18.4整數(shù)指數(shù)冪R·八年級(jí)上冊(cè)第1課時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪學(xué)習(xí)目標(biāo)知道負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義及基本性質(zhì).能運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)推導(dǎo)整數(shù)指數(shù)冪的意義.復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題1你還記得正整數(shù)指數(shù)冪的意義嗎？正整數(shù)指數(shù)冪有哪些運(yùn)算性質(zhì)？正整數(shù)指數(shù)冪：當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，an=a·a·…·a.n個(gè)正整數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)(m，n是正整數(shù))(2)(m，n是正整數(shù))(3)(n是正整數(shù))(4)(a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n)(5)(n是正整數(shù))此外，還學(xué)過0指數(shù)冪，即a0=1(a≠0)如果指數(shù)是負(fù)整數(shù)該如何計(jì)算呢？問題2你能使用兩種不同的方法計(jì)算a5÷a3嗎？a5÷a3

=a5–3=a2

分式的約分am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n)設(shè)想導(dǎo)入溯源——冪的符號(hào)的演變3世紀(jì)丟番圖Δγ，Kγ，ΔγΔAq，Acu，Aqq韋達(dá)(Vietè)16世紀(jì)17世紀(jì)哈里奧特(Harriot)aa，aaa，aaaaa2，a3，a4笛卡爾1637年an簡明利于運(yùn)算有助于冪的運(yùn)算的推廣知識(shí)點(diǎn)1負(fù)整數(shù)指數(shù)冪你認(rèn)為牛頓的這個(gè)設(shè)想合理嗎？思考因?yàn)閿?shù)學(xué)家將aa，aaa，aaaa，···寫成a2，a3，a4，···，所以我將

，，，···寫成a-1，a-2，a-3，···.如果am

中的m

可以是負(fù)整數(shù)，那么負(fù)整數(shù)指數(shù)冪am

表示什么？探究新知你能使用兩種不同的方法計(jì)算a3÷a5嗎？a3÷a5

=a3–5=a–2

分式的約分am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n)一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，這就是說，a–n

(a

≠0)是an的倒數(shù).

數(shù)學(xué)中規(guī)定：試說說當(dāng)m分別是正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)時(shí)，am各表示什么意義？當(dāng)m是正整數(shù)時(shí)，am表示m個(gè)a相乘；當(dāng)m是0時(shí)，am即為a0，值為1；當(dāng)m是負(fù)整數(shù)時(shí)，am即為a–m的倒數(shù).歸納如無特別說明，本套書中涉及的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)均不為0.引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就擴(kuò)充到全體整數(shù).練習(xí)6–2=____；–2–2=____；(–2)–3=____；=______；=______；b–4=_____(b

≠0).填空：27知識(shí)點(diǎn)2整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)能否推廣到m，n

是任意整數(shù)的情形？思考①

am·an=am+n

(m，n是正整數(shù))②(am)n=amn

(m，n是正整數(shù))③(ab)n=anbn

(n是正整數(shù))④am÷an=am–n(a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n)⑤(n是正整數(shù))例如：a3·a–5

a–3·a–5

a0·a–5

=a–2

=a3+(–5)

=a–8

=a(–3)+(–5)

=a–5=a0+(–5)

am·an=am+n(1)當(dāng)m，n分別為正整數(shù)和負(fù)整數(shù)時(shí)，(2)當(dāng)m，n均為負(fù)整數(shù)時(shí)，(3)當(dāng)m，n分別為零和負(fù)整數(shù)時(shí)，對(duì)于m，n是任意整數(shù)的情形仍然適用.探究類似地，用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪或0指數(shù)冪對(duì)其他四個(gè)正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行嘗試.例如：(a–3)2

=a–6

=a(–3)×2

(ab)–3=a–3·a–3

a–2÷a–4

=a2

=a(–2)–(–4)

即，整數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算性質(zhì)：①

am·an=am+n

(m，n是整數(shù))②(am)n=amn

(m，n是整數(shù))③(ab)n=anbn

(n是整數(shù))④am÷an=am–n(a≠0，m，n是整數(shù))⑤(n是整數(shù))歸納

例1

計(jì)算：(1)a–2÷a5；

(3)(a–1b2)3；

(4)a–2b2·(a2b–2)–3.

解：(1)a–2÷a5=a–2–5=a–7(3)(a–1b2)3=a–3b6(4)a–2b2·(a2b–2)–3=a–2b2·a–6b6=a–8b8整式指數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)果一般用正整數(shù)指數(shù)冪來表示.由于負(fù)整數(shù)指數(shù)的出現(xiàn)，使得：方法am÷an=am·a–n=am–n除法乘法轉(zhuǎn)化同底數(shù)冪的：商的乘方積的乘方轉(zhuǎn)化于是，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以歸結(jié)為：(1)am·an=am+n

(m，n是整數(shù))(2)

(am)n=amn

(m，n是整數(shù))(3)

(ab)n=anbn

(n是整數(shù))練習(xí)計(jì)算：(1)(3x2y–2)–3；(3)(8a2bc–1)÷(–2a–5b2c–4)；

(4)3m–2n3·(4m–5n2)2.

解：(1)原式=3–3x–6y6(2)原式=(2p4)–3·(q–7)–3=2–3p–12·q21(3)原式=(8a2bc–1)·(–2a–5b2c–4)–1=(8a2bc–1)·(–2)–1a5b–2c4(4)原式=3m–2n3·16m–10n4

隨堂練習(xí)1.填空：【教材P161練習(xí)第1題】（1）30=____，3–2=____；（2）(–3)0

=____，(–3)–2=____；（3）b0

=____，b–2

=____.1112.計(jì)算：【教材P161練習(xí)第2題】(1)x2y–3·(x–1y)3；(2)(2ab2c–3)÷(a–2b)3.

解：(1)原式=x2y–3·x–3y3(2)原式=(2ab2c–3)·(a–2b)–3=2ab2c–3·a6b–3=x–1y0=2a7b–1c–33.已知a=2–55，b=3–44，c=4–33，d=5–22，則這四個(gè)數(shù)從小到大排列的順序是___________.解析：因?yàn)閍=2–55=(2–5)11b=3–44=(3–4)11c=4–33=(4–3)11d=5–22=(5–2)11而b<c<a<d4.計(jì)算：解：原式=1–4+1–25=–275.已知，求7–2x

的值.解：由已知條件得：(2–1)2x–1·2x+2=16.所以2–2x+1·2x+2=16.所以2–2x+1+x+2=16.即2–x+3=24.所以–x+3=4，即x=–1.所以7–2x=7–2×(–