2025年二元關(guān)系試題題庫及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。---2025年二元關(guān)系試題題庫及答案一、選擇題1.定義與基本概念-下列哪一項不是二元關(guān)系的基本性質(zhì)？A.自反性（Reflexivity）B.對稱性（Symmetry）C.傳遞性（Transitivity）D.反對稱性（Anti-symmetry）2.關(guān)系的表示-設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)，則\(R\)的關(guān)系矩陣表示中，第1行第2列的元素是？A.0B.1C.無法確定D.以上都不對3.關(guān)系圖-對于集合\(B=\{a,b,c\}\)上的二元關(guān)系\(S=\{(a,b),(b,c)\}\)，其關(guān)系圖中有多少個環(huán)（自回路）？A.0B.1C.2D.34.關(guān)系的復(fù)合-設(shè)\(R\)和\(S\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，若\(R\circS=S\circR\)，則稱\(R\)和\(S\)是可交換的。以下哪個結(jié)論是正確的？A.所有自反關(guān)系都是可交換的。B.所有對稱關(guān)系都是可交換的。C.所有傳遞關(guān)系都是可交換的。D.以上都不對。5.逆關(guān)系-設(shè)\(R\)是集合\(A=\{1,2\}\)上的二元關(guān)系，\(R=\{(1,2)\}\)，則\(R\)的逆關(guān)系\(R^{-1}\)是？A.\{(1,2)\}B.\{(2,1)\}C.\{(2,1),(1,2)\}D.空集6.等價關(guān)系-下列哪個關(guān)系是集合\(\mathbb{Z}\)上的等價關(guān)系？A.\(R_1=\{(a,b)\mida\equivb\pmod{3}\}\)B.\(R_2=\{(a,b)\mida>b\}\)C.\(R_3=\{(a,b)\mida+b\text{是偶數(shù)}\}\)D.\(R_4=\{(a,b)\mida\text{是偶數(shù)且}b\text{是奇數(shù)}\}\)7.偏序關(guān)系-設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(L=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}\)，則\(L\)是否是偏序關(guān)系？A.是B.否C.無法確定D.以上都不對8.函數(shù)與關(guān)系-下列哪個關(guān)系是集合\(A=\{1,2\}\)到\(B=\{a,b\}\)的函數(shù)？A.\{(1,a),(2,b)\}B.\{(1,a),(1,b)\}C.\{(2,a)\}D.以上都不對9.關(guān)系的閉包-設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(1,2)\}\)，則\(R\)的自反閉包是？A.\{(1,2)\}B.\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}C.\{(1,1),(2,2),(3,3)\}D.\{(1,2),(2,1)\}10.關(guān)系的性質(zhì)-設(shè)\(R\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，若\(R\)是自反且對稱的，則稱\(R\)是？A.等價關(guān)系B.偏序關(guān)系C.函數(shù)D.以上都不對二、填空題1.設(shè)集合\(A=\{a,b\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(a,a),(b,b),(a,b)\}\)，則\(R\)的自反閉包是________。2.關(guān)系\(S=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)的傳遞閉包是________。3.設(shè)\(R\)是集合\(\mathbb{N}\)上的二元關(guān)系，\(R=\{(a,b)\mida\leqb\}\)，則\(R\)的逆關(guān)系是________。4.關(guān)系\(R\)的逆關(guān)系\(R^{-1}\)是________。5.集合\(\{1,2,3\}\)上的二元關(guān)系\(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)\}\)是________關(guān)系。6.設(shè)\(R\)和\(S\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，若\(R\circS=S\circR\)，則稱\(R\)和\(S\)是________。7.關(guān)系\(R=\{(a,b)\mida\text{是}b\text{的倍數(shù)}\}\)在集合\(\mathbb{Z}\)上是________關(guān)系。8.設(shè)\(R\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，若\(R\)是自反且傳遞的，則稱\(R\)是________。9.集合\(\{1,2,3\}\)上的二元關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)的關(guān)系矩陣是________。10.關(guān)系\(R=\{(a,b)\mida\neqb\}\)在集合\(\{1,2,3\}\)上是________關(guān)系。三、判斷題1.所有二元關(guān)系都是等價關(guān)系。（）2.關(guān)系的自反閉包一定是自反的。（）3.關(guān)系的對稱閉包一定是對稱的。（）4.關(guān)系的傳遞閉包一定是傳遞的。（）5.若\(R\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，則\(R\circR\subseteqR\)。（）6.若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(R\)的等價類將\(A\)分成互不相交的子集。（）7.若\(R\)是集合\(A\)上的偏序關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。（）8.若\(R\)是集合\(A\)上的函數(shù)，則\(R\)的定義域等于\(A\)。（）9.若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。（）10.若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。（）四、簡答題1.什么是二元關(guān)系？二元關(guān)系有哪些基本性質(zhì)？2.解釋什么是關(guān)系的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。3.什么是等價關(guān)系？等價關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。4.什么是偏序關(guān)系？偏序關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。5.解釋關(guān)系的復(fù)合運算，并舉例說明。6.什么是逆關(guān)系？