老高考江蘇數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）

A.1B.2C.0D.3

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∪B=A，則a的取值集合為（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

3.“x>0”是“x^2>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知等差數(shù)列{a_n}中，a_1=5,a_4=10，則a_7的值為（）

A.15B.20C.25D.30

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪個點對稱？（）

A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/2,0)D.(π,0)

6.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|^2的值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.拋擲兩個均勻的六面骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

8.不等式3x-7>2的解集為（）

A.x>3B.x<3C.x>9/2D.x<9/2

9.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則圓O與直線l的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.重合

10.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性是（）

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^3B.f(x)=sin(x)C.f(x)=x^2D.f(x)=|x|

2.若a>1，b<0，則下列不等式成立的有（）

A.a^b<1B.b^a<1C.a+b<1D.a-b>1

3.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/9+y^2/4=1，則下列說法正確的有（）

A.橢圓的焦點在x軸上B.橢圓的短半軸長為2C.橢圓的離心率為√5/3D.橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為6

4.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的有（）

A.f(x)=2x+1B.f(x)=x^2C.f(x)=log_2(x)D.f(x)=1/x

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則下列說法正確的有（）

A.f(x)在x=1處取得極大值B.f(x)在x=-1處取得極小值C.f(x)的圖像與x軸有三個交點D.f(x)的圖像與y軸的交點為(0,2)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，其定義域為________。

2.等比數(shù)列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，則該數(shù)列的通項公式a_n=________。

3.不等式|2x-1|<3的解集為________。

4.拋擲一個均勻的六面骰子，則出現(xiàn)偶數(shù)點的概率為________。

5.過點(1,2)且與直線y=3x-1平行的直線方程為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

```

2x+y-z=1

x-y+2z=4

-x+2y+z=-3

```

3.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，求向量a與向量b的夾角余弦值。

4.計算極限lim(x→0)(sin(3x)/tan(2x))。

5.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|表示數(shù)軸上點x到點1和點-1的距離之和，最小值為兩點間的距離，即1-(-1)=2。

2.C

解析：A={1,2}。若B=?(即a=0)，則A∪B=A成立。若B≠?(即a≠0)，則B={1/a}，由A∪B=A得1/a∈{1,2}，即a∈{1,1/2}。但若a=1/2，則B={2}，A∪B={1,2}=A。若a=1，則B={1}，A∪B={1,2}=A。所以a的取值集合為{0,1}。注意題目沒有排除a=0的情況，且選項C包含了a=0。

3.A

解析：“x>0”推出“x^2>0”。反之，“x^2>0”推出“x≠0”，不一定得出“x>0”（例如x=-1）。所以“x>0”是“x^2>0”的充分不必要條件。

4.A

解析：等差數(shù)列中a_4=a_1+3d。由a_4=10和a_1=5，得10=5+3d，解得d=5/3。則a_7=a_1+6d=5+6*(5/3)=5+10=15。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像是將函數(shù)f(x)=sin(x)的圖像向左平移π/3個單位得到的。圖像關(guān)于點(π/3,0)對稱。這是因為f(π/3+t)=sin((π/3+t)+π/3)=sin(π/3+2t+π/3)=sin(2t+2π/3)。若關(guān)于點(π/3,0)對稱，則應(yīng)有f(π/3+t)=-f(π/3-t)=-sin(π/3-t+π/3)=-sin(2π/3-t)。比較sin(2t+2π/3)=-sin(2π/3-t)，利用sin(α)=-sin(π-α)，得sin(2t+2π/3)=sin(π-(2π/3-t))=sin(π/3+t)。由2t+2π/3=π/3+t+2kπ或2t+2π/3=π-(π/3+t)+2kπ(k∈Z)，解得t=-π/3+2kπ或t=π/6+2kπ。取k=0，得t=-π/3或t=π/6。特別地，當(dāng)t=0時，f(π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=√3/2，f(π/3)=sin(π/3)=√3/2。對于任意t，f(π/3+t)+f(π/3-t)=sin(2t+2π/3)+sin(2π/3-2t)=2sin(2π/3)cos(2t)=√3cos(2t)。這表明圖像關(guān)于點(π/3,0)對稱。

6.B

解析：|z|^2=|1+i|^2=(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2。

7.A

解析：兩個骰子點數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種?；臼录倲?shù)為6*6=36。故概率為6/36=1/6。

8.C

解析：不等式兩邊同時加7，得3x>9。兩邊同時除以3，得x>3。所以解集為x>3。

9.A

解析：圓心O到直線l的距離d=2<半徑r=3。根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)d<r時，直線與圓相交。

10.A

解析：f'(x)=e^x-1。當(dāng)x>0時，e^x>1，所以f'(x)=e^x-1>0。因此，函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B

解析：f(x)=x^3是奇函數(shù)，因為f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)。f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，因為sin(-x)=-sin(x)。f(x)=x^2是偶函數(shù)，因為f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)。f(x)=|x|是偶函數(shù)，因為f(-x)=|-x|=|x|=f(x)。所以A,B正確。

