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四川省西昌市中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)(勾股定理)匯編專項(xiàng)測(cè)評(píng)考試時(shí)間:90分鐘;命題人:教研組考生注意:1、本卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分100分,考試時(shí)間90分鐘2、答卷前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫(xiě)在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫(xiě)在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶,不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷(選擇題14分)一、單選題(7小題,每小題2分,共計(jì)14分)1、如圖所示,圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食,則它爬行的最短距離是()A. B. C. D.2、在△ABC中,,那么△ABC是(
)A.等腰三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形3、如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,A,B,C,D是網(wǎng)格線交點(diǎn),則與的大小關(guān)系為(
)A. B. C. D.無(wú)法確定4、如圖,由6個(gè)相同小正方形組成的網(wǎng)格中,A,B,C均在格點(diǎn)上,則∠ABC的度數(shù)為(
)A.45° B.50° C.55° D.60°5、如圖,已知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是()A.48 B.60C.76 D.806、如圖,中,,將折疊,使點(diǎn)C與的中點(diǎn)D重合,折痕交于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N,則線段的長(zhǎng)為(
).A. B. C.3 D.7、如圖,在中,,兩直角邊,,現(xiàn)將AC沿AD折疊,使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處,則CD長(zhǎng)為(
)A. B. C. D.第Ⅱ卷(非選擇題86分)二、填空題(8小題,每小題2分,共計(jì)16分)1、某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道,一架梯子斜靠在左墻DE時(shí),梯子A到左墻的距離AE為0.7m,梯子頂端D到地面的是樣子離DE為2.4m,若梯子底端A保持不動(dòng),將梯子斜塞在右墻BC上,梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m,則這兩面直立墻壁之間的安全道的寬BE為_(kāi)_________m.2、如圖,已知四邊形中,,則四邊形的面積等于________.3、在△ABC中,AD是BC邊上的中線,AD⊥AB,如果AC=5,AD=2,那么AB的長(zhǎng)是________.4、勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)示了A,B,C三地的坐標(biāo),數(shù)據(jù)如圖(單位:km).筆直鐵路經(jīng)過(guò)A,B兩地.(1)A,B間的距離為_(kāi)_____km;(2)計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l,并在l上建一個(gè)維修站D,使D到A,C的距離相等,則C,D間的距離為_(kāi)_____km.5、如圖,在的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),點(diǎn)、、均在格點(diǎn)上,則______.6、一根直立于水中的蘆節(jié)(BD)高出水面(AC)2米,一陣風(fēng)吹來(lái),蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處,且C到BD的距離AC=6米,水的深度(AB)為_(kāi)_______米7、《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有下列問(wèn)題:“今有垣高一丈,倚木于垣,上與垣齊.引木卻行一尺,其木至地,問(wèn)木長(zhǎng)幾何?”其意思為:今有墻高1丈,倚木桿于墻,使木之上端與墻平齊,牽引木桿下端退行1尺,則木桿(從墻上)滑落至地上.問(wèn)木桿是多長(zhǎng)?(1丈=10尺)設(shè)木桿長(zhǎng)為x尺根據(jù)題意,可列方程為_(kāi)_____.8、我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中,出水一尺.引葭赴岸(丈、尺是長(zhǎng)度單位,1丈10尺)其大意為:有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形,它高出水面1尺(即BC=1尺).如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處,問(wèn)水的深度是多少?則水深DE為_(kāi)____尺.三、解答題(7小題,每小題10分,共計(jì)70分)1、如圖,點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn),把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,且,,.(1)判斷的形狀,并說(shuō)明理由;(2)求的度數(shù).2、如圖,一個(gè)長(zhǎng)5m的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為4m,如果梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點(diǎn).(1)求梯子底端B外移距離BD的長(zhǎng)度;(2)猜想CE與BE的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.3、如圖,一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.