2025年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題）專題21：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)今升數(shù)學(xué)工作室編輯一、選擇題1.（2025重慶市4分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示對(duì)稱軸為。下列結(jié)論中，正確的是【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥緼、∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴＞0?！叨魏瘮?shù)的圖象與軸交于負(fù)半軸，∴＜0?！叨魏瘮?shù)的圖象對(duì)稱軸在軸左側(cè)，∴﹣＜0。∴＞0。∴。故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。B、∵二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸：，∴，。故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。C、從圖象可知，當(dāng)時(shí)，。故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。D、∵二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)的取值范圍為1＞1，∴二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的取值范圍為2＜﹣2。∴當(dāng)時(shí)，，即。故本選項(xiàng)正確。故選D。2.（2025浙江衢州3分）已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣7x+，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是【】A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y【答案】A?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征?！痉治觥扛鶕?jù)x1、x2、x3與對(duì)稱軸的大小關(guān)系，判斷y1、y2、y3的大小關(guān)系：∵二次函數(shù)，∴此函數(shù)的對(duì)稱軸為：?！撸?＜x1＜x2＜x3，三點(diǎn)都在對(duì)稱軸右側(cè)，a＜0，∴對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小?！鄖1＞y2＞y3。故選A。3.（2025浙江義烏3分）如圖，已知拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2．例如：當(dāng)x=1時(shí)，y1=0，y2=4，y1＜y2，此時(shí)M=0．下列判斷：①當(dāng)x＞0時(shí)，y1＞y2；②當(dāng)x＜0時(shí)，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正確的是【】A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)?！痉治觥竣佟弋?dāng)x＞0時(shí)，利用函數(shù)圖象可以得出y2＞y1?！啻伺袛噱e(cuò)誤。②∵拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M?！喈?dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可以得出x值越大，M值越大?！啻伺袛噱e(cuò)誤。③∵拋物線y1=﹣2x2+2，直線y2=2x+2，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2），當(dāng)x=0時(shí)，M=2，拋物線y1=﹣2x2+2，最大值為2，故M大于2的x值不存在；∴此判斷正確。④∵使得M=1時(shí)，若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。由圖象可得出：當(dāng)x=＞0，此時(shí)對(duì)應(yīng)y1=M。∵拋物線y1=﹣2x2+2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），（﹣1，0），∴當(dāng)﹣1＜x＜0，此時(shí)對(duì)應(yīng)y2=M，∴M=1時(shí)，x=或x=﹣。∴此判斷正確。因此正確的有：③④。故選D。4.（2025江蘇常州2分）已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x分別取，3，0時(shí)，對(duì)應(yīng)的值分別為，則的大小關(guān)系正確的是【】A.B.C.D.【答案】B。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)?！痉治觥坑啥魏瘮?shù)知，它的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=2，如圖所示。根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，x=3和x=1時(shí)，y值相等。由于二次函數(shù)在對(duì)稱軸x=2左側(cè)，y隨x的增大而減小，而0＜1＜，因此，。故選B。5.（2025江蘇鎮(zhèn)江3分）關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【】A.B.C.D.【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥俊撸嗨膶?duì)稱軸為。又∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴。故選D。5.（2025湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0）．對(duì)于下列命題：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有【】A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)【答案】A。【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。【分析】根據(jù)圖象可得：a＞0，c＞0，對(duì)稱軸：。①∵它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0），∴對(duì)稱軸是x=1，∴。∴b+2a=0。故命題①錯(cuò)誤。②∵a＞0，，∴b＜0。又c＞0，∴abc＜0。故命題②正確。③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c?！遖﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0?！喋?b+4c=﹣4a。∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命題③正確。④根據(jù)圖示知，當(dāng)x=4時(shí)，y＞0，∴16a+4b+c＞0。由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命題④正確?！嗾_的命題為：①②③三個(gè)。故選A。6.（2025湖北宜昌3分）已知拋物線y=ax2﹣2x+1與x軸沒有交點(diǎn)，那么該拋物線的頂點(diǎn)所在的象限是【】A．