15.3等腰三角形15.3.2等邊三角形（第1課時）人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

圖片中有你熟悉的數(shù)學(xué)圖形嗎？你能說出此圖形的名稱嗎？

導(dǎo)入新知素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.2.探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．3.能運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進行計算和證明．小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條，長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設(shè)計出幾種形狀的三角形？等邊三角形的性質(zhì)探究新知知識點110cm6cm10cm10cm10cm10cm等腰三角形等邊三角形一般三角形在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.探究新知名稱圖形定義性質(zhì)

判定等腰三角形等邊對等角三線合一等角對等邊兩邊相等兩腰相等軸對稱圖形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形探究新知ABCABC等邊三角形的三個角之間有什么關(guān)系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等邊三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C內(nèi)角和為180°=60°探究新知問題1：結(jié)論：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60°.已知：AB=AC=BC，

求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等邊對等角)

同理

∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.探究新知ABCABCABC等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對稱軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線、高和所對角的平分線都“三線合一”.底邊上的中線、底邊上的高、頂角平分線三線合一一條對稱軸三條對稱軸探究新知問題2：圖形等腰三角形

性質(zhì)

每條邊上的中線、高和這條邊所對的角的平分線互相重合三個角都相等，對稱軸（3條）等邊三角形對稱軸（1條）兩個底角相等底邊上的中線、高和頂角平分線重合且都是60o兩條邊相等三條邊都相等探究新知歸納總結(jié)例1如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.探究新知等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用素養(yǎng)考點探究新知解決與等邊三角形有關(guān)的計算問題，關(guān)鍵是注意“每個角都是60°”這一隱含條件，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)解答.方法點撥如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到點E，使得CE=CD．求證：BD=DE．證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角對等邊）．鞏固練習(xí)例2△ABC為等邊三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于點Q，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.探究新知探究新知方法點撥

此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般先利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在BC，AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度數(shù)．鞏固練習(xí)（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°.又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．圖形等腰三角形判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？等邊三角形的判定方法：

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.探究新知等邊三角形的判定知識點2根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是鞏固練習(xí)例1

如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB,AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.探究新知等邊三角形的判定的應(yīng)用素養(yǎng)考點證明：∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED.∴

∠A=∠ADE=∠AED.∴

△ADE是等邊三角形.

若點D,E在邊AB,AC的延長線上，且DE∥BC，結(jié)論還成立嗎？ADEBC鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練若點D,E在邊AB,AC的反向延長線上，且DE∥BC，結(jié)論依然成立嗎？證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等邊三角形．ADEBC鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE,△ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°.∵AD=AE,∴∠ADE=

∠AED=

60°.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.鞏固練習(xí)變式訓(xùn)練例2在等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．解：△APQ為等邊三角形．證明如下：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等邊三角形．探究新知探究新知方法點撥

判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個角等于60°.證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴DF=ED=EF.∴△DEF是等邊三角形．如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．鞏固練習(xí)如圖,直線l∥m,等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l,m上,若∠ABE=21°,則∠ACD的度數(shù)是()A.45°B.39°C.29°D.21°鏈接中考B2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（）A.4個

B.5個C.6個

D.7個DACBDEO1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B基礎(chǔ)鞏固題課堂檢測3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°

B．15°C．20°

D．25°4.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長是

cm.ACBDE12B課堂檢測5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于點F．求證：△AEF≌△BEC．證明：∵△ABD是等邊三角形，∴∠DAB=60°.∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°–90°–30°=60°.∴∠FAE=∠EBC．∵E為AB的中點，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．課堂檢測如圖，A,O,D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.解：∵△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形.∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A,O,D三點共線，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA

≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.設(shè)OB與EA相交于點F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.CBODAEF能力提升題課堂檢測圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與