(1)求A,C兩港之間的距離(結(jié)果保留到0.1km,參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732);(2)確定C港在A港的什么方向.4、如圖,在4×4的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.(1)請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)分別為,,的三角形;(2)此三角形的面積是.5、已知:在中,點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在同一條直線上,且,【問(wèn)題初探】(1)如圖1,若平分,求證:.請(qǐng)依據(jù)以下的簡(jiǎn)易思維框圖,寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.【變式再探】(2)如圖2,若平分的外角,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),問(wèn):和的數(shù)量關(guān)系發(fā)生改變了嗎?若改變,請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論,并證明;若不改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.【拓展運(yùn)用】(3)如圖3,在的條件下.若,求的長(zhǎng)度.6、如圖,在四邊形中,,,于,(1)求證:;(2)若,,求四邊形的面積.7、如圖,有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為16尺的正方形,在水池正中央有一根蘆葦,它高出水面2尺,如果把這根蘆葦拉向水池一邊,它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面,則水池里水的深度是多少尺?請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題.-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】要求最短路徑,首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi),利用兩點(diǎn)之間線段最短,然后利用勾股定理即可求解.【詳解】解:把圓柱側(cè)面展開(kāi),展開(kāi)圖如圖所示,點(diǎn)A、C之間的最短距離為線段AC的長(zhǎng).在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD為底面半圓弧長(zhǎng),AD=π,∴AC=,故選C.【考點(diǎn)】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開(kāi),并利用勾股定理解答.2、D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形狀即可.【詳解】∵a:b:c=1:1:,∴三角形ABC是等腰三角形.設(shè)三邊長(zhǎng)為a,a,∵,∴三角形ABC是直角三角形.綜上所述:△ABC是等腰直角三角形.故選D.【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理.此題關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理解答.3、C【解析】【分析】根據(jù)每個(gè)小網(wǎng)格都為正方形,設(shè)每個(gè)網(wǎng)格為1,由勾股定理可以求出AD、AC、CD的長(zhǎng),再由勾股定理的逆定理得到△ACD為等腰直角三角形,同理可得△ABC為等腰直角三角形,即∠BAC=∠DAC.【詳解】解:如圖,設(shè)正方形每個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)都為1,連接CD、BC,則,,,,為等腰直角三角形,,同理:,,,,為等腰直角三角形,,.故選:C.【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定,解本題的關(guān)鍵要掌握勾股定理及逆定理的基本知識(shí).4、A【解析】【分析】連接AC,利用勾股定理分別求出AB、AC、BC,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到答案.【詳解】連接AC,∵,,,∴,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠ABC=(180°-∠ACB)=45°.故選A.【考點(diǎn)】本題考查了等腰三角形,勾股定理的逆定理,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建三角形,熟練掌握等腰三角形的定義和性質(zhì),熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷直角三角形.5、C【解析】【詳解】解:∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴AB=∴S陰影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故選:C.6、D【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可得DN=CN,根據(jù)勾股定理可求DN的長(zhǎng),即可得出結(jié)果.【詳解】解:∵D是AB中點(diǎn),AB=4,∴AD=BD=2,∵將△ABC折疊,使點(diǎn)C與AB的中點(diǎn)D重合,∴DN=CN,∴BN=BC-CN=6-DN,在Rt△DBN中,DN2=BN2+DB2,∴DN2=(6-DN)2+4,∴DN=,∴CN=DN=,故選:D.【考點(diǎn)】本題考查了翻折變換、折疊的性質(zhì)、勾股定理,熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.7、A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng),再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE,BE的長(zhǎng),從而利用勾股定理可求得CD的長(zhǎng).【詳解】解:∵AC=6cm,BC=8cm,∠C=90°,∴AB=(cm),由折疊的性質(zhì)得:AE=AC=6cm,∠AED=∠C=90°,∴BE=10cm?6cm=4cm,∠BED=90°,設(shè)CD=x,則BD=BC?CD=8?x,在Rt△DEB中,BE2+DE2=BD2,即42+x2=(8?x)2,解得:x=3,∴CD=3cm,故選:A.