高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省2025屆高三下學(xué)期第三次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A=0,1,2，B=x∈Nx2A．A=B B．A?B C．A∩B=C D．A∪B=C【答案】C【解析】集合A=0,1,2，B=x∈N則B=C，B,C都是A的真子集，故A∩B=C，故C正確，ABD均錯誤.故選：C.2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z1+i2025=-2+i（iA．32 B．32i C．-【答案】A【解析】計算z=-2+i1+故選：A3．已知事件A，B是相互獨立事件，且PA=23，PBA．112 B．12 C．512【答案】A【解析】因為事件A，B是相互獨立事件，所以事件A，B也是相互獨立事件，又PA=23，PB所以PA故選：A4．在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若3bsinC=2ccos2BA．π6 B．π3 C．2π【答案】B【解析】因為3bsinC=2c又C∈0,π，sinC≠0，則3又B∈0,π，則B2∈0,π2，所以cos故選：B.5．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，底面半徑為2，該圓錐PO側(cè)面展開圖的圓心角為41313π，則圓錐POA．4133π B．4π C．【答案】B【解析】設(shè)PO=h>0，則母線l=h2+4，所以故所求為13故選：B.6．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，A為雙曲線CA．23 B．32 C．3 D【答案】C【解析】由題意2c=33，AF1=3，所以2a=6-3=3，所以e=2c故選：C.7．若P是△ABC所在平面內(nèi)一點，則“PA-PB=PA+PB-2PC”是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由PA-PB=PA+兩邊平方并化簡得CA?CB=0，則CA由于以上每一步變形都是等價的，故PA-PB=而CB⊥CA是△ABC為直角三角形的充分不必要條件，“PA-PB=PA+PB-2PC”故選：A.8．已知y=fx是定義在1,+∞上連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為y=f'x，若xf'A．1,3 B．3,e2 C．1,e【答案】D【解析】令gx=f因為xf'x<fx則gx=f又f3=6，由flnx>2解得e<x<故選：D.二、多選題9．將函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向右平移π6個單位長度，得到函數(shù)y=fA．fx=sin2x-πC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點5π12,0中心對稱 D．函數(shù)【答案】ABD【解析】將函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向右平移π6個單位長度，得到函數(shù)f對于選項B，因為fx的最小正周期為T=2π對于選項C，因為f5π12=sin2×5π12對于選項D，由-π2+2k所以fx的增區(qū)間為-π12+kπ又0,5π12故選：ABD.10．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1-c,0，F(xiàn)2c,0，F(xiàn)1F2=2，離心率為12，直線l過點F2A．橢圓C的方程為xB．△MNF1C．定點P的坐標(biāo)為PD．當(dāng)MN⊥x軸時，△PMN的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為1+3【答案】ACD【解析】對于A選項，已知|F1F2|=2c=2，可得c=1.又離心率e=ca=12，則a=2.對于B選項，△MNF1周長為(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|N對于C選項，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(t,0)，M(x根據(jù)題意,設(shè)l方程x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立得(4+3m2)y2因為△PMN內(nèi)心在x軸上，所以∠MPF2=∠NP即y1x1經(jīng)化簡得2my1y2+(1-t)(y1故C正確.對于D選項，MN⊥x軸時，直線MN方程x=1，代入橢圓方程得y=±3設(shè)內(nèi)切圓圓心(n,0)，不妨設(shè)直線MP:x+2y-4=0，根據(jù)點到直線距離公式|n-4|5=n-1，解得n=1+354故選：ACD.11．若函數(shù)fx滿足：對任意x,y∈R，恒有fx+y+fx-y=2fxfy，則稱函數(shù)fx為“類余弦型”函數(shù).已知函數(shù)fx為“類余弦型A．fB．若f2=C．函數(shù)fxD．