2021-2025年全國卷函數(shù)小題分類匯編★一．奇偶性與應(yīng)用12023·全國·高考真題乙卷）已知f是偶函數(shù)，則a=()A．-2B．-1C．1D．2解析：因?yàn)閒為偶函數(shù)，則f-f又因?yàn)閤不恒為0，可得ex-e(a-1)x=0，即ex=e(a-1)x，則x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2.故選：D.22023·全國·高考真題新高考2卷）若fln為偶函數(shù)，則a=().解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1)，:(1+a)ln=(-1+a)ln3，解得a=0，當(dāng)a=0時(shí)，f=xln(2x-1)(2x+1)>0，解得x或x則其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱.故此時(shí)f(x)為偶函數(shù).故選：B.32023·全國·高考真題甲卷）若f2+ax+sin為偶函數(shù)，則a=______.解析：因?yàn)閥=f2+ax+sinax+cosx為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，則故a=2，此時(shí)f(x)=(x-1)2+2x+cosx=x2+1+cosx，所以f(-x)=(-x)2+1+cos(-x)=x2+1+cosx=f)，又定義域?yàn)镽，故f(x)為偶函數(shù)，所以a=2.故答案為：2.42021年新高考1卷）已知函數(shù)f(x)=x3(a.2x-2-x)是偶函數(shù)，則a=__________.解析：因?yàn)閒(x)=x3(a.2x-2-x)，故f(-x)=-x3(a.2-x-2x)，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故f(-x)=f(x)，時(shí)x3(a.2x-2-x)=-x3(a.2-x-2x)，整理得到(a-1)(2x+2-x)=0，故a=1，故答案為：152021年全國乙卷）設(shè)函數(shù)f，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()A．f(x-1)-1B．f(x-1)+1C．f(x+1)-1D．f(x+1)+1解析：由題意可得f對于A，f不是奇函數(shù)；對于B，f是奇函數(shù)；對于C，f定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；對于D，f定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).故選：B★二．單調(diào)性與應(yīng)用12023·全國·高考真題新高考1卷）設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的解析：函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則有函數(shù)y=x在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范圍是[2,+∞).故選：D22024年新課標(biāo)全國1卷）已知函數(shù)為f(x在R上單調(diào)遞增，A．(-∞,0]解析：因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，且x≥0時(shí)，f(x)=ex+ln(x+1)單調(diào)遞增，則需滿足32023·全國·高考真題新高考2卷）已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，解析：依題可知，f,=aex在(1,2)上恒成立，顯然a>0，所以xexx>0，所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，g(x)>g(1)=e，故e，即ae-1，即a的最小值為e-1．故選：C．xlna，即在區(qū)間(0,+∞)上恒成立，故故a<1，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：下面我們看函數(shù)性質(zhì)的綜合（單調(diào)性，奇偶性，周期性）5.（2025年新高考1卷）設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)=5-2x，則f）解析：由題知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)對一切x∈R成立，于是A．f(0)=0B．當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-(x2-3)e-x-2C．f(x)≥2當(dāng)且僅當(dāng)x≥·D．x=-1是f(x)的極大值點(diǎn)解析：對A，因?yàn)閒(x)定義在R上奇函數(shù)，則f(0)=0，故A正確；2-3-x-2，故B正確；對D，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=(3-x2)e-x-2，則f,(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x，令f,(x)=0，解得x=-1或3（舍去當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，f,(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，f,(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，則x=-1是f(x)極大值點(diǎn)，故D正確；故選：ABD.★三.比較大小12021年新高考2卷）已知a=log52，b=log83，c=，則下列判斷正確的是()2583222022年全國甲卷）已知ab=cosc=4sin則()因?yàn)楫?dāng)xsinx<x，取x得cossin故b>a，所以32022年全國新高考1卷）設(shè)a=0.1e0.1,bc=-ln解析：設(shè)f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因?yàn)閒,當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，f,(x)>0，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)f,(x)<0，所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，所以f=0，所以ln0，故lnln0.9，即b>c，所以f所以ln故<e-，所以e<，故a<b，設(shè)g(x)=xex+ln(1-x)(0<x<1)，則g,ex令h(x)=ex(x2-1)+1，h,(x)=g(x)=xex+ln(1-x)單調(diào)遞增，所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c故選：C.所以b<a；下面比較c與a,b的大小關(guān)系.記f(x)=2ln(1+x)-··i1+4x+1，則f(0)=0，f,f￠(x)>0，所以f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以f(0.01)>f(0)=0，即g,由于1+4x-(1+2x)2=-4x2，在x>0時(shí)，1+4x-(1+2x)2<0，所以g,(x)<0，即函數(shù)g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以5.（2025年新高考1卷）若實(shí)數(shù)x，y，z滿足2+log2x=3+log3y=5+log5z，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是()A．x>y>zC．y>x>z解析：法一：設(shè)2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以令m=2，則x=1,y此時(shí)x>y>z，A有可能；令m=5，則x=8,y=9,z=1，此時(shí)y>x>z，C有可能；令m=8，則x=26=64,y=35=243,z=53=125，此時(shí)y>z>x，D有可能；故選：B．法二：設(shè)2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以，x=2m-2,y=3m-3,z=5m-5根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的圖象與直線x=m的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，如圖所示：易知，隨著m的變化可能出現(xiàn)：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故選：B．★四．抽象函數(shù)12021年新高考2卷）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇A．fB．f(-1)=0C．f(2)=0D．