【考點(diǎn)】本題考查了折疊的性質(zhì),勾股定理等知識(shí);熟記折疊性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊,然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.二、填空題1、2.7【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng),同理可得出AB的長(zhǎng),進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,AE=0.7米,DE=2.4米,∴AD2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中,∵∠ABC=90°,BC=1.5米,AB2+BC2=AC2,∴AB2+1.52=6.25,∴AB2=4.∵AB>0,∴AB=2米.∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米.故答案為2.7.【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用,在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法,關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.2、36【解析】【分析】連接AC,先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度,再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀,最后利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】連接AC,如下圖所示:∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=,在△ACD中,AC2+AD2=25+144=169=CD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四邊形ABCD=AB?BC+AC?AD=×3×4+×5×12=36.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.3、3【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E,先證△ABD≌△ECD(AAS),求出AE=2AD=4,在Rt△AEC中,即可.【詳解】解:過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E,∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,∵AD⊥AB,CE∥AB,∴AD⊥CE,∠ABD=∠ECD,∴∠E=90°,在△ABD和△ECD中,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴AB=EC,AD=ED=2,∴AE=2AD=4,在Rt△AEC中,,∴AB=CE=3.故答案為:3.【考點(diǎn)】本題考查中線性質(zhì),平行線性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),勾股定理,掌握中線性質(zhì),平行線性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),勾股定理,關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造三角形全等.4、
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13【解析】【分析】(1)由垂線段最短以及根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同即可求出AB的長(zhǎng)度;(2)根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出CE與AE的長(zhǎng)度,設(shè)CD=x,根據(jù)勾股定理即可求出x的值.【詳解】(1)由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知:AB∥x軸,∴AB=12﹣(﹣8)=20;(2)過(guò)點(diǎn)C作l⊥AB于點(diǎn)E,連接AC,作AC的垂直平分線交直線l于點(diǎn)D,由(1)可知:CE=1﹣(﹣17)=18,AE=12,設(shè)CD=x,∴AD=CD=x,由勾股定理可知:x2=(18﹣x)2+122,∴解得:x=13,∴CD=13.故答案為(1)20;(2)13.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理,解題的關(guān)鍵是根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度,本題屬于中等題型.5、45°##45度【解析】【分析】取正方形網(wǎng)格中格點(diǎn)Q,連接PQ和BQ,證明∠AQB=90°,由勾股定理計(jì)算PQ=QB,進(jìn)而得到△QPB為等腰直角三角形,∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解.【詳解】解:取正方形網(wǎng)格中格點(diǎn)Q,連接PQ和BQ,如下圖所示:∴AE=PF,PE=QF,∠AEP=∠PFQ=90°,∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF,∵PF∥BE,∴∠PBA=∠BPF,∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB,又QA2=22+42=20,QB2=22+12=5,AB2=52=25,∴QA2+QB2=20+5=25=AB2,∴△QAB為直角三角形,∠AQB=90°,∵PQ2=22+12=5=QB2,∴△PQB為等腰直角三角形,∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°,∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°,故答案為:45°.