}{0.015}≈23.33$分鐘。因此中位數(shù)$m=30+23.33≈53$分鐘（保留整數(shù)）。（3）分層抽樣與概率計算：