蘭州高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.R

D.(-1,3)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a,b∈R），則a的值為（）

A.-2

B.2

C.-1

D.1

3.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5,a?=9，則S??的值為（）

A.50

B.55

C.60

D.65

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.在△ABC中，若角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a2+b2=c2，則cosC的值為（）

A.1/2

B.1

C.-1/2

D.-1

6.拋擲兩個均勻的六面骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-(a+1)y+1=0平行，則a的值為（）

A.-3

B.3

C.-1

D.1

8.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.3

B.5

C.8

D.10

10.已知向量a=(1,2),b=(3,-1)，則向量a與向量b的夾角余弦值是（）

A.1/5

B.-1/5

C.4/5

D.-4/5

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=16,a?=64，則該數(shù)列的通項公式a?為（）

A.a?=2^(n+1)

B.a?=2^(n-1)

C.a?=4^n

D.a?=4^(n-1)

3.下列不等式成立的有（）

A.log?(3)>log?(4)

B.2^(-3)<2^(-4)

C.arcsin(0.5)>arcsin(0.25)

D.cos(π/4)<cos(π/6)

4.已知圓C?:x2+y2-2x+4y-4=0與圓C?:x2+y2+4x-6y+9=0，則（）

A.兩個圓相交

B.兩個圓相切

C.兩個圓相離

D.兩個圓內(nèi)含

5.下列命題中，真命題的有（）

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù)

B.若向量a=(1,1),b=(2,2)，則向量a與向量b共線

C.在△ABC中，若a2>b2+c2，則角A為鈍角

D.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)滿足z2是實數(shù)，則a必須為0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為________。

2.若sinα=3/5，α是第二象限角，則cosα的值為________。

3.已知直線l?:2x-y+1=0與直線l?:x+ay-3=0垂直，則a的值為________。

4.某校高三年級有1000名學(xué)生，為了解學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是________抽樣。

5.在△ABC中，若角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=3,b=4,c=5，則cosB的值為________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解方程lg(x+3)-lg(x-1)=1。

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c。已知a=5,b=7,C=60°。求邊c的長度。

4.計算不定積分∫(x2+2x+3)dx。

5.已知向量a=(3,-1),b=(1,2)。求向量a與向量b的向量積（叉積）。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域要求x2-2x+3>0，解得x∈R。

2.A

解析：z2=(1+i)2=1+2i-1=2i，代入z2+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，解得a=-2,b=2。

3.B

解析：由a?=a?+2d=5,a?=a?+6d=9，解得a?=1,d=4/3，S??=10a?+45d=10+60=70。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為70。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.B

解析：由a2+b2=c2可知△ABC為直角三角形，且∠C=90°，所以cosC=cos90°=0。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為0。

6.A

解析：兩個骰子點數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

7.D

解析：兩直線平行則斜率相等，即a/3=3/(a+1)，解得a2+a-9=0，得a=2或a=-3。需檢驗a=2時，兩直線重合，故a=-3。

8.C

解析：圓方程可化為(x-2)2+(y+3)2=16+9-(-3)=28，圓心為(2,-3)。

9.B

解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3。最大值為5。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為5。

10.C

解析：向量a·b=1*3+2*(-1)=1，|a|=√(12+22)=√5，|b|=√(32+(-1)2)=√10，cosθ=(a·b)/(|a||b|)=1/(√5*√10)=1/(√50)=√2/10=4/5。

二、多項選擇題答案及解析

1.ABD

解析：f(-x)=|-x-1|+|-x+2|=|x+1|+|x-2|。當(dāng)x>2時，f(-x)=x+1+x-2=2x-1≠-(x3)，不滿足。當(dāng)x∈(0,1)時，f(-x)=-x-1+2-x=1-2x≠-sin(-α)，不滿足。當(dāng)x∈(-1,0)時，f(-x)=-x-1-x+2=1-2x=-sin(-α)，滿足。當(dāng)x<-1時，f(-x)=-x-1-2+x=-3≠-(-x3)，不滿足。綜上，只有A和B在所有x處滿足f(-x)=-f(x)。對于D,sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。若tanα=-1，則α=-π/4，cos(-α)=cos(π/4)=√2/2≠-cosα。若tanα=1，則α=π/4，cos(-α)=cos(π/4)=√2/2=cosα，滿足。所以D不一定滿足。因此正確選項為A和B。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為ABD。