若有理數(shù)x1，x2滿足x【答案】ACD【解析】對于選項A，令x=1,y=0，得到f1又因為對任意非零實數(shù)x，fx>1，所以f0對于選項B，令x=y=1，得f2+f0=2f1又f2=178，fx對于選項C，令x=0，得到fy+f-y=2f0fy對于選項D，因為x≠0時，fx>1，則fx+y令y=kxk∈N*，即對任意的正整數(shù)k則fk+1所以，對于任意正整數(shù)k，fk+1對任意的m、n∈N*且m>n，則有∵x1、x2為有理數(shù)，所以可設(shè)x1=q1p1，x2=q2令x=1p1p2，t=q1∵x1<x2，∴t<s由選項C知，函數(shù)y=fx為偶函數(shù)，∴fx1=fx1，故選：ACD.三、填空題12．已知函數(shù)fx=lnx-2x-x【答案】2x-y-5=0【解析】由題意，點(1,-3)是切點，f'則k切故曲線y=fx在點1,-3處的切線方程為：y-(-3)=2(x-1)，即2x-y-5=0故答案為：2x-y-5=0.13．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是正三角形，D為AC的中點，點E在棱CC1上，且CE=2EC1，若【答案】5【解析】如圖，取AB,A1B1的中點F,G，因為AA1⊥所以AA因為三角形ABC是等邊三角形，點F是AB中點，所以FB⊥FC，所以FB,FC,FG兩兩互相垂直，以點F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)B,FC,FG所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為CE=2EC1，AB=2，AA1=3所以B1,0,0所以A1設(shè)平面BDE的法向量為n=所以DB?n=32所以可取n=點A1到平面BDE的距離為A故答案為：5.14．某無人機愛好者在2025年春節(jié)，設(shè)計了利用紅、橙、黃、綠、紫五種顏色的無人機群呈現(xiàn)如圖的方形陣，方形陣分為A,B,C,D,E,F六個區(qū)域，呈現(xiàn)要求是：同一區(qū)域為相同顏色的無人機群，且相鄰區(qū)域的無人機群顏色不能相同，B區(qū)域必須是紅色無人機群，則不同的呈現(xiàn)方式共有種.【答案】156【解析】先給C區(qū)域選，有C41=4種選法，再給D①若E區(qū)域和C區(qū)域無人機顏色相同，且F區(qū)域和D區(qū)域無人機顏色相同，則A區(qū)域有C3若E區(qū)域和C區(qū)域無人機顏色相同，且F區(qū)域和D區(qū)域無人機顏色不相同，則F有C21=2種選法，A所以E區(qū)域和C區(qū)域無人機顏色相同時，共有C4②若E區(qū)域和C區(qū)域無人機顏色不相同，且F區(qū)域和D區(qū)域無人機顏色相同，則E區(qū)域有C21=2種，A若E區(qū)域和C區(qū)域無人機顏色不相同，且F區(qū)域和D區(qū)域無人機顏色不相同，則E區(qū)域有C21=2種，F(xiàn)和A所以E區(qū)域和C區(qū)域無人機顏色不相同時，共有C4因此，不同的呈現(xiàn)方式共有84+72=156種，故答案為：156.四、解答題15．我國新能源汽車的卓越性能贏得全球人民的信賴，某品牌新能源汽車憑借科研創(chuàng)新、廣告宣傳和可靠售后保障，在全球贏得了很好的營銷局面.下表為2017年—2024年（年份代碼分別記為：1，2，3，4，5，6，7，8）該品牌新能源汽車的科研經(jīng)費投入和全球市場規(guī)模統(tǒng)計.年份代碼i12345678科研經(jīng)費xi2361013151821市場規(guī)模yi1122.53.53.54.56參考數(shù)據(jù)：8∑i=1xiyi=347參考公式：相關(guān)系數(shù)r=n（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，并計算樣本相關(guān)系數(shù)，推斷它們的線性相關(guān)程度（結(jié)果精確到0.01，當(dāng)r越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當(dāng)r越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱）；（2）已知在國內(nèi)，新能源車主購買的新能源汽車為該品牌新能源汽車的概率為p（p∈0,1），從國內(nèi)新能源車主中隨機抽取5人，記這5人中選擇購買該品牌的人數(shù)為隨機變量X，若PX=5=P解：（1）x=y=然后計算8∑將8∑i=1xiyi=3478∑接著計算8∑i=1(xi-x8∑再計算8∑i=1(yi-y8∑最后計算相關(guān)系數(shù)r：根據(jù)公式r=8∑i=18∑i=1(r=83340×21=由于|r|≈0.98接近1，所以兩個變量線性相關(guān)且線性相關(guān)程度很強.（2）已知隨機變量X~B(5,p)（因為從國內(nèi)新能源車主中隨機抽取5人，每個人購買該品牌汽車的概率為p，符合二項分布的定義），根據(jù)二項分布的概率公式P(X=k)=CnkC55p5(1-p)0=解方程p=5-5p，得p=5再根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式E(X)=np和方差公式D(X)=np(1-p)，將n=5，p=56代入可得：E(X)=5×516．