第四象限B．第三象限C．第二象限D(zhuǎn)．第一象限【答案】D?！究键c(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解之間的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)。【分析】∵拋物線y=ax2﹣2x+1與x軸沒有交點(diǎn)，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1。∴拋物線的開口向上。又∵b=﹣2，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)。∴拋物線的頂點(diǎn)在第一象限。故選D。7.（2025湖南郴州3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【】A．（－1，2）B．（－1，－2）C．（1，－2）D．（1，2）【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥恐苯永庙旤c(diǎn)式的特點(diǎn)可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)：∵頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x－h(huán)）2＋k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）。故選D。8.（2025湖南衡陽3分）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，則下列說法：①a＞0②2a+b=0③a+b+c＞0④當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0其中正確的個(gè)數(shù)為【】A．1B．2C．3D．【答案】C?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由x=1時(shí)的函數(shù)值判斷a+b+c＞0，然后根據(jù)對(duì)稱軸推出2a+b與0的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷﹣1＜x＜3時(shí)，y的符號(hào)：①∵圖象開口向下，∴a＜0。說法錯(cuò)誤。②∵對(duì)稱軸為x=，∴，即2a+b=0。說法正確。③當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，則a+b+c＞0。說法正確。④由圖可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0。說法正確?！嗾f法正確的有3個(gè)。故選C。9.（2025湖南株洲3分）如圖，已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸是x=﹣1，則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是【】A．（﹣3，0）B．（﹣2，0）C．x=﹣3D．x=﹣2【答案】A?！究键c(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱性?！痉治觥吭O(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（b，0），∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸是x=﹣1，∴=﹣1，解得b=﹣3?！郆（﹣3，0）。故選A。10.（2025四川樂山3分）二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)（﹣1，0）．設(shè)t=a+b+1，則t值的變化范圍是【】A．0＜t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．﹣1＜t＜【答案】B?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥俊叨魏瘮?shù)y=ax2+bx+1的頂點(diǎn)在第一象限，且經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①，∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②?！嘤散佗诘茫憨?＜a+b＜1?！?＜a+b+1＜2，即0＜t＜2。故選B。11.（2025四川廣元3分）若二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）的圖象如圖，則a的值為【】A.1B.C.D.-2【答案】C?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【分析】由圖可知，函數(shù)圖象開口向下，∴a＜0，又∵函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），∴a2－2=0，解得a1=（舍去），a2=－。故選C。12.（2025四川德陽3分）設(shè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，總有，當(dāng)時(shí)，總有，那么c的取值范圍是【】A.B.C.D.【答案】B。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥俊弋?dāng)x≤1時(shí)，總有y≥0，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，總有y≤0，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=0，即1+b+c=0①?！弋?dāng)1≤x≤3時(shí)，總有y≤0，∴當(dāng)x=3時(shí)，y=9+3b+c≤0②。①②聯(lián)立解得：c≥3。故選B。13.（2025四川巴中3分）對(duì)于二次函數(shù)，下列說法正確的是【】A.圖象的開口向下B.當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小C.當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減小D.圖象的對(duì)稱軸是直線x=－1【答案】C?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥堪讯魏瘮?shù)化為頂點(diǎn)式的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答：二次函數(shù)，A、∵此二次函數(shù)中a=2＞0，∴拋物線開口向上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵由二次函數(shù)的解析式可知，此拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=1，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵由二次函數(shù)的解析式可知，此拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=1，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)正確；D、由二次函數(shù)的解析式可知拋物線對(duì)稱軸為x=1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選C。14.（2025遼寧鞍山3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣1，0），下面的四個(gè)結(jié)論：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正確的結(jié)論是【】A．