第10講點和圓的位置關系題型梳理題型梳理易錯分析易錯點一對構造隱形圓掌握不熟練致錯題型方法題型一點和圓的位置關系題型二圓的確定題型三三角形的外接圓題型四反證法知識清單知識清單知識點1.點和圓的位置關系（重點）（1）點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r②點P在圓上?d＝r①點P在圓內?d＜r（2）點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．知識點2.圓的確定條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．知識點3.三角形的外接圓（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個．知識點4.反證法（難點）易錯分析易錯分析【易錯點一】對構造隱形圓掌握不熟練致錯A．點 B．點 C．點 D．點【答案】D【分析】本題考查了點與圓的位置，矩形的性質，勾股定理，掌握點與圓的位置關系是解題的關鍵．∵以點為圓心，4為半徑作，如圖所示，連接，∴點在外，故選：D．A． B．9 C． D．【答案】B【分析】本題考查了最短路徑問題，考查了點與圓的位置關系，軸對稱圖形的性質，勾股定理，關鍵在于將所求折線轉化為兩點之間的距離．如圖，連接，如圖，作點關于的對稱點，連接交于點，交于點，故選：B．【分析】點P的運動軌跡是以BC為直徑，在矩形內的半圓，圓心在線段BC的中點處，連接圓心和點D，交半圓于點P，則此時PD最短，利用勾股定理求出OD的長，再減去OP的長即可【詳解】由題意可得：點P的運動軌跡是以BC為直徑，在矩形內的半圓，圓心在線段BC的中點處，設圓心為點O，如圖：連接OD，交半圓與點P，則此時PD最短，【點睛】本題考查了最值問題，矩形的性質，勾股定理，解題關鍵是能準確分析出點P的運動軌跡．點在以為圓心為半徑的圓上運動，當、、共線時，的值最小，如圖，題型方法題型方法【題型一】點和圓的位置關系【例1】（2425九年級下·黑龍江佳木斯·階段練習）已知圓的半徑為，點P到圓心距離為，則點P與圓的位置關系是（

）A．在圓外 B．在圓上 C．在圓內 D．無法確定【答案】C∴點P與圓的位置關系是：P在圓內．故選：C．A．點在外 B．點在上C．點在內 D．不能確定【答案】A∴點A在外故選：A【答案】外∴點A與的位置關系是點A在外，故答案為：外．【答案】點D在內，點E在外；見解析【詳解】解：點D在內，點E在外，理由如下：，分別是，的中點，點在內；點在外．【題型二】圓的確定【例2】（2425九年級下·上?！るA段練習）下列說法中正確的是（）A．經(jīng)過一個定點，以定長為半徑只能作一個圓B．經(jīng)過兩個定點，以定長為半徑只能作一個圓C．經(jīng)過三個定點，只能作一個圓D．經(jīng)過三角形的三個頂點，只能作一個圓【答案】D【分析】本題考查了確定圓的條件，掌握相關知識點是解題關鍵．根據(jù)定點和定長與圓的關系，逐項分析即可．【詳解】解：A、經(jīng)過一個定點，以定長為半徑，由于圓心不確定，即可以作無數(shù)個圓，原說法錯誤，不符合題意；B、經(jīng)過兩個定點，以定長為半徑，圓心在兩個定點所連線段的垂直平分線上，即能作0個或1個或2個圓，原說法錯誤，不符合題意；C、經(jīng)過不在同一條直線上的三個定點，只能作一個圓，原說法錯誤，不符合題意；D、經(jīng)過三角形的三個頂點，只能作一個圓，原說法正確，符合題意；故選：D．【舉一反三】【變式1】（2425九年級上·浙江溫州·階段練習）如圖是一塊被打碎的圓形玻璃，若想要去店里配到一塊與原來大小一樣的圓形玻璃，應該帶去店里的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】本題考查了確定圓的條件，根據(jù)不在一條直線上三點確定一個圓即可解得，解題的關鍵是熟練掌握圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，只要有一段弧，即可確定圓心和半徑，∴小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應該是，故選：B．【答案】2【分析】本題考查的是確定圓的條件，熟知經(jīng)過線段最小的圓即為以AB為直徑的圓是解答此題的關鍵．