高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市通州區(qū)、如東縣2地2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，.故選：B2.拋物線y2＝－12x的準(zhǔn)線方程是A.x＝－3 B.x＝3 C.y＝3 D.y＝－3【答案】B【解析】根據(jù)題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=﹣12x，其焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且p=6，則其準(zhǔn)線方程為x=3；故選B．3.若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.且 C. D.【答案】D【解析】，即，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，解得.故選：.4.方程的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)，可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于，結(jié)合雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，，則，，所以，，故方程為：，故選：A.5.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓的圓心為，半徑為.所以圓的半徑為，設(shè)圓心為，則，解得，所以圓的方程為.故選：A6.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可得，解得，所以兩直線分別為，，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.7.若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為定值，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，要使弦長(zhǎng)為定值，則需圓心到直線的距離為定值，即為定值，所以.故選：C8.設(shè)為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線對(duì)應(yīng)，，設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，由于，所以，而B選項(xiàng)中，點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)中，點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.A選項(xiàng)，點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，所以，則直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，所以方程組無(wú)解，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，點(diǎn)，對(duì)應(yīng)，所以，則直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，所以D選項(xiàng)正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.直線在軸上的截距為-2C.直線過(guò)定點(diǎn)D.三條直線交于同一點(diǎn)【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由直線，令，解得，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由得，由，解得，所以定點(diǎn)為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由解得，，所以三條直線過(guò)同一點(diǎn)-2,3，D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知圓與圓，則（）A.過(guò)點(diǎn)作圓的切線只有條，則B.若圓與圓有且只有條公切線，則C.當(dāng)時(shí)，兩圓的一條公切線方程為D.當(dāng)時(shí)，兩圓的公共弦長(zhǎng)為【答案】AC【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為，圓的圓心為，半徑為，對(duì)于A選項(xiàng)，若點(diǎn)作圓切線只有條，則圓心的圓心在圓上，則有，因?yàn)?，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若圓與圓有且只有條公切線，則兩圓相交，且，由題意可得，即，因?yàn)?，解得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，圓的方程為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，故當(dāng)時(shí)，兩圓的一條公切線方程為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由B選項(xiàng)可知，兩圓相交，將兩圓方程作差可得，此時(shí)，兩圓的相交弦所在直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長(zhǎng)為，D錯(cuò).故選：AC.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論正確是（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.直線與曲線有3個(gè)公共點(diǎn)C.點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是 D.的最大值為【答案】ABD【解析】依題意，曲線，點(diǎn)都滿足方程，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)正確.由消去并化簡(jiǎn)得，解得或，所以直線與曲線有3個(gè)公共點(diǎn)，B選項(xiàng)正確.由整理得，令，則有非負(fù)根，而其對(duì)稱軸，所以，，解得，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.令，則，代入，化簡(jiǎn)得，由于的開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，由解得（負(fù)根舍去），所以的最大值為，所以的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則k的值為___________.【答案】2【解析】依題意，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上則且解之得，（舍）故答案為：13.已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為______.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，，根據(jù)拋物線的定義可知，的最小值是到拋物線準(zhǔn)線的距離，即的最小值是，所以周長(zhǎng)的最小值為.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，定義為“曼哈頓距離”.若，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為______，若橢圓上有且僅有8個(gè)點(diǎn)滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是______【答案】【解析】設(shè)Px,y，則，若，則；若，則；若，則；若，則，由此畫出點(diǎn)的軌跡如下圖所示（正方形），由圖可知點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.橢圓，對(duì)應(yīng)，，要使橢圓上有且僅有8個(gè)點(diǎn)滿足，根據(jù)對(duì)稱性，由方程組有兩個(gè)解，且，所以，整理得，，解得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知橢圓的焦點(diǎn)為，且該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為上一點(diǎn)，且，求的面積.解：（1）依題意，設(shè)橢圓方程為，所以，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由于，，根據(jù)拋物線的定義有：，整理得，所以的面積為.16.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn).（1）求圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交圓于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（1）圓的圓心為，半徑，直線的方程是，所以圓的圓心可設(shè)為，則，則，半徑，所以圓的方程為.（2）由，令，解得，，所以直線符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由于，所以到直線的距離為，所以，解得，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.17.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為.（1）若直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）若雙曲線上存在兩點(diǎn)，，滿足，求直線的斜率.解：（1）由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，所以.（2）依題意，雙曲線上存在兩點(diǎn)，，滿足，設(shè)直線與雙曲線另一個(gè)交點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性可知，雙曲線對(duì)應(yīng)，則，依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，則，即.設(shè)，則①，②，由得，所以③，由①③解得，代入②得：，由于，所以，整理得，解得.18.若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)軌跡上一點(diǎn)作直線交軸正半軸于點(diǎn)，且.若直線，直線與軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）依題意可知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以的軌跡是拋物線，且，所以軌跡的方程為.（2）設(shè)，則，由于在軸的正半軸，所以，則，，設(shè)，的方程為，由，消去得，，由，，解得，則，所以直線的方程為，整理得，所以直線過(guò)定點(diǎn)0,1.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．（1）求的方程；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線（異于軸）與交于點(diǎn)P，Q，過(guò)左焦點(diǎn)作直線PQ的垂線交圓于點(diǎn)M，N，垂足為.①若點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為，證明：為定值；②記的面積分別為，求的取值范