①④B．①③C．②④D．①②15.（2025山東濱州3分）拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是【】A．3B．2C．1D．【答案】A?！究键c(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)，解一元一次、二次方程。【分析】∵拋物線解析式，令，解得：，∴拋物線與軸的交點(diǎn)為（0，4），令，得到，∴拋物線與軸的交點(diǎn)分別為（，0），（1，0）。綜上，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。故選A。16.（2025山東濟(jì)南3分）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（－2，－1），（1，1）兩點(diǎn)，則下列關(guān)于此二次函數(shù)的說法正確的是【】A．y的最大值小于0B．當(dāng)x=0時(shí)，y的值大于1C．當(dāng)x=－1時(shí)，y的值大于1D．當(dāng)x=－3時(shí)，y的值小于0【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)圖象的對(duì)稱軸的位置、增減性及開口方向直接作答：由圖象知，A、點(diǎn)（1，1）在圖象的對(duì)稱軸的左邊，所以y的最大值大于1，不小于0；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)x=0時(shí)，y的值就是函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)，而圖象與y軸的交點(diǎn)在（1，1）點(diǎn)的左邊，故y＜1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)稱軸在（1，1）的右邊，在對(duì)稱軸的左邊y隨x的增大而增大，∵－1＜1，∴x=－1時(shí)，y的值小于x=1時(shí)，y的值1，即當(dāng)x=－1時(shí)，y的值小于1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)x=－3時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)在點(diǎn)（－2，－1）的左邊，所以y的值小于0；故本選項(xiàng)正確。故選D。17.（2025山東日照4分）二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①b2－4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c=0；④a︰b︰c=－1︰2︰3.其中正確的是【】(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④【答案】D。【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的性質(zhì)，?！痉治觥扛鶕?jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)分別作出判斷：∵二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?！郻2－4ac＞0。選項(xiàng)①正確。又∵對(duì)稱軸為直線x=1，即，∴2a＋b=0。選項(xiàng)②錯(cuò)誤?！哂蓤D象知，x=－2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，∴當(dāng)x=－2時(shí)，y=4a－2b＋c＜0。選項(xiàng)③錯(cuò)誤?！邎D象知，x=－1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=a＋b＋c=0。聯(lián)立2a＋b=0和y=a＋b＋c=0可得：b=－2a，c=－3a。∴a：b：c=a：（－2a）：（－3a）=－1：2：3。選項(xiàng)④正確。綜上所述，正確的選項(xiàng)有：①④。故選D。18.（2025山東泰安3分）二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為【】A．B．3C．D．9【答案】B?！究键c(diǎn)】拋物線與軸的交點(diǎn)。【分析】∵拋物線的開口向上，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣3，∴＞0，，即?！咭辉畏匠逃袑?shí)數(shù)根，∴△=，即，即，解得?！嗟淖畲笾禐?。故選B。19.（2025山東泰安3分）設(shè)A，B，C是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為【】A．B．C．D．【答案】A?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征?！痉治觥俊吆瘮?shù)的解析式是，如右圖，∴對(duì)稱軸是。∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的點(diǎn)A′是。，那么點(diǎn)A′、B、C都在對(duì)稱軸的右邊，而對(duì)稱軸右邊隨的增大而減小，∴于是。故選A。20.（2025山東威海3分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是【】A.abc＞0B.3a＞2bC.m（am＋b）≤a－bD.4a－2b＋c＜0【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)?！痉治觥俊叨魏瘮?shù)的圖象的開口向下，對(duì)稱軸為x=－1，與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴a＜0，c＞0，且，即b=2a＜0?！郺bc＞0。結(jié)論A正確?！?a－2b=3a－4a=－a＞0，∴3a＞2b。結(jié)論B正確?！?，∴m（am＋b）≤a－b。結(jié)論C正確。從圖象可知，當(dāng)x=－2時(shí)，y＞0，即4a－2b＋c＞0。結(jié)論D錯(cuò)誤。故選D。21.（2025山東煙臺(tái)3分）已知二次函數(shù)y=2（x﹣3）2+1．下列說法：①其圖象的開口向下；②其圖象的對(duì)稱軸為直線x=﹣3；③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1）；④當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減?。畡t其中說法正確的有【】A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】A?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥拷Y(jié)合二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷解答即可：①∵2＞0，∴圖象的開口向上，故本說法錯(cuò)誤；②圖象的對(duì)稱軸為直線x=3，故本說法錯(cuò)誤；③其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），故本說法錯(cuò)誤；④當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，故本說法正確。綜上所述，說法正確的有④共1個(gè)。故選A。22.（2025山東棗莊3分）拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則代數(shù)式的值為【】A．