/四川省綿陽中學2024-2025學年高一下學期6月自主測試數(shù)學試卷一、單選題1．復數(shù)（是虛數(shù)單位）對應的點位于復平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．的值等于（

）A． B．0 C． D．3．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．已知向量且，求（

）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象向右平移，再將橫坐標伸長為原來的3倍，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B．C． D．6．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形如圖2中的正八邊形．其中為正八邊形的中心，若，點為正八邊形邊上的一個動點，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為1 B．C． D．7．向量與在上的投影向量均為，，當最大時，則（

）A． B．6 C．12 D．168．如圖所示，將一副三角板拼成平面四邊形，將等腰直角沿向上翻折，得到，設，點分別為棱的中點，為線段上的動點，下列說法錯誤的是（

）A．在翻折過程中，存在某個位置使得B．若，則與平面所成角的正切值為C．三棱錐體積的最大值為D．當時，的最小值為二、多選題9．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，圖象與y軸交于M點，與x軸交于C點，點N在圖象上，點M、N關于點C對稱，則下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關于直線對稱D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)10．如圖，已知正三棱柱的所有頂點均在球O的球面上，，D，E，F(xiàn)，M分別為BC，AC，，的中點，且，則（

）A．平面DEF B．C．球O的表面積為 D．點F到平面DEM的距離為11．如圖，在中，BD與EC交于點G，E是AB的靠近B的三等分點，D是AC的中點，且有，，，過G作直線MN分別交線段AB，AC于點M，N，設，（，），則（

）A． B．C． D．的最小值為2.三、填空題12．在復平面內(nèi)，向量對應的復數(shù)繞點逆時針旋轉后對應的復數(shù)為，則.13．已知，則.14．折扇（圖1）是具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.圖2中的扇形為一把折扇展開后的平面圖，其中，，點在弧上（包括端點）運動，其中，分別是，的中點，則的范圍為.四、解答題15．我國古代數(shù)學名著《九章算術》在“商功”一章中，將“底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐”稱為“陽馬”．現(xiàn)有如圖所示一個“陽馬”形狀的幾何體，底面是正方形，底面，，E為線段的中點，F(xiàn)為線段上的動點．(1)求證：直線平面；(2)求二面角的大?。?6．函數(shù)，其中向量，.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)若，，，，求的值.17．某棒球場要舉辦大型活動，該活動要一塊矩形場地，現(xiàn)對棒球場的扇形空地AOB進行改造．如圖所示，矩形CDEF區(qū)域為活動區(qū)域，已知扇形AOB的半徑為100米，圓心角為，現(xiàn)要探究在該扇形內(nèi)截取一個矩形，應該如何截取，可以使得截取的矩形面積最大．一種方案是將矩形的一邊CD放在OA上，另外兩個頂點E，F(xiàn)分別在弧AB和OB上，其中（如圖2所示）；(1)若按方案一來進行修建，求活動場地面積的最大值：(2)改造活動場地的另一種方案是，將矩形一邊的兩個頂點D，E在弧AB上，另外兩個頂點C，F(xiàn)分別在OA和OB上，有（如圖3所示）．比較兩種方案，哪種方案更優(yōu)？18．如圖，在正方體中，，是的中點.(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與的夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點，使得平面平面，若存在，指出點位置，若不存在，說明理由.19．三角形的布洛卡點是法國數(shù)學家、數(shù)學教育學家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當時的人們所注意．1875年，布洛卡點被一個數(shù)學愛好者布洛卡重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．當內(nèi)一點P滿足條件時，則稱點P為的布洛卡點，角為布洛卡角．如圖，在中，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，點P為的布洛卡點，其布洛卡角為．(1)求證：；(2)若，是否存在常數(shù)，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．(3)若，試判斷的形狀．

參考答案1．D【詳解】由復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，因為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D.2．C【詳解】因為，故選：C．3．D【詳解】對于A，若，，則，或，故A錯誤；