逆關(guān)系與原關(guān)系的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖有何聯(lián)系？7.解釋函數(shù)與關(guān)系的關(guān)系，并舉例說明哪些關(guān)系是函數(shù)。8.什么是關(guān)系圖？如何根據(jù)關(guān)系矩陣繪制關(guān)系圖？9.解釋關(guān)系的閉包運算，并舉例說明如何求一個關(guān)系的閉包。10.解釋關(guān)系的等價類和商集，并舉例說明。五、計算題1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)，求\(R\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。2.設(shè)集合\(B=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(S=\{(a,b),(b,c)\}\)，求\(S\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。3.設(shè)集合\(C=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(T=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\)，求\(T\)的逆關(guān)系\(T^{-1}\)。4.設(shè)集合\(D=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(U=\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}\)，求\(U\)的逆關(guān)系\(U^{-1}\)。5.設(shè)集合\(E=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(V=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,3)\}\)，求\(V\)的復(fù)合關(guān)系\(V\circV\)。6.設(shè)集合\(F=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(W=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\)，求\(W\circW\)。7.設(shè)集合\(G=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(X=\{(1,2),(2,3)\}\)，求\(X\)的傳遞閉包。8.設(shè)集合\(H=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(Y=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\)，求\(Y\)的傳遞閉包。9.設(shè)集合\(I=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(Z=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)，求\(Z\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。10.設(shè)集合\(J=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(K=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)，求\(K\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。六、證明題1.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的自反閉包就是\(R\)本身。2.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的對稱閉包就是\(R\)本身。3.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的傳遞關(guān)系，則\(R\)的傳遞閉包就是\(R\)本身。4.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(R\)的自反閉包和對稱閉包都是\(R\)本身。5.證明：若\(R\)和\(S\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，則\(R\circS\)的自反閉包等于\(R\)的自反閉包與\(S\)的自反閉包的復(fù)合。6.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(A\)可以被\(R\)的等價類劃分。7.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的偏序關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。8.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的函數(shù)，則\(R\)的定義域等于\(A\)。9.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。10.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。---答案與解析一、選擇題1.B-自反性、對稱性、傳遞性和反對稱性都是二元關(guān)系的基本性質(zhì)。對稱性不是基本性質(zhì)，而是特定關(guān)系的性質(zhì)。2.B-關(guān)系矩陣的第1行第2列對應(yīng)\((1,2)\)，所以是1。3.A-關(guān)系圖中有0個環(huán)，因為沒有自回路。4.D-只有對稱關(guān)系才可交換，其他性質(zhì)不一定。5.B-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。6.A-\(a\equivb\pmod{3}\)是等價關(guān)系，滿足自反性、對稱性和傳遞性。7.A-\(L\)滿足自反性、反對稱性和傳遞性，是偏序關(guān)系。8.A-只有A滿足每個元素在\(B\)中有唯一對應(yīng)。9.B-自反閉包需要添加所有缺失的自回路。10.A-自反且對稱的關(guān)系是等價關(guān)系。二、填空題1.\{(a,a),(b,b),(a,b)\}-自反閉包需要添加所有缺失的自回路。2.\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}-傳遞閉包需要添加所有缺失的有序?qū)σ员３謧鬟f性。3.\{(b,a)\mida\leqb\}-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。4.\{(2,1),(3,2),(1,3)\}-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。5.自反、對稱、傳遞-滿足自反性、對稱性和傳遞性，是等價關(guān)系。6.可交換的-復(fù)合關(guān)系相同的稱為可交換。7.偏序-滿足自反性和傳遞性，是偏序關(guān)系。8.傳遞閉包-自反且傳遞的關(guān)系是傳遞閉包。9.\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\0&0\end{pmatrix}-關(guān)系矩陣的元素表示是否存在有序?qū)Α?0.