2.BC

解析：設(shè)公比為q，則a?=a?*q3=>64=16*q3=>q3=4=>q=?4。通項公式a?=a?*q^(n-1)。a?=a?*q3=a?*4=16=>a?=4。所以a?=4*(?4)^(n-1)=4*4^(1/3)^(n-1)=4*4^((n-1)/3)=4^(1+(n-1)/3)=4^((n+2)/3)=(4^2)^(n/3+1/3)=16^(n/3)*16^(1/3)=16^(n/3+1/3)=16^((n+1)/3)。即a?=16^((n+1)/3)。選項Ba?=2^(n-1)=2^(3(n-1)/3)=2^(n-1)不符合。選項Ca?=4^n=(2^2)^n=2^(2n)=2^(3n/3)*2^(-n/3)=2^(3n/3-n/3)=2^(2n-n/3)不符合。選項Da?=4^(n-1)=(2^2)^(n-1)=2^(2(n-1))=2^(2n-2)=2^(3n/3-2n/3)=2^(n/3-2/3)不符合。選項Aa?=2^(n+1)=2^(3(n+1)/3)=2^(n+1)不符合。正確答案應(yīng)為B和C。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為BC。

3.CD

解析：A.log?(3)≈1.585,log?(4)=2,1.585<2，不等式不成立。B.2^(-3)=1/8,2^(-4)=1/16,1/8>1/16，不等式成立。C.arcsin(0.5)=π/6,arcsin(0.25)≈0.2527,π/6≈0.5236,0.5236>0.2527，不等式成立。D.cos(π/4)=√2/2≈0.7071,cos(π/6)=√3/2≈0.8660,0.7071<0.8660，不等式不成立。因此正確選項為C和D。

4.A

解析：圓C?:(x-1)2+(y+2)2=9，圓心(1,-2)，半徑3。圓C?:(x+2)2+(y-3)2=4，圓心(-2,3)，半徑2。兩圓圓心距d=√((-2-1)2+(3-(-2))2)=√((-3)2+52)=√(9+25)=√34。兩圓半徑之差|3-2|=1，兩圓半徑之和3+2=5。因為1<√34<5，所以兩圓相交。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為A。

5.BCD

解析：A.函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，不一定連續(xù)。例如f(x)=1/x在(0,1)上單調(diào)遞增，但在x=0處不定義，不連續(xù)。所以A是假命題。B.向量a=(1,1),b=(2,2)=2(1,1)，即b是a的非零倍，所以向量a與向量b共線。是真命題。C.若a2>b2+c2，根據(jù)余弦定理，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。若a2>b2+c2，則分子(b2+c2-a2)<0，所以cosA<0，角A為鈍角。是真命題。D.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)滿足z2是實數(shù)，即(a+bi)2=a2-b2+2abi是實數(shù)，這要求虛部2ab=0。因為b=0時z是實數(shù)，不一定需要a=0。例如z=2i,z2=-4是實數(shù)，但a=0。反之，如果a=0，則z=bi是純虛數(shù)，z2=(bi)2=-b2是實數(shù)。所以虛部為0（即2ab=0）是z2為實數(shù)的充要條件，它等價于a=0或b=0。但題目說“a必須為0”，這是不全面的。例如z=i時，z2=-1是實數(shù)，但a=0。因此D是假命題。因此正確選項為B和C。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|。在數(shù)軸上，x=1和x=-2是分段點。分三段：

當(dāng)x≤-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1。

當(dāng)-2<x<1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3。

當(dāng)x≥1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1。

在區(qū)間(-2,1)上，f(x)=3。在區(qū)間(-∞,-2]和[1,+∞)上，f(x)分別為-2x-1和2x+1，隨著x增大而增大（或減小）。所以在(-2,1)上，函數(shù)取得最小值3。

2.-4/5

解析：由sinα=3/5，α在第二象限，sinα>0,cosα<0。sin2α+cos2α=1=>(3/5)2+cos2α=1=>9/25+cos2α=1=>cos2α=1-9/25=16/25=>cosα=±4/5。因為α在第二象限，cosα<0，所以cosα=-4/5。

3.-2

解析：兩直線l?:2x-y+1=0與l?:x+ay-3=0垂直，則它們的斜率之積為-1。直線l?的斜率k?=2。直線l?的斜率k?=-a。k?*k?=-1=>2*(-a)=-1=>-2a=-1=>a=1/2。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為-2。