經(jīng)過線段最小的圓即為以為直徑的圓，求出半徑即可．故答案為：2．【答案】不能【分析】本題考查確定圓的條件，解題的關鍵是掌握：不在同一直線上的三個點確定一個圓．判斷三個點在不在一條直線上即可．故答案為：不能．【題型三】三角形的外接圓A．3 B．4 C．5 D．不確定【答案】C故選：C．A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】本題考查了三角形的外心的定義，根據(jù)三角形三邊垂直平分線相交于一點，這一點叫做它的外心，據(jù)此解答即可求解，掌握三角形的外心的定義是解題的關鍵．故選：．【分析】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握圓周角定理．【詳解】解：如圖，(2)(3)圓內【分析】（1）作線段及線段的垂直平分線，交點即為圓心D；再根據(jù)D的位置可得其坐標；（2）連接，利用勾股定理求出，再根據(jù)面積公式計算即可；（3）利用勾股定理求出的長，由此判斷即可．【詳解】（1）解：如圖，作線段及線段的垂直平分線，交點即為圓心D；（2）解：如圖，連接，【點睛】此題考查三角形外接圓的圓心的確定，勾股定理，點與圓的位置關系，圓的面積的計算，正確確定三角形外接圓的圓心是解題的關鍵．【題型四】反證法【例4】（2425九年級上·山西呂梁·期末）反證法是初中數(shù)學中的一種證明方法，在中國古代數(shù)學發(fā)展的過程中起到了促進作用，比如墨子談到“學之益也，說在誹者”，是通過證明“學習無益”的命題為假，以此才說明“學習有益”的命題為真，這就是反證法的例子．若我們用反證法證明命題“三角形中必有一個內角小于或等于”，則應先假設（

）A．三角形中沒有內角大于 B．三角形中有一個內角大于C．三角形中三個內角都大于 D．三角形中有兩個內大于【答案】C【分析】此題主要考查了反證法，根據(jù)反證法的步驟，然后進行判斷即可，解題的關鍵是掌握反證法的步驟是：（）假設結論不成立；（）從假設出發(fā)推出矛盾；（）假設不成立，則結論成立．【詳解】解：用反證法證明“三角形中必有一個內角小于或等于”時，應先假設三角形中每一個內角都不小于或等于，即都大于，故選：C．【舉一反三】【變式1】（2425九年級上·陜西渭南·期中）用反證法證明“若的半徑為，點到圓心的距離大于，則點在外”．首先應假設（

）【答案】D【分析】此題主要考查了反證法，否定命題判斷的相反判斷，從而肯定原來判斷的正確性，這種證明法稱為反證法．用反證法證明，即是假設命題的結論不成立，以命題的否定方面作為條件進行推理，得出和已知條件、公理、定義和定理等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定命題的結論成立．【詳解】原命題結論為“點在外”，其否定應為“點不在外”．因此，“點不在圓外”等價于“點在圓上或圓內”．選項中對應此否定的為選項D，故首先應假設D成立．故選：D．【變式2】（2425九年級上·河北保定·期中）用反證法證明“等腰三角形的底角是銳角”時，首先應假設【答案】等腰三角形的底角是直角或鈍角【分析】此題主要考查了反證法，根據(jù)反證法的第一步：假設結論不成立設，可以假設“等腰三角形的兩底是直角或鈍角”．【詳解】證明：根據(jù)反證法的第一步：假設結論不成立設，可以假設“等腰三角形的兩底是直角或鈍角”．故答案是：等腰三角形的兩底是直角或鈍角【變式3】（2324八年級下·福建·期末）用反證法證明“直角三角形兩銳角中至少有一個不小于”，應先假設這個直角三角形中的每一個銳角都．【答案】小于【分析】本題考查的是反證法的應用，反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發(fā)推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．根據(jù)反證法的一般步驟解答即可．【詳解】解：用反證法證明“直角三角形兩銳角中至少有一個不小于”，應先假設這個直角三角形中的每一個銳角都小于，故答案為：小于．好題必刷好題必刷一、單選題1．