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等,熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本類(lèi)題的關(guān)鍵.6、8【解析】【分析】先設(shè)水深x米,則AB=x,則有BD=AD+AB=x+2,由題條件有BD=BC=x+2,又根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD⊥AC,則在直角△ABC中,利用勾股定理即可求出x.【詳解】解:設(shè)水深x米,則AB=x,則有:BD=AD+AB=x+2,即有:BD=BC=x+2,根據(jù)蘆節(jié)直立水面,可知BD⊥AC,且AC=6,則在直角△ABC中:,即:,解得x=8,即水深8米,故答案為8.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用,從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本題的關(guān)鍵.7、102+(x-1)2=x2【解析】【分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時(shí),木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形,設(shè)木桿長(zhǎng)為x尺,則木桿底端離墻有(x-1)尺,根據(jù)勾股定理可列出方程.【詳解】解:如圖,設(shè)木桿AB長(zhǎng)為x尺,則木桿底端B離墻的距離即BC的長(zhǎng)有(x-1)尺,在Rt△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴102+(x-1)2=x2,故答案為:102+(x-1)2=x2.【考點(diǎn)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問(wèn)題抽象出直角三角形,從而運(yùn)用勾股定理解題.8、12【解析】【分析】設(shè)水深為h尺,則蘆葦長(zhǎng)為(h+1)尺,根據(jù)勾股定理列方程,解出h即可.【詳解】設(shè)水深為h尺,則蘆葦長(zhǎng)為(h+1)尺,根據(jù)勾股定理,得(h+1)2-h2=52解得h=12,∴水深為12尺,故答案是:12.【考點(diǎn)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用,熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.三、解答題1、(1)是直角三角形,理由見(jiàn)解析;(2)150°.【解析】【分析】(1)求出DE,CE,CD長(zhǎng),根據(jù)勾股逆定理可知的形狀;(2)由等邊三角形角的性質(zhì)和全等三角形角的性質(zhì)可知的度數(shù)【詳解】解:(1)是直角三角形理由如下:繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,,,,是等邊三角形,,又,,是直角三角形.(2)由(1)得,,是等邊三角形,,,.【考點(diǎn)】本題是三角形綜合題,主要考查了全等三角形的證明和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股逆定理,熟練應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)及角度是解題的關(guān)鍵.2、(1)BD=1m;(2)CE與BE的大小關(guān)系是CE=BE,證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出OB,求出OC,再根據(jù)勾股定理求出OD,即可求出答案;(2)求出△AOB和△DOC全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OC=OB,∠ABO=∠DCO,求出∠OCB=∠OBC,求出∠EBC=∠ECB,根據(jù)等腰三角形的判定得出即可.【詳解】(1)∵AO⊥OD,AO=4m,AB=5m,∴OB==3m,∵梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點(diǎn),∴OC=AO﹣AC=3m,∵CD=AB=5m,∴由勾股定理得:OD=4m,∴BD=OD﹣OB=4m﹣3m=1m;(2)CE與BE的大小關(guān)系是CE=BE,證明如下:連接CB,由(1)知:AO=DO=4m,AB=CD=5m,∵∠AOB=∠DOC=90°,在Rt△AOB和Rt△DOC中,∴Rt△AOB≌Rt△DOC(HL),∴∠ABO=∠DCO,OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ABO﹣∠OBC=∠DCO﹣∠OCB,∴∠EBC=∠ECB,∴CE=BE.【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的判定與性質(zhì)等,能靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解(1)的關(guān)鍵,能求出∠DCO=∠ABO和OC=OB是解(2)的關(guān)鍵.3、(1)A、C兩地之間的距離為14.1km;(2)C港在A港北偏東15°的方向上.【解析】【分析】(1)根據(jù)方位角的定義可得出∠ABC=90°,再根據(jù)勾股定理可求得AC的長(zhǎng)為14.1.(2)由(1)可知△ABC為等腰直角三角形,從而得出∠BAC=45°,求出∠CAM=15°,所而確定C港在A港的什么方向.【詳解】(1)由題意可得,∠PBC=30°,∠MAB=60°,∴∠CBQ=60°,∠BAN=30°,∴∠ABQ=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10,∴AC==≈14.1.答:A、C兩地之間的距離為14.1km.(2)由(1)知,△ABC為等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,∴∠CAM=15°,∴C港在A港北偏東15°的方向上.【考點(diǎn)】本題考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理,正確理解方位角是解題的關(guān)鍵.4、(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析;(2)【解析】【分析】(1)利用勾股定理在網(wǎng)格中確定再順次連接即可;(2)利用長(zhǎng)方形的面積減去周?chē)齻€(gè)三角形的面積即可.【詳解】解:(1)如圖,即為所求
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