3B．9C．D．【答案】C?！究键c(diǎn)】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥俊邟佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（2，4），∴，即。∴。故選C。23.（2025河北省3分）如圖，拋物線y1=a（x＋2）2－3與y2=（x－3）2＋1交于點(diǎn)A（1，3），過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)B，C．則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②a=1；③當(dāng)x=0時(shí)，y2－y1=4；④2AB=3AC；其中正確結(jié)論是【】A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程?！痉治觥俊撸▁－3）2≥0，∴y2=（x－3）2＋1＞0，即無論x取何值，y2的值總是正數(shù)。故結(jié)論①正確?！邇蓲佄锞€交于點(diǎn)A（1，3），∴3=a（1＋2）2－3，解得a=≠1。故結(jié)論②錯(cuò)誤?！局链思纯膳袛郉正確】當(dāng)x=0時(shí)，y2－y1=[（0－3）2＋1]－[（0＋2）2－3]=。故結(jié)論③錯(cuò)誤。解3=（x＋2）2－3得x=1或x=－5，∴B（1，－5）?！郃B=6，2AB=12。解3=（x－3）2＋1得x=1或x=5，∴B（1，5）?！郆C=4，3BC=12?！?AB=3AC。故結(jié)論④正確。因此，正確結(jié)論是①④。故選D。24.（2025甘肅白銀3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是【】A．B．x＞3C．－1＜x＜3D．或x＞3【答案】C。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)y＜0，則函數(shù)圖象在x軸的下方，所以找出函數(shù)圖象在x軸下方的x的取值范圍即可：由圖象可知，當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，函數(shù)圖象在x軸的下方，y＜0。故選C。25.（2025甘肅蘭州4分）拋物線y＝－2x2＋1的對(duì)稱軸是【】A．直線B．直線C．y軸D．直線x＝2【答案】C?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥恳阎獟佄锞€解析式為頂點(diǎn)式，可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸：∵拋物線y＝－2x2＋1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，∴對(duì)稱軸是直線x＝0(y軸)。故選C。26.（2025甘肅蘭州4分）已知二次函數(shù)y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，則a，b的大小關(guān)系為【】A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．不能確定【答案】D?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的最值?！痉治觥俊叨魏瘮?shù)y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值，∴a＞0。∵無論b為何值，此函數(shù)均有最小值，∴a、b的大小無法確定。故選D。27.（2025青海西寧3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)(－1，1)、(2，－1)．下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的敘述正確的是【】A．當(dāng)x＝0時(shí)，y的值大于1B．當(dāng)x＝3時(shí)，y的值小于0C．當(dāng)x＝1時(shí)，y的值大于1D．y的最大值小于028.（2025黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠O)的圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①abc>0②b2－4ac<0⑤c<4b④a＋b>0，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥坑蓲佄锞€的開口向下，得到a＜0，∵＞0，∴b＞0。又∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0?！郺bc＜0。結(jié)論①錯(cuò)誤。又∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴b2－4ac＞0。結(jié)論②錯(cuò)誤。又∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴，即b=－2a。結(jié)論④正確?！弋?dāng)x=－2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y＜0，∴4a－2b+c＜0，即－2b－2b+c＜0，即c＜＜4b。結(jié)論③正確。∴其中正確的結(jié)論有③④。故選B。29.（2025黑龍江牡丹江3分）拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－l，0)和(3，0)，則這條拋物線的對(duì)稱軸是【】．A．直線x=－18．直線x=0C．直線x=1D．直線x=3【答案】C?！究键c(diǎn)】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥坑蓲佄锞€與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(－l，0)和(3，0)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得這條拋物線的對(duì)稱軸是x＝。故選C。二、填空題1.（2025廣東深圳3分）二次函數(shù)的最小值是▲．[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)]【答案】5?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥俊?，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值5。2.（2025江蘇蘇州3分）已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y=（x－1）2+1的圖象上，若x1＞x2＞1，則QUOTEy1y1▲y2QUOTEy2.【答案】>?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥坑啥魏瘮?shù)y=（x－1）2+1知，其對(duì)稱軸為x=1。∵x1＞x2＞1，∴兩點(diǎn)均在對(duì)稱軸的右側(cè)?！叽撕瘮?shù)圖象開口向上，∴在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大?！選1＞x2＞1，∴y1＞y2。3.（2025江蘇無錫2分）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（2，1），且經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為▲．【答案】y=﹣x2+4x﹣3?！