2025年高考數(shù)學立體幾何立體幾何綜合應(yīng)用模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面x-2y+2z-1=0的距離為（）A.2√3B.√3C.√2D.12.已知直線l1：x+y-1=0與直線l2：x-y+2=0的夾角為θ，則sinθ的值為（）A.1/√2B.1/2C.√2/2D.√3/23.若直線x=1與平面α平行，且點B（2，3，1）在平面α上，則點A（1，2，3）到平面α的距離為（）A.1B.√2C.√3D.24.已知直線l過點P（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)平行，則直線l的方程為（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+3=05.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的夾角余弦值為（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/26.若平面α過點A（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)垂直，則平面α的方程為（）A.x+y+z=6B.x-y+z=2C.x+y-z=4D.x-y-z=07.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則三角形ABC的面積為（）A.√3B.√6C.√2D.2√38.已知直線l過點P（1，2，3），且與平面α垂直，平面α的方程為x+y+z=6，則直線l的方程為（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+3=09.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的向量積為（）A.(1，1，1)B.(1，-1，1)C.(-1，1，1)D.(-1，-1，1)10.已知平面α過點A（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)平行，則平面α的方程為（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+3=011.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的點積為（）A.6B.8C.10D.1212.已知直線l過點P（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)垂直，則直線l的方程為（）A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-y-1=0D.x+y+3=0二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。）13.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的夾角正切值為________。14.已知平面α過點A（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)垂直，則平面α的方程為________。15.已知直線l過點P（1，2，3），且與平面α平行，平面α的方程為x+y+z=6，則直線l的方程為________。16.已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則三角形ABC的外接圓半徑為________。三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），求向量AB與向量AC的夾角余弦值。18.（本小題滿分12分）已知平面α過點A（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)垂直，求平面α的方程。19.（本小題滿分12分）已知直線l過點P（1，2，3），且與平面α平行，平面α的方程為x+y+z=6，求直線l的方程。20.（本小題滿分12分）已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），求三角形ABC的面積。21.（本小題滿分12分）已知直線l過點P（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)垂直，求直線l的方程。22.（本小題滿分14分）已知點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），求三角形ABC的外接圓半徑。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）23.（本小題滿分10分）已知平面α過點A（1，2，3），且與向量a=(1，1，1)垂直，證明點B（2，3，1）到平面α的距離為√3。五、應(yīng)用題（本大題共1小題，共10分。）24.（本小題滿分10分）已知直線l過點P（1，2，3），且與平面α平行，平面α的方程為x+y+z=6，求點A（1，2，3）到直線l的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A.2√3解析：點A（1，2，3）到平面x-2y+2z-1=0的距離公式為d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A2+B2+C2)，代入得d=|1*1-2*2+2*3-1|/√(12+(-2)2+22)=|1-4+6-1|/√(1+4+4)=2/3√3=2√3。2.C.√2/2解析：直線l1：x+y-1=0的斜率為-1，直線l2：x-y+2=0的斜率為1，兩直線夾角θ的正切值tanθ=|(-1)-1|/(1*(-1)+1)=2/0，夾角θ為90度，sinθ=sin45度=√2/2。3.A.1解析：直線x=1與平面α平行，點B（2，3，1）在平面α上，點A（1，2，3）到平面α的距離即點A到直線x=1的距離，為|x坐標之差|=|1-1|=1。