北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.已知函數(shù)，則（

）A．B．C．D．2.已知在等差數(shù)列中，，，則公差的值為（

）A．2B．C．D．33.小華設(shè)計(jì)了一個抽獎活動：袋中裝有大小相同的2個紅球、2個白球、3個黑球，從袋中隨機(jī)摸出兩個球，若兩球的顏色相同為中獎，則該抽獎活動的中獎率為（

）A．B．C．D．4.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（

）A．1B．2C．3D．45.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A．B．C．D．6.已知等差數(shù)列滿足，且是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．6B．8C．6或8D．107.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為優(yōu)良品、合格品、次品三個等級，其中優(yōu)良品率為，合格品率為，次品率為，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取三件，則三個等級的產(chǎn)品恰好各取到1件的概率為（

）A．B．C．D．8.若函數(shù)的兩個極值點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．2B．C．D．39.若數(shù)列是存在負(fù)數(shù)項(xiàng)的無窮等比數(shù)列，則“數(shù)列有最小項(xiàng)”是“數(shù)列有最大項(xiàng)”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件10.若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、填空題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)11.已知函數(shù)，則的定義域是_____，_____.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_____.13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：0123則_____；若，，成公比為3的等比數(shù)列，則_____.14.已知曲線，點(diǎn)A在曲線上，則在點(diǎn)A處切線斜率的最小值為_____；若點(diǎn)為軸的一個動點(diǎn)，且曲線上至少有兩條不同的切線經(jīng)過點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡的長度為_____.15.已知是首項(xiàng)為，公差為2的無窮等差數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公比為2的無窮等比數(shù)列，記，給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)時，有；

②存在，使得的前2025項(xiàng)為單調(diào)遞增數(shù)列；

③對于任意從第三項(xiàng)起均為單調(diào)遞減數(shù)列；

④當(dāng)且僅當(dāng)時，存在，使得.

其中所有正確結(jié)論的序號是_____.三、解答題(本大題共6小題，每小題10分，共60分)16.已知函數(shù)，，且.

(1)求的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意，都有恒成立，求的取值范圍.17.已知在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使?jié)M足條件的數(shù)列和存在，并解答下列問題.

條件①：；

條件②：成等差數(shù)列；

條件③：成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，以及此時數(shù)列的前項(xiàng)和的值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.18.商品的價格指數(shù)是用于衡量該商品價格隨時間變化的相對指標(biāo)，它可以幫助分析該商品的通脹或通縮趨勢、市場供需變化和成本波動.下表是2024年某地區(qū)每個月蘋果的價格指數(shù)：月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月指數(shù)151152149146151147151154152151152153(1)若從2024年隨機(jī)抽取1個月，求該月蘋果的價格指數(shù)大于150的概率；

(2)若從2024年1~6月隨機(jī)抽取3個月，從7~12月隨機(jī)抽取1個月，記為隨機(jī)抽取到蘋果的價格指數(shù)大于150的月份的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若從2024年1~4月、5~8月、9~12月各隨機(jī)抽取1個月，分別記、、為這個月蘋果的價格指數(shù)大于150的月份的個數(shù)，則、、中哪個最大?（結(jié)論不要求證明）19.甲、乙、丙三人投籃，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，丙每次投中的概率為，設(shè)每人每次投籃是否命中相互之間沒有影響.

(1)甲、乙每人投3次，試比較甲恰好投中1次的概率與乙恰好投中1次的概率的大??；

(2)丙投籃3次，當(dāng)為何值時，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.20.已知函數(shù)，.

(1)當(dāng)時，

（?。┣笄€在處的切線方程；

（ⅱ）求函數(shù)的最大值；

(2)若函數(shù)的最大值為，求的值.21.已知數(shù)列滿足：①均為正整數(shù)且不全相等；②對任意正整數(shù)n，，，，．

(1)若，，，，求；

(2)是否存在正整數(shù)，使得，，，全為0？證明你的結(jié)論；

(3)求證：存在正整數(shù)，使得，，，中有一個數(shù)的絕對值大于2025．

北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷整體難度：適中考試范圍：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)、等式與不等式、集合與常用邏輯用語試卷題型題型數(shù)量單選題10填空題5解答題6試卷難度難度題數(shù)容易1較易6適中10較難4細(xì)目表分析題號難度系數(shù)詳細(xì)知識點(diǎn)一、單選題10.85基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式20.85等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算30.85實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題；計(jì)算古典概型問題的概率40.65等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算；等比數(shù)列的簡單應(yīng)用50.65函數(shù)奇偶性的定義與判斷；用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性60.85等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；等比中項(xiàng)的應(yīng)用70.85獨(dú)立事件的乘法公式；實(shí)際問題中的組合計(jì)數(shù)問題80.65根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)；一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系90.65充要條件的證明；判斷數(shù)列的增減性；寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的指數(shù)函數(shù)特征100.65由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)；根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)二、填空題110.85具體函數(shù)的定義域；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則；求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值120.94求等差數(shù)列前n項(xiàng)和130.65等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題140.4求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）；求過一點(diǎn)的切線方程；利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域；求已知函數(shù)的極值150.4判斷數(shù)列的增減性；利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式；寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式三、解答題160.65利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）；利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題170.65等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；二次函數(shù)法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值；等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；求等比數(shù)列前n項(xiàng)和180.65計(jì)算古典概型問題的概率；寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列；求離散型隨機(jī)變量的均值；離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差190.65獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題；由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）；獨(dú)立事件的乘法公式200.4求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）；由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）；已知函數(shù)最值求參數(shù)210.4由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)；數(shù)列新定義；根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)知識點(diǎn)分析序號知識點(diǎn)對應(yīng)題號1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1,5,8,10,11,14,16,19,202數(shù)列2,4,6,9,12,13,15,17,213計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)