究键c(diǎn)】待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥俊邟佄锞€y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A（2，1），∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1。又∵拋物線y=a（x﹣2）2+1經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），∴（1，0）滿足y=a（x﹣2）2+1?！鄬Ⅻc(diǎn)B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1?！鄴佄锞€的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。4.（2025湖北咸寧3分）對(duì)于二次函數(shù)，有下列說法：①它的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；②如果當(dāng)≤1時(shí)隨的增大而減小，則；③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過原點(diǎn)，則；④如果當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為．其中正確的說法是▲．（把你認(rèn)為正確說法的序號(hào)都填上）【答案】①④。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，平移的性質(zhì)?！痉治觥坑傻茫喾匠逃袃刹幌嗟鹊膶?shí)數(shù)根，即二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)。故說法①正確。∵的對(duì)稱軸為，而當(dāng)≤1時(shí)隨的增大而減小，∴。故說法②錯(cuò)誤?！撸鄬⑺膱D象向左平移3個(gè)單位后得。∵經(jīng)過原點(diǎn)，∴，解得。故說法③錯(cuò)誤?！哂蓵r(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，得，解得，∴當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為。故說法④正確。綜上所述，正確的說法是①④。5.（2025湖北孝感3分）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，其圖象的一部分如圖所示．下列說法正確的是▲(填正確結(jié)論的序號(hào))．①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＞0．【答案】①②③?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥坑啥魏瘮?shù)的圖象可得：a＞0，b＜0，c＞0，對(duì)稱軸x=1，則再結(jié)合圖象判斷正確的選項(xiàng)即可：由a＞0，b＜0，c＞0得abc＜0，故結(jié)論①正確?！哂啥魏瘮?shù)的圖象可得x=2.5時(shí)，y=0，對(duì)稱軸x=1，∴x=－0.5時(shí)，y=0?！鄕=－1時(shí)，y＜0，即a－b＋c＜0。故結(jié)論②正確。∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為x=1，即，∴。代入②a－b＋c＜0得3a＋c＜0。故結(jié)論③正確?！哂啥魏瘮?shù)的圖象和②可得，當(dāng)－0.5＜x＜2.5時(shí)，y＞0；當(dāng)x＜－0.5或x＞2.5時(shí)，y＜0?！喈?dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＞0不正確。故結(jié)論④錯(cuò)誤。綜上所述，說法正確的是①②③。6.（2025遼寧營(yíng)口3分）二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解為，則另一個(gè)解=▲．【答案】5。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系。【分析】∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為∴關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是5?！嗟牧硪粋€(gè)解=5。7.（2025山東棗莊4分）二次函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍是▲．【答案】－1＜x＜3?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出，y＜0，即是圖象在x軸下方部分，從而得出x的取值范圍：∵二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象如圖所示，∴圖象與x軸交在（－1，0），（3，0），∴當(dāng)y＜0時(shí)，即圖象在x軸下方的部分，此時(shí)x的取值范圍是：－1＜x＜3。8.（2025新疆區(qū)5分）當(dāng)x=▲時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2x﹣2有最小值．【答案】﹣1?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的最值?！痉治觥坑门浞椒ò押瘮?shù)化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)其解析式即可求解：∵二次函數(shù)y=x2+2x﹣2可化為y=（x+1）2﹣3，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2x﹣2有最小值。（或用公式求解）9.（2025吉林長(zhǎng)春3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且AB∥x軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為▲.【答案】18?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的對(duì)稱軸為x=3。∵A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是這條拋物線上的另一點(diǎn)，且AB∥x軸?！郃，B關(guān)于x=3對(duì)稱?！郃B=6。又∵△ABC是等邊三角形，∴以AB為邊的等邊三角形ABC的周長(zhǎng)為6×3=18。10.（2025黑龍江牡丹江3分）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，10)，則=▲．【答案】10。【考點(diǎn)】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】由拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，10)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將(－1，10)代入得，即。11.（2025黑龍江大慶3分）已知二次函數(shù)y=－x－2x＋3的圖象上有兩點(diǎn)A(－7，)，B(－8，)，則▲.（用>、<、=填空）．【答案】＞。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征?！