4.C.x-y-1=0解析：直線l過點P（1，2，3），與向量a=(1，1，1)平行，直線的方向向量為a，點斜式方程為y-2=1(x-1)，化簡得x-y-1=0。5.B.1/2解析：向量AB=(2-1，3-2，1-3)=(1，1，-2)，向量AC=(3-1，1-2，2-3)=(2，-1，-1)，向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=AB·AC/(|AB|*|AC|)=(1*2+1*(-1)+(-2)*(-1))/(√(12+12+(-2)2)*√(22+(-1)2+(-1)2)=1/2。6.A.x+y+z=6解析：平面α過點A（1，2，3），與向量a=(1，1，1)垂直，法向量為a，點法式方程為1(x-1)+1(y-2)+1(z-3)=0，化簡得x+y+z=6。7.A.√3解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量BC=(1，-2，1)，三角形ABC的面積S=1/2|AB×AC|，向量AB×AC的模長為√(12+12+(-2)2)*√(22+(-1)2+(-1)2)=√6*√6=6，S=1/2*6=3，又因為三角形面積公式S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2，a=√6，b=√6，c=√2，p=(√6+√6+√2)/2，S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√3。8.B.x+y-3=0解析：直線l過點P（1，2，3），與平面α垂直，平面α的方程為x+y+z=6，直線的方向向量為平面法向量的負向量，即(-1，-1，-1)，點向式方程為y-2=-1(x-1)，化簡得x+y-3=0。9.B.(1，-1，1)解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量AB與向量AC的向量積為AB×AC，按行列式計算得(1，-1，1)。10.A.x-y+1=0解析：平面α過點A（1，2，3），與向量a=(1，1，1)平行，法向量為a的負向量，即(-1，1，-1)，點法式方程為-1(x-1)+1(y-2)-1(z-3)=0，化簡得x-y+1=0。11.A.6解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量AB與向量AC的點積為AB·AC=1*2+1*(-1)+(-2)*(-1)=6。12.D.x+y+3=0解析：直線l過點P（1，2，3），與向量a=(1，1，1)垂直，直線的方向向量為a的負向量，即(-1，-1，-1)，點向式方程為y-2=-1(x-1)，化簡得x+y-3=0。二、填空題答案及解析13.1解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=AB·AC/(|AB|*|AC|)=6/(√6*√6)=1，夾角正切值tanθ=√(1-cos2θ)/cosθ=√(1-1/4)/1=√3/3，又因為tanθ=AB·AC/(|AB|*|AC|)=-1/√2，所以tanθ=1。14.x-y+1=0解析：平面α過點A（1，2，3），與向量a=(1，1，1)垂直，法向量為a，點法式方程為1(x-1)+1(y-2)+1(z-3)=0，化簡得x-y+1=0。15.x+y-7=0解析：直線l過點P（1，2，3），與平面α平行，平面α的方程為x+y+z=6，直線的方向向量為平面法向量的負向量，即(-1，-1，-1)，點向式方程為y-2=-1(x-1)，化簡得x+y-7=0。16.√3/3解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量BC=(1，-2，1)，三角形ABC的面積S=1/2|AB×AC|=1/2*|1，1，-2×2，-1，-1|=1/2*|1，1，-2-(-2)，-1-(-4)，-2-(-1)|=1/2*|1，1，0，3，-1|=1/2*√(12+12+02+32+(-1)2)=√3，外接圓半徑R=S/(abc)，其中a=√6，b=√6，c=√2，S=√3，R=√3/(√6*√6*√2)=√3/3。三、解答題答案及解析17.解：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=AB·AC/(|AB|*|AC|)=6/(√6*√6)=1/2，θ=60度。18.解：平面α過點A（1，2，3），與向量a=(1，1，1)垂直，法向量為a，點法式方程為1(x-1)+1(y-2)+1(z-3)=0，化簡得x+y+z=6。19.解：直線l過點P（1，2，3），與平面α平行，平面α的方程為x+y+z=6，直線的方向向量為平面法向量的負向量，即(-1，-1，-1)，點向式方程為y-2=-1(x-1)，化簡得x+y-7=0。20.解：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量BC=(1，-2，1)，三角形ABC的面積S=1/2|AB×AC|=1/2*|1，1，-2×2，-1，-1|=1/2*|1，1，0，3，-1|=1/2*√(12+12+02+32+(-1)2)=√3。21.解：直線l過點P（1，2，3），與向量a=(1，1，1)垂直，直線的方向向量為a的負向量，即(-1，-1，-1)，點向式方程為y-2=-1(x-1)，化簡得x+y-3=0。22.解：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)，向量BC=(1，-2，1)，三角形ABC的面積S=1/2|AB×AC|=1/2*|1，1，-2×2，-1，-1|=1/2*|1，1，0，3，-1|=1/2*√(12+12+02+32+(-1)2)=√3，外接圓半徑R=S/(abc)，其中a=√6，b=√6，c=√2，S=√3，R=√3/(√6*√6*√2)=√3/3。四、證明題答案及解析23.證明：平面α過點A（1，2，3），與向量a=(1，1，1)垂直，點B（2，3，1）到平面α