對稱-滿足對稱性，但不滿足其他性質(zhì)。三、判斷題1.×-不是所有二元關(guān)系都是等價關(guān)系，只有滿足自反性、對稱性和傳遞性的關(guān)系才是等價關(guān)系。2.√-自反閉包一定包含所有自回路。3.√-對稱閉包一定包含所有缺失的對稱有序?qū)Α?.√-傳遞閉包一定包含所有缺失的傳遞有序?qū)Α?.√-復(fù)合關(guān)系是原關(guān)系的子集。6.√-等價關(guān)系將集合分成互不相交的等價類。7.√-偏序關(guān)系的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。8.×-函數(shù)的定義域不一定等于集合\(A\)。9.√-自反關(guān)系的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。10.√-對稱關(guān)系的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。四、簡答題1.什么是二元關(guān)系？二元關(guān)系有哪些基本性質(zhì)？-二元關(guān)系是集合\(A\)到集合\(B\)的有序?qū)?，表示為\(R\subseteqA\timesB\)?；拘再|(zhì)包括自反性（每個元素與自己相關(guān)）、對稱性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)，則\(b\)與\(a\)相關(guān)）、傳遞性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)）和反對稱性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)且\(b\)與\(a\)相關(guān)，則\(a=b\)）。2.解釋什么是關(guān)系的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的自回路，使其滿足自反性。-對稱閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的對稱有序?qū)?，使其滿足對稱性。-傳遞閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的傳遞有序?qū)?，使其滿足傳遞性。3.什么是等價關(guān)系？等價關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。-等價關(guān)系是滿足自反性、對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。性質(zhì)包括：-自反性：每個元素與自己相關(guān)。-對稱性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，則\(b\)與\(a\)相關(guān)。-傳遞性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)。-舉例：集合\(\mathbb{Z}\)上的模\(n\)等價關(guān)系\(R=\{(a,b)\mida\equivb\pmod{n}\}\)。4.什么是偏序關(guān)系？偏序關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。-偏序關(guān)系是滿足自反性、反對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。性質(zhì)包括：-自反性：每個元素與自己相關(guān)。-反對稱性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)且\(b\)與\(a\)相關(guān)，則\(a=b\)。-傳遞性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)。-舉例：集合\(\mathbb{N}\)上的小于等于關(guān)系\(R=\{(a,b)\mida\leqb\}\)。5.解釋關(guān)系的復(fù)合運算，并舉例說明。-關(guān)系的復(fù)合運算是將兩個關(guān)系組合成一個新的關(guān)系。若\(R\subseteqA\timesB\)，\(S\subseteqB\timesC\)，則\(R\circS\subseteqA\timesC\)，定義為\((a,c)\inR\circS\)當且僅當存在\(b\inB\)使得\((a,b)\inR\)且\((b,c)\inS\)。-舉例：設(shè)\(R=\{(1,2),(2,3)\}\)，\(S=\{(2,4),(3,5)\}\)，則\(R\circS=\{(1,4),(2,5)\}\)。6.什么是逆關(guān)系？逆關(guān)系與原關(guān)系的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖有何聯(lián)系？-逆關(guān)系是將原關(guān)系中的所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。若\(R\subseteqA\timesB\)，則\(R^{-1}\subseteqB\timesA\)，定義為\((b,a)\inR^{-1}\)當且僅當\((a,b)\inR\)。-關(guān)系矩陣：逆關(guān)系的關(guān)系矩陣是原關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)置。-關(guān)系圖：逆關(guān)系的關(guān)系圖是原關(guān)系圖的鏡像。7.解釋函數(shù)與關(guān)系的關(guān)系，并舉例說明哪些關(guān)系是函數(shù)。-函數(shù)是特殊的二元關(guān)系，滿足每個元素在定義域中都有唯一的值與之對應(yīng)。即對于集合\(A\)到\(B\)的函數(shù)\(f\)，每個\(a\inA\)都有唯一的\(b\inB\)使得\((a,b)\inf\)。-舉例：集合\(A=\{1,2\}\)到\(B=\{a,b\}\)的函數(shù)\(f=\{(1,a),(2,b)\}\)。8.什么是關(guān)系圖？如何根據(jù)關(guān)系矩陣繪制關(guān)系圖？-關(guān)系圖是表示二元關(guān)系的圖形工具，頂點表示集合中的元素，有向邊表示有序?qū)Α?繪制方法：-每個元素對應(yīng)一個頂點。-對于關(guān)系矩陣中的1，繪制從該行頂點到該列頂點的有向邊。9.解釋關(guān)系的閉包運算，并舉例說明如何求一個關(guān)系的閉包。-關(guān)系的閉包是在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加缺失的元素以滿足特定性質(zhì)。自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包分別滿足自反性、對稱性和傳遞性。-舉例：設(shè)\(R=\{(1,2),(2,3)\}\)在集合\(\{1,2,3\}\)上：-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}\)。-對稱閉包：添加\((2,1)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)。10.解釋關(guān)系的等價類和商集，并舉例說明。