f(4)=0解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x+2)為偶函數(shù)，則f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)為奇函數(shù)，則f(1-2x)=-f(2x+1)，所以，f(1-x)=-f(x+1)，所以，f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=f(2x+1)為奇函數(shù)，則F(0)=f(1)=0，故f(-1)=-f(1)=0，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.22021年新高考2卷）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x):．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f,(x)>0；③f,(x)是奇函數(shù)．解析：取f(x)=x4，則f(x1x2)=(x1x2)4=xx=f(x1)f(x2)，滿足①,f,(x)=4x3，x>0時(shí)有f￠(x)>0，滿足②,f,(x)=4x3的定義域?yàn)镽，又f,(-x)=-4x3=-f,(x)，故f,(x)是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：f(x)=x4（答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N*)均滿足）32022年全國乙卷）已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4，則A．-21B．-22C．-23D．-24解析：因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，所以g(2-x)=g(x+2)，因?yàn)間(x)-f(x-4)=7，所以g(x+2)-f(x-2)=7，即g(x+2)=7+f(x-2)，因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5，即f(x)+f(x-2)=-2，所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10，f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10.因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f(0)=1，所以f(2)=-2-f(0)=-3.因?yàn)間(x)-f(x-4)=7，所以g(x+4)-f(x)=7，又因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5，聯(lián)立得，g(2-x)+g(x+4)=12，所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽，所以g(3)=6，因?yàn)閒(x)+g(x+2)=5，所以f(1)=5-g(3)=-1.所以.故選：D42022年全國新高考2卷）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，則A．-3B．-2C．0D．1解析方法1）賦值加性質(zhì)因?yàn)閒(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y)，即f(y)=f(-y)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y=1得，f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，從而可知f(x+2)=-f(x-1)，f(x-1)=-f(x-4)，故f(x+2)=f(x-4)，即f(x)=f(x+6)，所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6．因?yàn)閒(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1，f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2，f(4)=f(-2)=f(2)=-1，f(5)=f(-1)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，所以一個(gè)周期內(nèi)的f(1)+f(2)+…+f(6)=0．由于22除以6余4，所以=f+f+f+f=1-1-2-1=-3．故選：A．（方法2）構(gòu)造特殊函數(shù)由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy，可設(shè)f(x)=acoswx，則由方法一中f(0)=2,f(1)=1知f+f=2coscoscoscos所以f=2cosx符合條件，因此f(x)的周期T，f(0)=2,f(1)=1，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，由于22除以6余4，所以=f+f+f+f=1-1-2-1=-3．故選：A．52022年全國新高考1卷）已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f,(x)的定義域均為R，記g(x)=f,(x)，若f，g(2+x)均為偶函數(shù)，則()A．f=0B．gC．f=fD．g=g解析：對于f(x)，因?yàn)閒為偶函數(shù)，所以f即f所以f(3-x)=f(x)，所以f(x)關(guān)于x對稱，則f(-1)=f(4)，故C正確；對于g(x)，因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x)，g(4-x)=g(x)，所以g(x)關(guān)于x=2對稱，由①求導(dǎo)，和g(x)=f,(x)，得-f-g所以關(guān)于x=2對稱，從而周期T所以g=g故B正確，D錯誤；若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f(x)+C（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定f(x)的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.62021年全國甲卷）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=ax2+b．若f(0)+f(3)=6，則f解析：因?yàn)閒(x+1)是奇函數(shù)，所以f(-x+1)=-f(x+1)①；因?yàn)閒(x+2)是偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2)②.令x=1，由①得：f(0)=-f(2)=-(4a+b)，由②得：f(3)=f(1)=a+b，因?yàn)閒(0)+f(3)=6，所以-(4a+b)+a+b=6→a=-2，令x=0，由①得：f(1)=-f(1)→f(1)=0→b=2，所以f(x)=-2x2+2．-f|((),=-f(|(+2,)=-f-+2),=-f,)，所以f),=-f(|(),=．故選：D．72023·全國·高考真題新高考1卷）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，則().C．f(x)是偶函數(shù)D．x=0為f(x)的極小值點(diǎn)解析：方法一：因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+x2f(y)，對于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，則f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，對于D，不妨令f(x)=0，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)f(x)無極值，故D錯誤.方法二：因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+x2f(y)，對于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正確.對于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，則f(1)=0，故B正確.對于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，則f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，對于D，當(dāng)x2y2≠0時(shí)，對f(xy)=y2f(x)+x2f(y)兩邊同時(shí)除以x2y2，得到,故可以設(shè)ln，則f(xx≠0，當(dāng)x>0肘，f(x)=x2lnx，則f,=2xlnx+x令f,(x)<0，得0<x<e-令f￠(x)>0，得x>e-為偶函數(shù)，所以f上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，此時(shí)x=0是f(x)的極大值，故D錯誤.故選：ABC.82024年新課標(biāo)全國1卷）已知函數(shù)為f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且當(dāng)x<3時(shí)f(x)=x，則下列結(jié)論中一定正確的是()A．f(10)>100B．f(20)>1000C．