痉治觥扛鶕?jù)已知條件求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸和開口方向，再根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)的大小即可判斷出y1與y2的大小關(guān)系：∵二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的對(duì)稱軸是x=﹣1，開口向下，∴在對(duì)稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大?！唿c(diǎn)A（﹣7，y1），B（﹣8，y2）是二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的圖象上的兩點(diǎn)，且﹣7＞﹣8，∴y1＞y2。三、解答題1.（2025北京市7分）已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等。求二次函數(shù)的解析式；若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A，求m和k的值；設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B,C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)B,C間的部分（含點(diǎn)B和點(diǎn)C）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為C，同時(shí)將（2）中得到的直線向上平移n個(gè)單位。請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍。【答案】解：（1）∵二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等，∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為。∴，解得?！喽魏瘮?shù)解析式為。（2）∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過A點(diǎn)，∴，A（－3，－6）。又∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，∴，解得。（3）由題意可知，二次函數(shù)在點(diǎn)B，C間的部分圖象的解析式為，，則向左平移后得到的圖象C的解析式為，。此時(shí)一次函數(shù)的圖象平移后的解析式為。∵平移后的直線與圖象C有公共點(diǎn)，∴兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為與。∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即?！唷究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等，可知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，從而由對(duì)稱軸公式可求得，從而求得二次函數(shù)的解析式。（2）由二次函數(shù)圖象經(jīng)過A點(diǎn)代入可求得，從而由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點(diǎn)，代入可求得。（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得平移后的二次函數(shù)和一次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)平移后的直線與圖象C有公共點(diǎn)，求得公共點(diǎn)的坐標(biāo)即可。2.（2025廣東佛山8分）(1)任選以下三個(gè)條件中的一個(gè)，求二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的解析式；=1\*GB3①y隨x變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表：x－10123y03430=2\*GB3②有序數(shù)對(duì)（－1，0），（1，4），（3，0）滿足y=ax2＋bx＋c；=3\*GB3③已知函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象的一部分（如圖）．(2)直接寫出二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的三個(gè)性質(zhì)．3.（2025廣東梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（﹣1，﹣1），設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值，并求出最小值．【答案】（1）證明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴。（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標(biāo)分別為（x1，0）、（x2，0）?！遜=|x1﹣x2|，∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4?！喈?dāng)p=2時(shí)，d2的最小值是4?！究键c(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接證得?！窘滩闹袥]有元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可先根據(jù)求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可】（2）把點(diǎn)（﹣1，﹣1）代入拋物線的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d2關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可得出結(jié)論。4.（2025浙江杭州8分）當(dāng)k分別取﹣1，1，2時(shí)，函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值嗎？請(qǐng)寫出你的判斷，并說明理由；若有，請(qǐng)求出最大值．【答案】解：∵當(dāng)開口向下時(shí)函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k取最大值∴k﹣1＜0，解得k＜1?！喈?dāng)k=﹣1時(shí)函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k有最大值，當(dāng)k=1，2時(shí)函數(shù)沒有最大值?！喈?dāng)k=﹣1時(shí)，函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8?！嘧畲笾禐??！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的最值?！痉治觥渴紫雀鶕?jù)函數(shù)有最大值得到k的取值范圍，然后判斷即可。求最大值時(shí)將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式或用公式即可。5.（2025江蘇徐州8分）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），（3，0）。（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）在所給坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象。【答案】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），（3，0），∴，解得。（2）∵該二次