-等價類：對于集合\(A\)上的等價關(guān)系\(R\)，元素\(a\inA\)的等價類是所有與\(a\)相關(guān)的元素集合，記為\([a]_R=\{b\inA\mid(a,b)\inR\}\)。-商集：等價類的集合，記為\(A/R\)。-舉例：集合\(\{1,2,3\}\)上的模2等價關(guān)系\(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\)：-等價類：\([1]_R=\{1,3\}\)，\([2]_R=\{2\}\)。-商集：\(\{\{1,3\},\{2\}\}\)。五、計算題1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)，求\(R\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,1)\}\)。-對稱閉包：添加\((2,1),(3,2)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,1)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}\)。2.設(shè)集合\(B=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(S=\{(a,b),(b,c)\}\)，求\(S\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((a,a),(b,b),(c,c)\)，得\(\{(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)\}\)。-對稱閉包：添加\((b,a),(c,b)\)，得\(\{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)\}\)。-傳遞閉包：添加\((a,c)\)，得\(\{(a,b),(b,c),(a,c)\}\)。3.設(shè)集合\(C=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(T=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\)，求\(T\)的逆關(guān)系\(T^{-1}\)。-逆關(guān)系：反轉(zhuǎn)所有有序?qū)Φ姆较颍肻(\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,1)\}\)。4.設(shè)集合\(D=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(U=\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}\)，求\(U\)的逆關(guān)系\(U^{-1}\)。-逆關(guān)系：反轉(zhuǎn)所有有序?qū)Φ姆较颍肻(\{(2,1),(3,2),(1,3),(3,1)\}\)。5.設(shè)集合\(E=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(V=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,3)\}\)，求\(V\circV\)。-復(fù)合關(guān)系：計算所有可能的復(fù)合有序?qū)?，得\(\{(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\}\)。6.設(shè)集合\(F=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(W=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\)，求\(W\circW\)。-復(fù)合關(guān)系：計算所有可能的復(fù)合有序?qū)?，得\(\{(a,c),(b,a),(c,b)\}\)。7.設(shè)集合\(G=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(X=\{(1,2),(2,3)\}\)，求\(X\)的傳遞閉包。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)。8.設(shè)集合\(H=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(Y=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\)，求\(Y\)的傳遞閉包。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\)。9.設(shè)集合\(I=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(Z=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)，求\(Z\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}\)。-對稱閉包：添加\((1,2),(3,2)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3)\}\)。10.設(shè)集合\(J=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(K=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)，求\(K\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：原關(guān)系已經(jīng)自反，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。-對稱閉包：原關(guān)系已經(jīng)對稱，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。-傳遞閉包：原關(guān)系已經(jīng)傳遞，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。六、證明題1.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的自反閉包就是\(R\)本身。-證明：自反關(guān)系已經(jīng)包含所有自回路，因此自反閉包就是\(R\)本身。2.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的對稱閉包就是\(R\)本身。-證明：對稱關(guān)系已經(jīng)包含所有對稱有序?qū)?，因此對稱閉包就是\(R\)本身。3.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的傳遞關(guān)系，則\(R\)的傳遞閉包就是\(R\)本身。-證明：傳遞關(guān)系已經(jīng)包含所有傳遞有序?qū)?，因此傳遞閉包就是\(R\)本身。4.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(R\)的自反閉包和對稱閉包都是\(R\)本身。-證明：等價關(guān)系已經(jīng)滿足自反性和對稱性，因此自反閉包和對稱閉包都是\(R\)本身。5.證明：若\(R\)和\(S\)是集合\(A\)上的二元關(guān)系，則\(R\circS\)的自反閉包等于\(R\)的自反閉包與\(S\)的自反閉包的復(fù)合。