2.A,B,D

解析：因為a>1，所以a^b=a^x(x=b)在b∈R時單調(diào)遞增（因為a>1）。所以若b<0，則a^b<a^0=1。故A正確。因為b<0，所以b^a=b^x(x=a)在a∈R時單調(diào)遞減（因為0<b<1）。所以若a>1，則b^a<b^1=b。因為b<0，所以b<0。故B正確。對于C,a+b<1是否成立？反例：取a=2,b=-1，則a+b=1，不小于1。故C錯誤。對于D,a-b>1。因為a>1,b<0，所以a-b>1-0=1。故D正確。所以A,B,D正確。

3.A,B,D

解析：方程x^2/9+y^2/4=1是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中a^2=9,b^2=4。因為a^2>b^2，所以a=3,b=2。焦點在x軸上(c^2=a^2-b^2=9-4=5,c=√5)。短半軸長為b=2。離心率e=c/a=√5/3。橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為2a=2*3=6。所以A,B,D正確。

4.A,C

解析：f(x)=2x+1是一次函數(shù)，在其定義域(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。f(x)=x^2是二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為x=0。在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增。所以f(x)=x^2在其定義域(-∞,+∞)上不是單調(diào)遞增的。f(x)=log_2(x)是對數(shù)函數(shù)，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增。f(x)=1/x是反比例函數(shù)，在其定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞減。所以A,C正確。

5.A,C,D

解析：f(x)=x^3-3x^2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。計算f(0)=2,f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。計算端點處的函數(shù)值f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(-1)=f(2)。所以f(x)在x=0處取得極大值2，在x=2處取得極小值-2。A正確。B錯誤。極值點x=0,x=2以及端點x=-1使得函數(shù)值分別為2,-2,-2。全局最大值為2，全局最小值為-2。因此函數(shù)圖像與x軸有三個交點(x=-1,y=0),(x=0,y=0),(x=2,y=0)。C正確。計算f(0)=0^3-3*0^2+2*0=0。函數(shù)圖像與y軸的交點為(0,0)。D錯誤。所以A,C正確。

三、填空題答案及解析

1.[1,+∞)

解析：根號下的表達(dá)式x-1必須大于等于0，即x-1≥0，解得x≥1。所以定義域為[1,+∞)。

2.2*2^(n-1)=2^n

解析：等比數(shù)列通項公式a_n=a_1*q^(n-1)。已知a_1=2,a_4=16。則a_4=a_1*q^3，即16=2*q^3。解得q^3=8，所以q=2。因此a_n=2*2^(n-1)=2^n。

3.(-1,2)

解析：|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3。將不等式兩邊同時加1，得-2<2x<4。將不等式兩邊同時除以2，得-1<x<2。所以解集為(-1,2)。

4.1/2

解析：均勻六面骰子的點數(shù)為{1,2,3,4,5,6}，每個點數(shù)出現(xiàn)的概率相等。偶數(shù)點為{2,4,6}，共3個。出現(xiàn)偶數(shù)點的概率為3/6=1/2。

5.x-y=-1

解析：所求直線與y=3x-1平行，故斜率k=3。直線過點(1,2)。點斜式方程為y-2=3(x-1)?；喌脃-2=3x-3，即3x-y-1=0，或x-y=-1。

四、計算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x^2+x)+(x+3)]/(x+1)dx

=∫(x(x+1)+1(x+1)+2)/(x+1)dx

=∫(x+1+2)/(x+1)dx

=∫(x/x+1/x+2/x)dx

=∫(1+2/x)dx

=∫dx+2∫dx/x

=x+2ln|x|+C

2.方法一：加減消元法。

```

2x+y-z=1(1)

x-y+2z=4(2)

-x+2y+z=-3(3)

```

(1)+(2)→3x+z=5→(4)

(2)+(3)→y+3z=1→(5)

由(4)得z=5-3x。

由(5)得y=1-3z=1-3(5-3x)=1-15+9x=9x-14。

將z=5-3x和y=9x-14代入(1)：

2x+(9x-14)-(5-3x)=1

2x+9x-14-5+3x=1

14x-19=1

14x=20

x=10/7

將x=10/7代入y=9x-14：

y=9*(10/7)-14=90/7-98/7=-8/7

將x=10/7代入z=5-3x：

z=5-3*(10/7)=35/7-30/7=5/7

解得x=10/7,y=-8/7,z=5/7。

方法二：行列式法（克拉默法則）。

Δ=|21-1|=2(1*1-(-1)*2)-1(2*(-1)-(-1)*1)+(-1)(2*2-1*(-1))=2(1+2)-1(-2+1)-(4+1)=6+1-5=2

Δ_x=|11-1|=1(1*1-(-1)*2)-1(1*(-1)-(-1)*1)+(-1)(1*2-1*(-1))=1(1+2)-1(-1+1)-(2+1)=3-0-3=0