f(10)<1000D．f(20)<10000解析：因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因?yàn)閒(x)>f(x-1)+f(x-2)，則f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，則依次下去可知f(20)>1000，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.★五．函數(shù)圖像D．解析：令fcosx,x則f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD；又當(dāng)x時(shí)，3x-3-x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.故選：A.22024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理函數(shù)f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在區(qū)間[-2.8,2.8]的大解析：f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x)，又函數(shù)定義域?yàn)閇-2.8,2.8]，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又fsinsin故可排除D.故選：B.★六.極值（最值）的定義與應(yīng)用12023·全國·高考真題新高考2卷）若函數(shù)f(x)=alnx++)既有極大值也有極解析：函數(shù)f(x)=alnx的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得f,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f,(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，而a≠0，ab>0，ac<0，顯然a2bc<0，即bc<0，A錯誤，BCD正確.故選：BCD22022年全國乙卷）已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2（a>0且a≠1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1<x2，則a的取值范圍是_________解析：因?yàn)閒,(x)=2lna.ax-2ex，所以方程2lna.ax-2ex=0的兩個(gè)根為x1,x2，即方程lna.ax=ex的兩個(gè)根為x1,x2，即函數(shù)y=lna.ax與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)閤1,x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在)和(x2,圖象在y=lna.ax上方當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f￠(x)>0，即y=ex圖象在y=lna.ax下方設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(x0,lna.ax0)，則切線的斜率為g,(x0)2a.ax，故切線方程為y-lna.ax=ln2a.ax(x-x0)，則有-lna.ax0=-x0ln2a.ax0，解得x則切線的斜率為ln2a.a=eln2a，因?yàn)楹瘮?shù)y=lna.ax與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，（方法2）f,(x)=2lna.ax-2ex=0的兩個(gè)根為x1,x2因?yàn)閤1,x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上遞減，在(x1,x2)上遞增，設(shè)函數(shù)g(x)=f,(x)=2(axlna-ex)，則g,(x)=2ax(lna)2-2e，若a>1，則g,(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若g,(x0)=0，則f,(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則x1>x2，不符合題意；若0<a<1，則g,(x)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若g,(x0)=0，則f,(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減，令g,(x0)=0，則ax此時(shí)若有x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且x1<x2，則需滿足f,(x0)>0，f,=2(ax0lna-ex即xx0lna>1故32022年全國甲卷）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f=alnx取得最大值-2，則f,(2)=()A．-1B．-C．D．1解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，所以依題可知，f(1)=-2，f,(1)=0，而f,，所以b=-2,a-b=0，即a=-2,b=-2，所以f,(x)=-+，因此函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減，x=1時(shí)取最大值，滿足題意，即有f故選：B.42021年新高考1卷）函數(shù)f(x)=2x-1-2lnx的最小值為___________.解析：由題設(shè)知：f(x)=|2x-1|-2lnx定義域?yàn)?0,+∞)，∴當(dāng)0<x≤時(shí)，f(x)=1-2x-2lnx，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f(x)=2x-1-2lnx，有f,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=2x-1-2lnx，有f,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；又f(x)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：0<x≤1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；∴f(x)≥f(1)=1故答案為：1.52021年全國乙卷）設(shè)a≠0，若a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn)，則()解析：若a=b，則f(x)=a(x-a)3為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故a≠b.:f(x)有a和b兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在x=a左右附近是不變號，在x=b左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)f(x)=a(x-a)(x-b)的極大值點(diǎn)，:在x=a左右附近都是小于零的.當(dāng)a<0時(shí)，由x>b，f(x)≤0，畫出f(x)的圖象如下圖所示：由圖可知b<a，a<0，故ab>a2.當(dāng)a>0時(shí)，由x>b時(shí)，f(x)>0，畫出f(x)的圖象如下圖所示：由圖可知b>a，a>0，故ab>a2.綜上所述，ab>a2成立.故選：D6.（2025年新高考2卷）若x=2是函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的極值點(diǎn)，則f(0)=______解析：由題意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)，所以f,(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2)，因?yàn)?是函數(shù)f(x)極值點(diǎn)，所以f,(2)=2-a=0，得a=2，當(dāng)a=2時(shí)，f,(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4)，當(dāng)xf,>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xf,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，),f,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，所以x=2是函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的極小值點(diǎn)，符合題意；所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4.故答案為：-4.★七.