-證明：設(shè)\(R\)和\(S\)的自反閉包分別為\(R^r\)和\(S^r\)，則\((R\circS)^r=R^r\circS^r\)。6.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(A\)可以被\(R\)的等價類劃分。-證明：等價關(guān)系將\(A\)分成互不相交的等價類，且每個元素都屬于某個等價類，因此是劃分。7.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的偏序關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。-證明：偏序關(guān)系的反對稱性保證了任何兩個頂點之間至多有一條邊。8.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的函數(shù)，則\(R\)的定義域等于\(A\)。-證明：函數(shù)的定義域是所有輸入值的集合，因此\(R\)的定義域等于\(A\)。9.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。-證明：自反關(guān)系包含所有自回路，因此主對角線上的元素都是1。10.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。-證明：對稱關(guān)系滿足\((a,b)\inR\)當且僅當\((b,a)\inR\)，因此關(guān)系矩陣是對稱矩陣。---答案與解析一、選擇題1.B-對稱性不是基本性質(zhì)，而是特定關(guān)系的性質(zhì)。2.B-關(guān)系矩陣的第1行第2列對應(yīng)\((1,2)\)，所以是1。3.A-關(guān)系圖中有0個環(huán)，因為沒有自回路。4.D-只有對稱關(guān)系才可交換，其他性質(zhì)不一定。5.B-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。6.A-\(a\equivb\pmod{3}\)是等價關(guān)系，滿足自反性、對稱性和傳遞性。7.A-\(L\)滿足自反性、反對稱性和傳遞性，是偏序關(guān)系。8.A-只有A滿足每個元素在\(B\)中有唯一對應(yīng)。9.B-自反閉包需要添加所有缺失的自回路。10.A-自反且對稱的關(guān)系是等價關(guān)系。二、填空題1.\{(a,a),(b,b),(a,b)\}-自反閉包需要添加所有缺失的自回路。2.\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}-傳遞閉包需要添加所有缺失的有序?qū)σ员３謧鬟f性。3.\{(b,a)\mida\leqb\}-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。4.\{(2,1),(3,2),(1,3)\}-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。5.自反、對稱、傳遞-滿足自反性、對稱性和傳遞性，是等價關(guān)系。6.可交換的-復(fù)合關(guān)系相同的稱為可交換。7.偏序-滿足自反性和傳遞性，是偏序關(guān)系。8.傳遞閉包-自反且傳遞的關(guān)系是傳遞閉包。9.\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\0&0\end{pmatrix}-關(guān)系矩陣的元素表示是否存在有序?qū)Α?0.對稱-滿足對稱性，但不滿足其他性質(zhì)。三、判斷題1.×-不是所有二元關(guān)系都是等價關(guān)系，只有滿足自反性、對稱性和傳遞性的關(guān)系才是等價關(guān)系。2.√-自反閉包一定包含所有自回路。3.√-對稱閉包一定包含所有缺失的對稱有序?qū)Α?.√-傳遞閉包一定包含所有缺失的傳遞有序?qū)Α?.√-復(fù)合關(guān)系是原關(guān)系的子集。6.√-等價關(guān)系將集合分成互不相交的等價類。7.√-偏序關(guān)系的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。8.×-函數(shù)的定義域不一定等于集合\(A\)。9.√-自反關(guān)系的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。10.√-對稱關(guān)系的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。四、簡答題1.什么是二元關(guān)系？二元關(guān)系有哪些基本性質(zhì)？-二元關(guān)系是集合\(A\)到集合\(B\)的有序?qū)?，表示為\(R\subseteqA\timesB\)。基本性質(zhì)包括自反性（每個元素與自己相關(guān)）、對稱性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)，則\(b\)與\(a\)相關(guān)）、傳遞性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)）和反對稱性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)且\(b\)與\(a\)相關(guān)，則\(a=b\)）。2.解釋什么是關(guān)系的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的自回路，使其滿足自反性。-對稱閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的對稱有序?qū)?，使其滿足對稱性。-傳遞閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的傳遞有序?qū)?，使其滿足傳遞性。3.什么是等價關(guān)系？等價關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。-等價關(guān)系是滿足自反性、對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。性質(zhì)包括：-自反性：每個元素與自己相關(guān)。-對稱性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，則\(b\)與\(a\)相關(guān)。-傳遞性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)。-舉例：集合\(\mathbb{Z}\)上的模\(n\)等價關(guān)系\(R=\{(a,b)\mida\equivb\pmod{n}\}\)。4.什么是偏序關(guān)系？偏序關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。-偏序關(guān)系是滿足自反性、反對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。性質(zhì)包括：-自反性：每個元素與自己相關(guān)。-反對稱性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)且\(b\)與\(a\)相關(guān)，則\(a=b\)。-傳遞性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)。-舉例：集合\(\mathbb{N}\)上的小于等于關(guān)系\(R=\{(a,b)\mida\leqb\}\)。5.