對于B，若，，則，或與相交，故B錯誤；對于C，若，，則與相交，或，或，故C錯誤；

對于D，若，，則，故D正確.故選：D.4．C【詳解】因為，所以，，由得，，則有，解得或，因為，所以，即.故選：C5．B【詳解】函數(shù)的圖象向右平移，得，再將橫坐標伸長為原來的3倍，得，故選：B6．A【詳解】在正八邊形中，線段被點平分，，，在中，，對于A，當點在線段上時，在上的投影向量的模最大，而，因此的最大值為，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，在中，，，C錯誤；對于D，，因此，D錯誤.故選：A7．C【詳解】設，，所以，因為，所以，所以可設，，與的夾角為，若，，則知，，即，，，則當最大時，最大，即最小，即此時，當且僅當時成立.故選：C8．D【詳解】對于A，當平面與平面垂直時，，平面與平面的交線為，平面,平面，又平面，，，故A正確；對于B，連接，因為平面，所以平面，又平面，所以，因為為的中點，所以，又平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，在中，，則，，所以，即與平面所成角的正切值為，故B正確；對于C，三棱錐的體積（為點到平面的距離）..當平面平面時，最大，的最大值為，此時，所以三棱錐體積的最大值為，選項C正確.對于D，當時，因為為的中點，所以，則，又因為的中點，所以，又，所以，所以，如圖將沿旋轉，使其與在同一平面內(nèi)，則當三點共線時，最小，即的最小值為，在中，，則，所以，所以的最小值為，故D錯誤.故選：D.9．BD【詳解】對于A，因為點M、N關于點C對稱，所以，即，可得，所以，故A錯誤；對于B，，得，所以，由得，因為，所以，則，當時，，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故B正確；對于C，由，故C錯誤；對于D，函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)，因為，定義域關于原點對稱，，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：BD.10．AB【詳解】如圖，因為D，E分別為BC，AC的中點，所以，又，所以，因為平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，A正確；取AB的中點N，連接MN，則，連接CN，則，又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF，因為平面MNCF，所以，又，所以，B正確；設，則，，，因為，所以，即，解得，所以，易得△ABC外接圓的半徑為，設正三棱柱外接球的半徑為R，則，所以其外接球的表面積為，C錯誤；因為，，，DE，平面DEF，所以平面DEF，由上可得，，，，，所以，，設點F到平面DEM的距離為h，由，得，所以，即點F到平面DEM的距離為，D錯誤.故選：AB.11．ACD【詳解】對于A，B，C，因，依題意，代入，得，因為三點共線，且三點共線，所以，得，所以A對，B錯；由可得，故，故C正確；對于D，，，，則，因為M、G、N三點共線，則，即，由，當且僅當，即時取得等號．所以D正確．故選：ACD．12．【詳解】由題意可設對應的向量為對應的向量為，由旋轉性質(zhì)得和模相等，且它們對應的向量垂直，則解得.故答案為：13．3【詳解】∵，∴，，∴，∴，．故答案為：3．14．【詳解】以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則，設，，，因此，而，則，，所以的范圍為.故答案為：15．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為四邊形為正方形，所以，又因為底面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為，E為線段的中點，所以，又平面，所以平面．（2）由正方形得，，因為底面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角為，在中，，所以．16．(1)最大值1，最小值.(2)【詳解】（1），，，，所以在區(qū)間上的最大值1，最小值.（2），，，，，由17．(1)平方米(2)方案一更優(yōu)，理由見解析.【詳解】（1）由題可得，，，則，則此時活動區(qū)域面積為：，又注意到.則，則，當且僅當時，活動區(qū)域面積最大為平方米；（2）如圖，取ED中點為I，F(xiàn)C中點為J，連接OI，延長OI與弧BA交于點G，則由對稱性及垂徑定理，可得O，J，I，G四點共線，平分，可得，設，則，，，則，則此時活動區(qū)域面積為：，又注意到.則，則，當且僅當時，活動區(qū)域面積最大為；注意到，則，，則選擇方案1更好.18．(1)(2)(3)存在，為中點【詳解】（1），，三棱錐的體積為；（2）取的中點為，連接，是的中點.，且又是正方形，，是平行四邊形，，（或其補角）就是異面直線與的夾角.在中，，，異面直線與的夾角的余弦值為；（3）假設在棱上存在點，且為的中點，取的中點，連接，是正方體，，是平行四邊形，同理可證也是平行四邊形，，，平面，平面，平面.又，是平行四邊形，，又平面，平面，平面.又平面，平面平面，假設成立，在棱上存在中點，使得平面平面.1