9.2用樣本估計(jì)總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)「學(xué)習(xí)目標(biāo)」通過應(yīng)用頻率分布直方圖等統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體的取值規(guī)律,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).知識梳理自主探究「知識探究」畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差:極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.(2)決定組距與組數(shù):分組時(shí)根據(jù)問題的需要可以先確定組距,也可以先確定組數(shù).(3)將數(shù)據(jù)分組:分組時(shí)可以使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值,最后一組的右端點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中的最大值.師生互動(dòng)合作探究探究點(diǎn)一頻率概念的理解[例1](1)已知樣本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10,那么頻率為0.2的范圍是(

)A.5.5～7.5 B.7.5～9.5C.9.5～11.5 D.11.5～13.5√解析:(1)共20個(gè)數(shù)據(jù),頻率為0.2,在此范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)有4個(gè),只有在11.5～13.5范圍內(nèi)有4個(gè)數(shù)據(jù)13,12,12,12.故選D.(2)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中各分?jǐn)?shù)段以及人數(shù)的成績分布為[0,80),2;[80,90),6;[90,100),4;[100,110),8;[110,120),12;[120,130),5;[130,140),6;[140,150],2.那么分?jǐn)?shù)在[100,130)內(nèi)的頻數(shù)為

,頻率為

(保留兩位小數(shù)).

250.56方法總結(jié)(1)頻率概念的理解將一批數(shù)據(jù)按照要求分成若干組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),叫做該組的頻數(shù),每組的頻數(shù)與樣本容量的商叫做該組的頻率,頻率反映每組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小.(2)數(shù)據(jù)分組時(shí),每組的范圍一般有兩種形式,一種是多取一位小數(shù),一種是采用半開半閉區(qū)間,都必須保證數(shù)據(jù)的唯一性.[針對訓(xùn)練](1)一個(gè)容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下:組別[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)頻數(shù)12132415組別[40,50)[50,60)[60,70]—頻數(shù)16137—?jiǎng)t樣本數(shù)據(jù)落在[10,40)內(nèi)的頻率為(

)A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64√(2)從一群學(xué)生中抽取一個(gè)一定容量的樣本對他們的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行分析.已知不超過70分的人數(shù)為8,其累計(jì)頻率為0.4,得樣本量是(

)A.20 B.40 C.70 D.80√探究點(diǎn)二頻率分布直方圖的繪制[例2]某校高二年級期末統(tǒng)一測試,隨機(jī)抽取一部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,分組統(tǒng)計(jì)如下表.分組頻數(shù)頻率[0,30)30.03[30,60)30.03[60,90)370.37[90,120)mn[120,150]150.15合計(jì)MN(1)求出表中m,n,M,N的值,并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖;(2)若全校參加本次考試的學(xué)生有600人,試估計(jì)這次測試中全校成績在90分及以上的人數(shù).方法總結(jié)繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題(1)首先畫頻率分布表,畫表格時(shí)數(shù)據(jù)要合理分組,組距要選取恰當(dāng),一般盡量取整,數(shù)據(jù)為30～100個(gè)左右時(shí),應(yīng)分成5～12組,在頻率分布直方圖中,各個(gè)小長方形的面積等于各組的頻率,小長方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和為1.[針對訓(xùn)練]為了估計(jì)某產(chǎn)品壽命的分布,對產(chǎn)品進(jìn)行追蹤調(diào)查,記錄如下:壽命/h[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]個(gè)數(shù)2030804030(1)畫出頻率分布直方圖;解:(1)樣本頻率分布表如下.壽命/h頻數(shù)頻率[100,200)200.10[200,300)300.15[300,400)800.40[400,500)400.20[500,600]300.15合計(jì)2001.00頻率分布直方圖如圖所示.(2)估計(jì)該產(chǎn)品壽命在[200,500)內(nèi)的概率.探究點(diǎn)三頻率分布表及頻率分布直方圖的應(yīng)用角度一求頻率分布直方圖縱坐標(biāo)[例3]某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識競賽”活動(dòng).選取了n人參與問卷調(diào)查,將他們的成績進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間),得到如圖所示的頻率分布直方圖,且成績落在[90,100)的人數(shù)為10,則n等于(

)A.60 B.80 C.100 D.120√解析:由題圖可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01.則成績在[90,100)的頻率為0.1.由0.1n=10.得n=100.故選C.方法總結(jié)[針對訓(xùn)練]某商場從參與購物的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則直方圖中a的值是(

)A.0.032 B.0.32 C.0.035 D.0.35解析:由頻率分布直方圖的小矩形面積和為1可得(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1,解得a=0.035.故選C.√角度二求頻率和頻數(shù)[例4]從某校抽取100名學(xué)生進(jìn)行一周課外閱讀時(shí)長調(diào)查,發(fā)現(xiàn)他們的一周課外閱讀時(shí)長都在0～18小時(shí)之間,進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間),畫出頻率分布直方圖如圖所示.則在被調(diào)查的學(xué)生中,課外閱讀時(shí)長落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的人數(shù)為(