解釋關(guān)系的復(fù)合運算，并舉例說明。-關(guān)系的復(fù)合運算是將兩個關(guān)系組合成一個新的關(guān)系。若\(R\subseteqA\timesB\)，\(S\subseteqB\timesC\)，則\(R\circS\subseteqA\timesC\)，定義為\((a,c)\inR\circS\)當且僅當存在\(b\inB\)使得\((a,b)\inR\)且\((b,c)\inS\)。-舉例：設(shè)\(R=\{(1,2),(2,3)\}\)，\(S=\{(2,4),(3,5)\}\)，則\(R\circS=\{(1,4),(2,5)\}\)。6.什么是逆關(guān)系？逆關(guān)系與原關(guān)系的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖有何聯(lián)系？-逆關(guān)系是將原關(guān)系中的所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。若\(R\subseteqA\timesB\)，則\(R^{-1}\subseteqB\timesA\)，定義為\((b,a)\inR^{-1}\)當且僅當\((a,b)\inR\)。-關(guān)系矩陣：逆關(guān)系的關(guān)系矩陣是原關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)置。-關(guān)系圖：逆關(guān)系的關(guān)系圖是原關(guān)系圖的鏡像。7.解釋函數(shù)與關(guān)系的關(guān)系，并舉例說明哪些關(guān)系是函數(shù)。-函數(shù)是特殊的二元關(guān)系，滿足每個元素在定義域中都有唯一的值與之對應(yīng)。即對于集合\(A\)到\(B\)的函數(shù)\(f\)，每個\(a\inA\)都有唯一的\(b\inB\)使得\((a,b)\inf\)。-舉例：集合\(A=\{1,2\}\)到\(B=\{a,b\}\)的函數(shù)\(f=\{(1,a),(2,b)\}\)。8.什么是關(guān)系圖？如何根據(jù)關(guān)系矩陣繪制關(guān)系圖？-關(guān)系圖是表示二元關(guān)系的圖形工具，頂點表示集合中的元素，有向邊表示有序?qū)Α?繪制方法：-每個元素對應(yīng)一個頂點。-對于關(guān)系矩陣中的1，繪制從該行頂點到該列頂點的有向邊。9.解釋關(guān)系的閉包運算，并舉例說明如何求一個關(guān)系的閉包。-關(guān)系的閉包是在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加缺失的元素以滿足特定性質(zhì)。自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包分別滿足自反性、對稱性和傳遞性。-舉例：設(shè)\(R=\{(1,2),(2,3)\}\)在集合\(\{1,2,3\}\)上：-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}\)。-對稱閉包：添加\((2,1)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)。10.解釋關(guān)系的等價類和商集，并舉例說明。-等價類：對于集合\(A\)上的等價關(guān)系\(R\)，元素\(a\inA\)的等價類是所有與\(a\)相關(guān)的元素集合，記為\([a]_R=\{b\inA\mid(a,b)\inR\}\)。-商集：等價類的集合，記為\(A/R\)。-舉例：集合\(\{1,2,3\}\)上的模2等價關(guān)系\(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)\}\)：-等價類：\([1]_R=\{1,3\}\)，\([2]_R=\{2\}\)。-商集：\(\{\{1,3\},\{2\}\}\)。五、計算題1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)，求\(R\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,1)\}\)。-對稱閉包：添加\((2,1),(3,2)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,1)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}\)。2.設(shè)集合\(B=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(S=\{(a,b),(b,c)\}\)，求\(S\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((a,a),(b,b),(c,c)\)，得\(\{(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)\}\)。-對稱閉包：添加\((b,a),(c,b)\)，得\(\{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)\}\)。-傳遞閉包：添加\((a,c)\)，得\(\{(a,b),(b,c),(a,c)\}\)。3.設(shè)集合\(C=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(T=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\)，求\(T\)的逆關(guān)系\(T^{-1}\)。-逆關(guān)系：反轉(zhuǎn)所有有序?qū)Φ姆较?，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,1)\}\)。4.設(shè)集合\(D=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(U=\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}\)，求\(U\)的逆關(guān)系\(U^{-1}\)。-逆關(guān)系：反轉(zhuǎn)所有有序?qū)Φ姆较颍肻(\{(2,1),(3,2),(1,3)\}\)。5.設(shè)集合\(E=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(V=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,3)\}\)，求\(V\circV\)。-復(fù)合關(guān)系：計算所有可能的復(fù)合有序?qū)Γ肻(\{(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}\)。6.設(shè)集合\(F=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(W=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}\)，求\(W\circW\)。-復(fù)合關(guān)系：計算所有可能的復(fù)合有序?qū)?，得\(\{(a,c),(b,a),(c,b)\}\)。7.設(shè)集合\(G=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(X=\{(1,2),(2,3)\}\)，求\(X\)的傳遞閉包。