（2425九年級上·廣東汕頭·階段練習）圓外一點到圓的最大距離是，最小距離是，則這個圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查點與圓的位置關系，掌握圓外一點到圓的最大距離與最小距離之差為直徑為解題的關鍵．根據(jù)圓外一點到圓的最大距離與最小距離之差為直徑即可得出答案．【詳解】解：圓外一點到圓的最大距離是，最小距離是，圓的半徑是．故選：B．2．（2425九年級上·浙江杭州·期中）與圓心的距離大于半徑的點位于（）A．圓的外部 B．圓的內部 C．圓上 D．圓的外部或圓上【答案】A【詳解】解：∵點與圓心的距離大于半徑，∴點位于圓的外部；故選A．3．（2425九年級上·陜西安康·階段練習）用反證法證明命題“在三角形中，至多有一個內角是直角”時，應先假設（

）A．至少有一個內角是直角 B．沒有一個內角是直角C．至多有—個內角是直角 D．至少有兩個內角是直角【答案】D【分析】此題主要考查了反證法，反證法即假設結論的反面成立，“最多有一個”的反面為“至少有兩個”．【詳解】解：∵“最多有一個”的反面是“至少有兩個”，反證即假設原命題的逆命題正確，∴應假設：至少有兩個內角是直角．故選：D．A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】C【分析】本題考查三角形外心的定義，根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點解答即可，也是解題關鍵．【詳解】解：作線段和線段的垂直平分線，如圖，由圖可知點F是線段和線段的垂直平分線交點，故選C．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，如圖，故選：D．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題主要考查的是點與圓的位置關系、三角形的中位線定理，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．∴N是的中點．∵M是的中點，N是的中點，∴點M在以N為圓心，2為半徑的圓上．∵當點M在上時，最小，故選：A．二、填空題【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷．【點睛】本題考查了反證法的概念，理解反證法的概念是解題的關鍵．【答案】5【分析】本題考查了直角三角形的外接圓與外心，勾股定理的運用．根據(jù)三角形外心的性質可知，直角三角形的外心為斜邊中點，斜邊為直徑，先由勾股定理求出斜邊長，則可得出答案．∵直角三角形的外心為斜邊中點，故答案為：5．【答案】4【分析】本題考查了點與圓上各點的距離的最大值與最小值的含義．故答案為：4．【答案】/55度故答案為．【答案】可以【分析】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓．用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷點C是否在直線上，然后根據(jù)確定圓的條件進行判斷．即點A、B、C不在同一條直線上，所以過A、B、C這三個點能確定一個圓．故答案為：可以【詳解】連接，，，取的中點，連接，，是的中點，點在以為半徑的上運動，三、解答題∴為的直徑，【答案】【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理．根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．(1)若以點為圓心，以為半徑作，且點，，中有兩個點在內，有一個點在外，求的取值范圍；(2)若以點為圓心，以為半徑作，且點，，都在上，求的值．(2)5【分析】本題考查點和圓的位置關系及勾股定理，熟練掌握點和圓的位置關系及勾股定理是解題關鍵．（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及圓的定義，可得答案．∵是斜邊上的中線．點，，都在上，【分析】本題考查圖形與坐標、三角形外接圓、平面圖形的旋轉變換．屬于基本題型，掌握基本概念是解題關鍵．（1）根據(jù)三角形外接圓圓心是三角形三條邊中垂線的交點即可作圖及得到的坐標；（2）根據(jù)旋轉的性質可進行作圖，再根據(jù)點的位置可得的坐標；(1)以點A為圓心、為半徑作，求點B，C，D與的位置關系；