零點(diǎn)與恒成立12024年新課標(biāo)全國2卷）設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，則a=()解析：令f(x)=g(x)，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，令+a-1,G(x)=cosx，原題意等價(jià)于當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到F(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得F(0)=G(0)，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F(x)=G(x)，可得2x2+1-cosx=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立，則方程2x2+1-cosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以a=2符合題意；綜上所述：a=2.22024年新課標(biāo)全國2卷）設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，則a2+b2的最小解析：由題意可知：f(x)的定義域?yàn)?-b,+∞)，令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得故1-b+a=0，則a2+b2=a2+(a當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)，等號成立，所以a2+b2的最小值為.故選：C.★八.三次函數(shù)12022年全國新高考1卷）已知函數(shù)f(x)=x3-x+1，則()A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D．直線y=2x是曲線y=f(x)的切線解析：由題，f,(x)=3x2-1，令f￠(x)>0得x>或x<-，令f,(x)<0得-<x<，所以f(x)在，上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，所以x是極值點(diǎn)，故A正確；因f，f(-2)=-5<0，所以，函數(shù)f上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x≥時(shí)，f≥f即函數(shù)f(x)在 上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯誤；令h(x)=x3-x，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x)，則h(x)是奇函數(shù)，(0,0)是h(x)的對稱中心，將h(x)的圖象向上移動一個(gè)單位得到f(x)的圖象，所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確；令f,(x)=3x2-1=2，可得x=±1，又f(1)=f(-1)=1，當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x-1，當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時(shí)，切線方程為y=2x+3，故D故選：AC.22024年新課標(biāo)全國2卷）設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1，則()A．當(dāng)a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f(x)的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得x=b為曲線y=f(x)的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心故f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上單調(diào)遞增，x∈(0,a)時(shí)，f,(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)在x=0處取到極大值，在x=a處取到極小值，由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，則f(0)f(a)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理f(x)在(0,a)上有一個(gè)零點(diǎn)，又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，則f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0，則f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，f,(x)=6x(x-a)，af(x)單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的a,b，使得x=b為f(x)的對稱軸，即存在這樣的a,b使得f(x)=f(2b-x)，即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b-x)3展開式含有x3的項(xiàng)為2C(2b)0(-x)3=-2x3，于是等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的a,b，使得x=b為f(x)的對稱軸，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡f(1)=3-3a，若存在這樣的a，使得(1,3-3a)為f(x)的對稱中心，則f(x)+f(2-x)=6-6a，事實(shí)上，f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a即{12a-24=0，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，f(x)=2x3-3ax2+1，f,(x)=6x2-6ax，f,,(x)=12x-6a，由題意(1,f(1))也是對稱中心，故a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的對稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD3.（2024年新課標(biāo)全國1卷）設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4)，則()A．x=3是f(x)的極小值點(diǎn)B．當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(x2)C．當(dāng)1<x<2時(shí)，-4<f(2x-1)<0D．當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(2-x)>f(x)函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，正確；而由上可知，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(x2)，錯誤；對C，當(dāng)1<x<2時(shí)，1<2x-1<3，而由上可知，函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以f(1)>f(2x-1)>f(3)，即-4<f(2x-1)<0，正確；對D，當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0，所以f(2-x)>f(x)，正確；故選：ACD.★九.切線問題12021年全國甲卷）曲線y在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為__________.解析：由題，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-3，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：y所以y,|x=-1=5．故切線方程為5x-y+2=0．故答案為：5x-y+2=0．22024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理設(shè)函數(shù)f則曲線y=f在(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為() 解析則f即該切線方程為y-1=3x，即y=3x+1，令x=0，則y=1，令y=0，則x故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積13-13-=.故選：A.32024年新課標(biāo)全國1卷）若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則a=_________解析：由y=ex+x得y,=ex+1，y,|x=0=e0+1=2，故曲線y=ex+x在(0,1)處的切線方程為y=2x+1；由y=ln(x+1)+a得y，設(shè)切線與曲線y=ln(x+1)+a相切的切點(diǎn)為x0,ln(x0+1)+a)，由兩曲線有公切線得y，解得x則切點(diǎn)為切線方程為ya+lnx+1+a-ln2，根據(jù)兩切線重合,所以a-ln2=0，解得a=ln2.故答案為：ln24.（2022新