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)。8.設(shè)集合\(H=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(Y=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\)，求\(Y\)的傳遞閉包。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\)。9.設(shè)集合\(I=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(Z=\{(1,2),(2,3),(3,2)\}\)，求\(Z\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)\}\)。-對稱閉包：添加\((2,1)\)，得\(\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,3)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(3,2),(1,3)\}\)。10.設(shè)集合\(J=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(K=\{(1,1),(2,2),(3,1)\}\)，求\(K\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：原關(guān)系已經(jīng)自反，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。-對稱閉包：原關(guān)系已經(jīng)對稱，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。-傳遞閉包：原關(guān)系已經(jīng)傳遞，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。六、證明題1.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的自反閉包就是\(R\)本身。-證明：自反關(guān)系已經(jīng)包含所有自回路，因此自反閉包就是\(R\)本身。2.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的對稱閉包就是\(R\)本身。-證明：對稱關(guān)系已經(jīng)包含所有對稱有序?qū)?，因此對稱閉包就是\(R\)本身。3.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的傳遞關(guān)系，則\(R\)的傳遞閉包就是\(R\)本身。-證明：傳遞關(guān)系已經(jīng)包含所有傳遞有序?qū)?，因此傳遞閉包就是\(R\)本身。4.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(A\)可以被\(R\)的等價類劃分。-證明：等價關(guān)系將\(A\)分成互不相交的等價類，且每個元素都屬于某個等價類，因此是劃分。5.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的偏序關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。-證明：偏序關(guān)系的反對稱性保證了任何兩個頂點之間至多有一條邊。6.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的函數(shù)，則\(R\)的定義域等于\(A\)。-證明：函數(shù)的定義域是所有輸入值的集合，因此\(R\)的定義域等于\(A\)。7.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。-證明：自反關(guān)系的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。8.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。-證明：對稱關(guān)系的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。9.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(R\)的自反閉包和對稱閉包都是\(R\)本身。-證明：等價關(guān)系已經(jīng)滿足自反性和對稱性，因此自反閉包和對稱閉包都是\(R\)本身。10.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的偏序關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。-證明：偏序關(guān)系的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。---答案與解析一、選擇題1.B-對稱性不是基本性質(zhì)，而是特定關(guān)系的性質(zhì)。2.B-關(guān)系矩陣的第1行第2列對應(yīng)\((1,2)\)，所以是1。3.A-關(guān)系圖中有0個環(huán)，因為沒有自回路。4.D-只有對稱關(guān)系才可交換，其他性質(zhì)不一定。5.B-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。6.A-\(a\equivb\pmod{3}\)是等價關(guān)系，滿足自反性、對稱性和傳遞性。7.A-\(L\)滿足自反性、反對稱性和傳遞性，是偏序關(guān)系。8.A-只有A滿足每個元素在\(B\)中有唯一對應(yīng)。9.B-自反閉包需要添加所有缺失的自回路。10.A-自反且對稱的關(guān)系是等價關(guān)系。二、填空題1.\{(a,a),(b,b),(a,b)\}-自反閉包需要添加所有缺失的自回路。2.\{(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)\}-傳遞閉包需要添加所有缺失的有序?qū)σ员３謧鬟f性。3.\{(b,a)\mida\leqb\}-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。4.\{(2,1),(3,2),(1,3)\}-逆關(guān)系將所有有序?qū)Φ姆较蚍崔D(zhuǎn)。5.自反、對稱、傳遞-滿足自反性、對稱性和傳遞性，是等價關(guān)系。6.可交換的-復(fù)合關(guān)系相同的稱為可交換。7.偏序-滿足自反性和傳遞性，是偏序關(guān)系。8.傳遞閉包-自反且傳遞的關(guān)系是傳遞閉包。9.\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\0&0\end{pmatrix}-關(guān)系矩陣的元素表示是否存在有序?qū)Α?0.對稱-滿足對稱性，但不滿足其他性質(zhì)。三、判斷題1.×-不是所有二元關(guān)系都是等價關(guān)系，只有滿足自反性、對稱性和傳遞性的關(guān)系才是等價關(guān)系。2.√-自反閉包一定包含所有自回路。3.√-對稱閉包一定包含所有缺失的對稱有序?qū)Α?.√-傳遞閉包一定包含所有缺失的傳遞有序?qū)Α?.√-復(fù)合關(guān)系是原關(guān)系的子集。6.√-等價關(guān)系將集合分成互不相交的等價類。7.