在如圖所示的多面體ABC-EFD中，已知四邊形ACDE為菱形，其對角線AD和CE相交于H點，G是棱BD的中點，EF//AB，且EF=1（1）求證：FG//平面ACDE；（2）若AB⊥平面ACDE，AB=AC=AD=2，求平面ABC與平面BFD所成角的余弦值.（1）證明：因為四邊形ACDE為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相平分，所以H為AD的中點.又因為G為線段BD的中點，在△ABD中，根據(jù)三角形中位線定理可得HG//AB，且HG=1已知EF//AB且EF=12AB，所以EF//HG且EF=HG.可知四邊形由于平行四邊形的對邊平行，所以FG//EH.又因為FG?平面ACDE，EH?平面ACDE，所以FG//平面ACDE（2）解：在菱形ACDE中，因為AC=AD，且菱形的鄰邊相等，所以△ACD和△ADE都是正三角形.取ED的中點為K，連接AK，根據(jù)正三角形三線合一的性質(zhì),可得AK⊥ED，又因為AC//ED，所以AK⊥AC.又因為AB⊥平面ACDE，AC,AK?平面ACDE，所以AB⊥AC，AB⊥AK，即AB,AC,AK兩兩垂直.以A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AC,AK為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知AB=AC=AD=2，則可得B(2,0,0)，D(0,1,3)，因為AB⊥AC，AB⊥AK，AC⊥AK，所以平面ABC的法向量可取為m=(0,0,1)又BF=(1-2,-1-0,3-0)=(-1,-1,設(shè)平面BFD的法向量為n=(x,y,z)，則由n由-x+2y=0可得x=2y，取y=1，則x=2，將x=2，y=1代入-x-y+3z=0，可得-2-1+3z=0，解得設(shè)平面ABC與平面BFD所成角為α，根據(jù)向量的夾角公式，cosα=|cos17．已知函數(shù)fx=x-22（1）當(dāng)a=4時，討論函數(shù)fx（2）若x0是函數(shù)gx=f（1）解：當(dāng)a=4時，fx易知x>0，又f'由f'x>0，得到0<x<1或x>2，由f所以函數(shù)fx的增區(qū)間為0,1，2,+∞，減區(qū)間為（2）證明：因為gx易知gx的定義域0,+∞，則令g'x=0，得到2x2當(dāng)Δ=16-8a≤0，即a≥2時，ux=2x此時，gx在0,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)Δ=16-8a>0，即a<2，當(dāng)a≤0時，u0≤0，此時g'x=0當(dāng)x∈0,x3時，g'x則0<a<2，則u0>0，所以2x2-4x+a=0當(dāng)x∈0,x1時，g'x>0，當(dāng)x∈所以x=x1是gx的極大值點，由題知x要證gx0>x0，即證x令hx=x-2令mx=-4x-1易知m'x=-4lnx+所以mx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則m所以hx=x-22-所以x0-22+aln18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點Px,y（y≥0）到點F0,1的距離與到x軸的距離之差等于1，記動點P的軌跡為（1）求軌跡Γ的方程；（2）過直線l：x-2y-2=0上一點Q作軌跡Γ的兩條切線，切點分別為A，B.證明：直線AB過定點，并求出定點坐標(biāo)；（3）過點R0,4的動直線l'與軌跡Γ交于C，D兩點，直線CF交軌跡Γ于另一點E，記△CDE，△CFR的面積分別為S1，S2解：（1）根據(jù)兩點距離公式，點Px,y到點F0,1的距離為點P到x軸的距離為y，因為y≥0，所以y=y根據(jù)條件可得：x-02則x2+y-1所以軌跡Γ的方程為x2（2）因為點Q在直線l:x-2y-2=0上，設(shè)Qx0,設(shè)Ax1,則在點A處的切線方程為：y-y1=所以切線方程可化為：y=1因為點Q在切線上，所以y0=同理，在點B處的切線方程為：y=1因為點Q在切線上，所以y0=由①②可知x1,x2是方程yΔ=根據(jù)韋達定理：x1直線AB的方程為y-y又y2所以y2則直線AB的方程為y-1展開得y=1將x1+x再把x0=2y令x-1=0x=y，解得x=1y=1，所以直線AB過定點（3）設(shè)Cx3,y3聯(lián)立方程組y=kx+4x2=4y則Δ=則x3直線CF的方程為y=y聯(lián)立方程組y=y3-1因為x3是該方程的一個根，設(shè)另一根為x則x3x5點D到直線CF的距離為：d=y3-1又△CDE的面積S1=12CE則S1又CE=所以：S=====9當(dāng)且僅當(dāng)x3=±22時等號成立，所以19．已知an是等差數(shù)列，且a2=3，a3+a5=14，數(shù)列bn（1）當(dāng)λ=1時，求數(shù)列an與數(shù)列b（2）在（1）的條件下，設(shè)數(shù)列cn的前n項和為Tn，已知cn（3）當(dāng)λ=-43時，若數(shù)列dn滿足d1=μ（μ>0），且dn+1-dn=-μ2（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，已知aa1+d=3a由a1+d=3可得a1=3-d，將其代入解得d=2.把d=2代入a1=3-d得