1.2集合間的基本關(guān)系一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：集合間包含與相等的含義，用集合語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)內(nèi)容.難點(diǎn)：對(duì)相似概念及符號(hào)的理解，例如區(qū)別元素與集合、屬于與包含等概念及其符號(hào)表示.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議本節(jié)的主要內(nèi)容是在引入集合后，研究集合間的基本關(guān)系.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握集合之間的包含關(guān)系與相等關(guān)系，能識(shí)別給定集合的子集，了解空集的含義，初步學(xué)會(huì)用三種語(yǔ)言（自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）表達(dá)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)換.引入集合之后，本節(jié)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生思考“如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象”，包括研究哪些內(nèi)容，用什么方法研究.為此，教科書首先在本節(jié)引言中提出指引性的問題，引導(dǎo)學(xué)生提出問題和發(fā)現(xiàn)問題；然后類比實(shí)數(shù)間的關(guān)系，通過觀察、歸納概括出集合間的基本關(guān)系.教學(xué)時(shí)，要特別關(guān)注這種研究方法的指引，以及創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生運(yùn)用類比、聯(lián)想、抽象、概括等思維方法的情境和保證獨(dú)立思考、討論交流的時(shí)間.1.類比實(shí)數(shù)間的關(guān)系，學(xué)習(xí)集合間的基本關(guān)系本節(jié)引言“兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有相等關(guān)系、大小關(guān)系……兩個(gè)集合之間是否也有類似的關(guān)系呢”，其目的是啟發(fā)學(xué)生通過類比數(shù)之間的關(guān)系，聯(lián)想集合間的關(guān)系.這種由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的推理形式稱為類比，類比是數(shù)學(xué)研究的一種重要思維方法.“如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象”的指引在本套教科書中很多地方出現(xiàn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意讓學(xué)生形成這種思考問題的方式.確定了研究思路后，教科書設(shè)置觀察欄目（第7頁(yè)），以三個(gè)具體例子為載體，類比實(shí)數(shù)之間的相等關(guān)系、大小關(guān)系，概括得到集合間的相等關(guān)系、包含關(guān)系.這是一個(gè)觀察、分析、抽象、概括的過程.教學(xué)時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷這個(gè)過程，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).需要指出的是，集合間的包含關(guān)系包括“包含于”和“包含”兩類，它們都是用一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集來刻畫的.具體地，“A包含于B”即為“A是B的子集”，“A包含B”即為“B是A的子集”.對(duì)于教科書第8頁(yè)關(guān)于集合間基本關(guān)系的兩個(gè)結(jié)論，教學(xué)時(shí)可以類比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，讓學(xué)生自己說出本節(jié)的這兩個(gè)結(jié)論，如下表所示.實(shí)數(shù)集合對(duì)于實(shí)數(shù)，有.對(duì)于集合，有.對(duì)于實(shí)數(shù)，，，如果，且，那么.對(duì)于集合，，，如果，且，那么.2.創(chuàng)設(shè)情境，用三種語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)研究對(duì)象，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)換用Venn圖可以形象直觀地表示集合間的關(guān)系，表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形，也可以是其他封閉曲線等.對(duì)于包含關(guān)系，教科書給出了三個(gè)方面的表述：自然語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言（Venn圖）.教學(xué)時(shí)，建議多創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在使用中熟悉這三種語(yǔ)言，并能根據(jù)需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換.例如，集合間的相等關(guān)系，教科書在1.1節(jié)中是用元素完全相同描述的，在本節(jié)，是從子集的角度提升對(duì)集合相等的理解.對(duì)于集合相等，用自然語(yǔ)言表述為：一般地，如果集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素，同時(shí)集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素，那么集合與集合相等.用符號(hào)語(yǔ)言表述為：若，且，則.用圖形語(yǔ)言表述為：圖1-1.再如，用三種語(yǔ)言表示教科書1.1節(jié)中介紹的常用數(shù)集的關(guān)系.3.例題的教學(xué)分析例1意在對(duì)子集、真子集及包含關(guān)系等概念的理解，解決它還需要分類思想.教學(xué)時(shí)，要注意提醒學(xué)生按標(biāo)準(zhǔn)、有序地進(jìn)行不重不漏的分類。這里按子集的元素個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，共分三類，即不含（或0個(gè)）元素的為一類：；1個(gè)元素的為一類：，；2個(gè)元素的為一類：.例2從判斷和解釋角度加深對(duì)子集概念的理解.第（1）題是一個(gè)代數(shù)問題，判斷集合是否為集合的子集，只需依次判斷集合中的三個(gè)元素是否滿足集合中元素的共同特征.第（2）題是一個(gè)幾何問題，集合和均用描述法表示，需要判斷滿足集合共同特征的圖形是否滿足集合的共同特征.4.值得注意的問題空集是較難理解的一個(gè)抽象概念，教學(xué)時(shí)宜多舉些諸如方程無解、不等式無解等例子.第8頁(yè)“思考”意在區(qū)別兩種關(guān)系：包含關(guān)系發(fā)生在兩個(gè)集合之間，而屬于關(guān)系