Δ_y=|211|=2(1*1-1*2)-1(2*1-1*1)+1(2*2-1*1)=2(1-2)-1(2-1)+1(4-1)=2(-1)-1(1)+3=-2-1+3=0

Δ_z=|211|=2(1*1-1*2)-1(1*1-2*1)+1(1*2-1*1)=2(1-2)-1(1-2)+1(2-1)=2(-1)-1(-1)+1=-2+1+1=0

x=Δ_x/Δ=0/2=0

y=Δ_y/Δ=0/2=0

z=Δ_z/Δ=0/2=0

解得x=0,y=0,z=0。

(注：方法二計算有誤，正確解法見方法一。此處按方法一結(jié)果：x=10/7,y=-8/7,z=5/7)

3.cosθ=(a·b)/(|a||b|)

a·b=(1)(2)+(2)(-1)+(-1)(1)=2-2-1=-1

|a|=√(1^2+2^2+(-1)^2)=√(1+4+1)=√6

|b|=√(2^2+(-1)^2+1^2)=√(4+1+1)=√6

cosθ=-1/(√6*√6)=-1/6

θ=arccos(-1/6)

4.lim(x→0)(sin(3x)/tan(2x))=lim(x→0)(sin(3x)/(sin(2x)/cos(2x)))=lim(x→0)(sin(3x)*cos(2x)/sin(2x))

=lim(x→0)[(sin(3x)/3x)*(3x/sin(2x))*(2x/2x)*(cos(2x)/2x)]

=[lim(x→0)(sin(3x)/3x)]*[lim(x→0)(3x/sin(2x))]*[lim(x→0)(2x/2x)]*[lim(x→0)(cos(2x)/2x)]

=1*(3/2)*1*[lim(x→0)(cos(2x)/2x)]

需要計算lim(x→0)(cos(2x)/2x)。令t=2x，則當(dāng)x→0時，t→0。原式=lim(t→0)(cos(t)/t)=1/(lim(t→0)t)=1/0=∞(或認(rèn)為極限不存在)

因此原極限lim(x→0)(sin(3x)/tan(2x))=(3/2)*∞=∞。

(注：參考答案中給出了3/2，這可能是對最后一步極限計算的理解有誤。正確計算應(yīng)得到∞)

5.f(x)=x^3-3x^2+2。求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。計算端點處的函數(shù)值f(-1)=-1-3+2=-2，f(3)=27-27+2=2。計算駐點處的函數(shù)值f(0)=0，f(2)=-2。

比較函數(shù)值：f(-1)=-2,f(0)=0,f(2)=-2,f(3)=2。

全局最大值為2，出現(xiàn)在x=3處。

全局最小值為-2，出現(xiàn)在x=-1和x=2處。

理論知識部分知識點分類和總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，包括函數(shù)、方程與不等式、數(shù)列、向量、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計、解析幾何、微積分初步等知識點。具體分類如下：

一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：

-函數(shù)的基本概念：定義域、值域、解析式、圖像、性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）。

-基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

-函數(shù)的綜合應(yīng)用：求定義域、值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、周期性、求最值、圖像變換。

-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義（切線斜率）、物理意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值。

二、方程與不等式：

-方程：一元二次方程的解法、根的判別式、韋達(dá)定理；二元一次方程組；高次方程、分式方程、無理方程的解法（需驗根）。

-不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的解法；含絕對值不等式的解法；分式不等式的解法；含有參數(shù)的不等式解集的討論。

三、數(shù)列：

-數(shù)列的基本概念：通項公式、前n項和。

-等差數(shù)列：定義、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)（若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q）。

-等比數(shù)列：定義、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)（若m+n=p+q，則a_m*a_n=a_p*a_q）。

-數(shù)列的綜合應(yīng)用：求通項公式、求前n項和、數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何等的結(jié)合問題。

四、向量：

-向量的基本概念：向量的定義、幾何表示、向量的模、相等向量、零向量。

-向量的線性運算：加法、減法、數(shù)乘；平行向量的條件。

-向量的數(shù)量積（內(nèi)積）：定義、幾何意義（數(shù)量積=向量模長×向量模長×cos夾角）、性質(zhì)、坐標(biāo)運算。

-向量的應(yīng)用：用向量法證明幾何問題、解決解析幾何中的距離、夾角問題。

五、三角函數(shù)：

-三角函數(shù)的定義：任意角三角函數(shù)的定義、單位圓；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）。

-三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：公式一至公式四。

-和差角公式、倍角公式、半角公式：掌握公式及其變形，用于化簡、求值、證明。

-三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）。

-解三角形：正弦定理、余弦定理；解斜三角形。

-函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像和性質(zhì)：振幅A、周期T(=2π/ω)、相位φ。

六、概率統(tǒng)計初步：

-概率：隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件、事件的關(guān)系（包含、相等、互斥、對立）；古典概型、幾何概型。

-隨機變量：離散型隨機變量、分布列、期望、方差；二項分布。

-統(tǒng)計：抽樣