4.系統(tǒng)隨機(jī)抽樣

解析：從1000名學(xué)生中抽取100名進(jìn)行調(diào)查，抽取比例是100/1000=1/10?？梢韵葘?000名學(xué)生編號為1,2,...,1000，然后按一定的規(guī)則（如隨機(jī)抽取第一個學(xué)生后，每隔10個抽取一個）抽取樣本，這種方法屬于系統(tǒng)隨機(jī)抽樣。

5.3/4

解析：由a=3,b=4,c=5，可知a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°。在直角三角形中，cosB=a/c=3/5。這里答案有誤，cosB=a/c=3/5。題目問的是cosB的值，應(yīng)為3/5。

四、計算題答案及解析

1.最大值5，最小值-1

解析：f(x)=x3-3x2+2。f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0=>3x(x-2)=0=>x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，f(x)在x=0處取得極大值f(0)=03-3*02+2=2。f''(2)=6*2-6=6>0，f(x)在x=2處取得極小值f(2)=23-3*22+2=8-12+2=-2。還需要比較區(qū)間端點處的函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-3*(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(3)=33-3*32+2=27-27+2=2。比較f(0)=2,f(2)=-2,f(-1)=-2,f(3)=2,f(-1)=-1。所以f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為5（在x=3處取得），最小值為-2（在x=2處取得）。

2.x=3

解析：lg(x+3)-lg(x-1)=1=>lg((x+3)/(x-1))=1=>(x+3)/(x-1)=10^1=>x+3=10(x-1)=>x+3=10x-10=>3+10=10x-x=>13=9x=>x=13/9。需要檢驗解是否滿足原方程的定義域：x+3>0=>x>-3；x-1>0=>x>1。解x=13/9≈1.444>1，滿足定義域。所以解為x=13/9。

3.c=√19

解析：由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=>c2=52+72-2*5*7*cos60°=>c2=25+49-70*(1/2)=>c2=74-35=>c2=39=>c=√39。這里答案有誤，正確答案應(yīng)為√39。題目中C=60°，cos60°=1/2，計算錯誤。正確計算過程如上。

4.x3/3+x2+3x+C

解析：∫(x2+2x+3)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫3dx=x3/3+2x2/2+3x+C=x3/3+x2+3x+C。

5.(-5,7)

解析：向量a=(3,-1),b=(1,2)。向量a與向量b的向量積（叉積）在二維中定義為：a×b=a?b?-a?b?=3*2-(-1)*1=6+1=7。向量積是一個標(biāo)量，結(jié)果為7。如果題目意圖是求向量積對應(yīng)的向量，則通常指與a,b垂直的單位向量，或者在某些定義中取(7,0)。但標(biāo)準(zhǔn)的二維向量叉積結(jié)果是標(biāo)量7。如果題目確實要求二維向量叉積的向量形式，可以設(shè)垂直向量為(x,y)，則3y-(-1)x=0=>3y+x=0=>x=-3y。取y=1，則x=-3，垂直向量為(-3,1)。再單位化得到(-3/√10,1/√10)。但題目沒有要求單位化，也沒有說明是三維叉積，最可能的答案是指標(biāo)量結(jié)果7。這里答案(-5,7)與計算結(jié)果(7)或(-3,1)都不符，題目表述可能不清晰或有誤。按標(biāo)準(zhǔn)定義，結(jié)果應(yīng)為標(biāo)量7。

五、知識點總結(jié)

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)高三階段的核心內(nèi)容，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何初步、概率統(tǒng)計初步等。具體知識點分類如下：

1.函數(shù)部分：

*函數(shù)概念與性質(zhì)：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性。

*具體函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)（sin,cos,tan,arcsin,arccos,arctan）。

*函數(shù)圖像與變換：平移、伸縮。

*函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系：利用函數(shù)性質(zhì)解方程、不等式。

*函數(shù)的最值：利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值。

2.數(shù)列部分：

*等差數(shù)列與等比數(shù)列：通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。

*數(shù)列的遞推關(guān)系。

*數(shù)列與函數(shù)、不等式的關(guān)系。

3.解析幾何部分：

*直線：方程、斜率、平行、垂直、相交。

*圓：方程、圓心、半徑、位置關(guān)系（相離、相切、相交、內(nèi)含）。

*圓錐曲線初步（本試卷未涉及橢圓、雙曲線、拋物線）。

4.立體幾何初步部分：

*空間向量：向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積（本試卷涉及數(shù)量積）。

*直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。

*空間角：線線角、線面角、面面角（本試卷未明確涉及）。

5.概率統(tǒng)計初步部分：

*隨機(jī)事件：基本事件、樣本空間。

*概率