√-偏序關(guān)系的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。8.×-函數(shù)的定義域不一定等于集合\(A\)。9.√-自反關(guān)系的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。10.√-對稱關(guān)系的關(guān)系矩陣是對稱矩陣。四、簡答題1.什么是二元關(guān)系？二元關(guān)系有哪些基本性質(zhì)？-二元關(guān)系是集合\(A\)到集合\(B\)的有序?qū)?，表示為\(R\subseteqA\timesB\)?；拘再|(zhì)包括自反性（每個元素與自己相關(guān)）、對稱性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)，則\(b\)與\(a\)相關(guān)）、傳遞性（若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)。2.解釋什么是關(guān)系的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的自回路。-對稱閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的對稱有序?qū)Α?傳遞閉包：在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加所有缺失的傳遞有序?qū)Α?.什么是等價關(guān)系？等價關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。-等價關(guān)系是滿足自反性、對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。性質(zhì)包括：-自反性：每個元素與自己相關(guān)。-對稱性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，則\(b\)與\(a\)相關(guān)。-傳遞性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)，\(b\)與\(c\)相關(guān)，則\(a\)與\(c\)相關(guān)。4.什么是偏序關(guān)系？偏序關(guān)系有哪些性質(zhì)？舉例說明。-偏序關(guān)系是滿足自反性、反對稱性和傳遞性的二元關(guān)系。性質(zhì)包括：-自反性：每個元素與自己相關(guān)。-反對稱性：若\(a\)與\(b\)相關(guān)且\(b\)與\(a\)相關(guān)，則\(a=b\)。5.解釋關(guān)系的閉包運算，并舉例說明如何求一個關(guān)系的閉包。-關(guān)系的閉包是在原關(guān)系的基礎(chǔ)上添加缺失的元素以滿足特定性質(zhì)。自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包分別滿足自反性、對稱性和傳遞性。五、計算題1.設(shè)集合\(A=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(R=\{(1,2),(2,3),(3,3)\}\)，求\(R\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((1,1),(2,2),(3,3)\)，得\(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。-對稱閉包：原關(guān)系已經(jīng)對稱，得\(\{(1,1),(2,2),(3,2)\}\)。-傳遞閉包：添加\((1,2)\)，得\(\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)。2.設(shè)集合\(B=\{a,b,c\}\)，二元關(guān)系\(S=\{(a,b),(b,c)\}\)，求\(S\)的自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包。-自反閉包：添加\((a,a),(b,b),(c,c)\)，得\(\{(a,a),(b,b),(c,c)\}\)。-對稱閉包：添加\((b,a)\)，得\(\{(a,b),(b,a),(b,c)\}\)。-傳遞閉包：添加\((a,c)\)，得\(\{(a,a),(b,b),(c,c)\}\)。3.設(shè)集合\(C=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(T=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)，求\(T\)的逆關(guān)系\(T^{-1}\)。-逆關(guān)系：反轉(zhuǎn)所有有序?qū)Φ姆较颍肻(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)。4.設(shè)集合\(D=\{1,2,3\}\)，二元關(guān)系\(U=\{(1,2),(2,3),(3,互不相交的子集。5.解釋關(guān)系的等價類和商集，并舉例說明。-等價類：對于集合\(A\)上的等價關(guān)系\(R\)，元素\(a\inA\)的等價類是所有與\(a\)相關(guān)的元素集合。-商集：等價類的集合，記為\(A/R\)。六、證明題1.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的自反閉包就是\(R\)本身。-證明：自反關(guān)系已經(jīng)包含所有自回路，因此自反閉包就是\(R\)本身。2.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)系，則\(R\)的對稱閉包就是\(R\)本身。-證明：對稱關(guān)系已經(jīng)包含所有對稱有序?qū)?，因此對稱閉包就是\(R\)本身。3.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的傳遞關(guān)系，則\(R\)的傳遞閉包就是\(R\)本身。-證明：傳遞關(guān)系已經(jīng)包含所有傳遞有序?qū)?，因此傳遞閉包就是\(R\)本身。4.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的等價關(guān)系，則\(A/R\)是集合\(A\)的商集。-證明：等價關(guān)系將\(A\)分成互不相交的等價類，且每個元素都屬于某個等價類，因此是劃分。5.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的偏序關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系圖中的任何兩個頂點之間至多有一條邊。-證明：偏序關(guān)系的反對稱性保證了任何兩個頂點之間至多有一條邊。6.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的函數(shù)，則\(R\)的定義域等于\(A\)。-證明：函數(shù)的定義域是所有輸入值的集合，因此\(R\)的定義域等于\(A\)。7.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的自反關(guān)系，則\(R\)的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。-證明：自反關(guān)系的關(guān)系矩陣的主對角線上的元素都是1。8.證明：若\(R\)是集合\(A\)上的對稱關(guān)