)A.6 B.8 C.12 D.25√解析:由題知,課外閱讀時(shí)長落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的頻率為0.060×2=0.12,則課外閱讀時(shí)長落在區(qū)間[10,12)內(nèi)的人數(shù)為100×0.12=12.故選C.方法總結(jié)根據(jù)頻率分布直方圖(表)求樣本數(shù)據(jù)在某一區(qū)間內(nèi)的頻率就是樣本數(shù)據(jù)在該區(qū)間內(nèi)的各組頻率的和,而求解相應(yīng)的頻數(shù)還要根據(jù)頻率乘樣本容量.[針對訓(xùn)練](1)為了了解某景區(qū)暑假游客年齡情況,某管委會對不同年齡段的游客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并整理得到如下的頻率分布直方圖.已知20歲到70歲的游客人數(shù)共約200萬,則年齡在[50,60)的游客人數(shù)約為(

)A.6萬 B.60萬C.8萬 D.80萬√解析:(1)由頻率分布直方圖可知,年齡在[50,60)的游客頻率為0.030×10=0.3,則此年齡段的游客人數(shù)約為0.3×200=60(萬).故選B.(2)某工廠抽取100件產(chǎn)品測其質(zhì)量(單位:kg),其中每件產(chǎn)品的質(zhì)量范圍是[40,42],數(shù)據(jù)的分組依次為[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42],據(jù)此繪制出如圖所示的頻率分布直方圖,則質(zhì)量在[40,41)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為(

)A.30 B.40 C.60 D.80√解析:(2)由題圖可知,質(zhì)量在[40,41)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為100×(0.1+0.7)×0.5=40.故選B.角度三巧用各矩形面積之和為1解題√方法總結(jié)由于頻率分布直方圖的所有矩形的面積的和為1,因此涉及各矩形面積之間的關(guān)系時(shí),可利用此性質(zhì)解題.√探究點(diǎn)四折線圖、條形圖、扇形圖及其應(yīng)用[例6]某保險(xiǎn)公司推出了5個(gè)險(xiǎn)種:甲,一年期短險(xiǎn);乙,兩全保險(xiǎn);丙,理財(cái)類保險(xiǎn);丁,定期壽險(xiǎn);戊,重大疾病保險(xiǎn).現(xiàn)對5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查,得出如下的統(tǒng)計(jì)圖.用樣本估計(jì)總體,以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(

)A.30～41周歲參保人數(shù)最多B.隨著年齡的增長,人均參保費(fèi)用越來越多C.54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%D.定期壽險(xiǎn)最受參保人青睞√解析:由扇形圖可知,30～41周歲的參保人數(shù)最多,故選項(xiàng)A正確;由折線圖可知,隨著年齡的增長,人均參保費(fèi)用越來越多,故選項(xiàng)B正確;由扇形圖可知,54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的92%,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由條形圖可知,丁險(xiǎn)種參保比例最高,故選項(xiàng)D正確.故選C.方法總結(jié)(1)條形圖是用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量或頻率,根據(jù)數(shù)量的多少或頻率的大小畫成長短不同的矩形條,條形圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目或頻率.(2)扇形圖是用整個(gè)圓面積表示總數(shù)(100%),用圓內(nèi)的扇形面積表示各個(gè)部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù).(3)折線圖反映數(shù)據(jù)的變化趨勢.[針對訓(xùn)練]某商場開通三種平臺銷售商品,五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖(1)所示.該商場為了解消費(fèi)者對各平臺銷售方式的滿意程度,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取了6%的顧客進(jìn)行滿意度調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如圖(2)所示,下列說法正確的是(

)A.樣本中對平臺一滿意的消費(fèi)者人數(shù)為700B.總體中對平臺二滿意的消費(fèi)者人數(shù)約為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費(fèi)者總?cè)藬?shù)為60D.若樣本中對平臺三滿意的消費(fèi)者人數(shù)為120,則m=90%√「當(dāng)堂檢測」1.容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分成10組,并填寫頻率分布表,若前7組頻率之和為0.79,則剩下3組的頻率之和為(

)A.0.21% B.0.21 C.21 D.無法確定√解析:樣本頻率和為1,則剩下3組的頻率之和為0.21.故選B.2.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念,A市某高中全體教師于2024年3月12日開展植樹活動(dòng),購買柳樹、銀杏、梧桐、樟樹四種樹苗共計(jì)600棵,比例如圖所示.青年教師、中年教師、老年教師報(bào)名參加植樹活動(dòng)的人數(shù)之比為5∶3∶2,若每種樹苗均按各年齡段報(bào)名人數(shù)的比例進(jìn)行分配,則中年教師應(yīng)分得梧桐的數(shù)量為(

)A.30棵 B.50棵 C.72棵 D.80棵√3.為了解某校高三學(xué)生的視力情況,隨機(jī)抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況,得到的頻率分布直方圖如圖所示.由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但知道后5組的頻數(shù)和為64,最大頻率為0.34.設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生人數(shù)為a,則a的值為(

)A.27 B.48 C.54 D.64√解析:前兩組的頻數(shù)為100×(0.05+0.11)=16,因?yàn)楹笪褰M的頻數(shù)和為64,所以前三組的頻數(shù)和為36,所以第三組的頻數(shù)為36-16=20,又最大頻率為0.34,故第四組的頻數(shù)為0.34×100=34,所以a=20+34=54.故選C.4.(多選題)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況,下列敘述正確的是(

)A.消耗1L汽油,乙車最多可行駛5kmB.甲車以80km/h的速度行駛1h消耗約8L汽油C.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h.相同條件下,