專題9.9四邊形中的最值問題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【蘇科版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強(qiáng)化學(xué)

生對(duì)四邊形中最值問題模型的記憶與理解！

一.選擇題（共10小題）

I.（2022春?重慶期末）如圖，矩形中，AB=2?BC=6,P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接用，PB,PC,

則PA+PB+PC的最小值是（）

AK----------------------yD

A.4遮+3B.2V21C.2K+6D.4V5

2.（2022?海橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C,AB=4,AC=3,以8c為對(duì)角線作正方形BOCE,

連接AD,則A。的最大值是（）

C.1V2

3.（2022春?中山市期末）如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方形4BCZ）中，E是對(duì)角線B。上一點(diǎn)，且BE=BC,點(diǎn)

P是CE上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊BO,8c的距離之和PM+PN的值（）

A.有最大值。B.有最小值人〃

C.是定值。D.是定值

4.（2022春?三門峽期末）如圖，在矩形A8CD中，AB=2,AD=1,E為A8的中點(diǎn)，產(chǎn)為EC上一動(dòng)點(diǎn),

P為中點(diǎn)，連接尸B,則PB的最小值是（)

A.2B.4C.V2D.2V2

5.（2022春?濱湖區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCD的面積為20,邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)尸、。分別是邊BC、CD±

的動(dòng)點(diǎn)，且PC=CQ,連接尸。、AQ,則尸。+AQ的最小值為（）

6.（2022?泰山區(qū)一模）如圖，M、N是正方形A8CO的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=8M連接AC交

A.2B.1C.V5-1D.V5-2

7.（2022?龍華區(qū)二模）如圖，已知四邊形A8C。是邊長(zhǎng)為4的正方形，E為CD上一點(diǎn),且DE=1,F為

射線8c上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG_LA/于點(diǎn)尸，交直線A8于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中：?AF=EGx②若/

BAF=NPCF,則PC=PE；③當(dāng)NCP”=45°時(shí)，8F=1；④PC的最小值為-2.其中正確的有（）

BF

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2022?南平校級(jí)自主招生）如圖，在△A8C中，A3=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)、（且點(diǎn)

P不與點(diǎn)從C重合），PE上AB于E,PF_LAC于足則E/7的最小值為（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

9.（2022春?崇川區(qū)期末）如圖，正方形A8C。邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,尸分別是邊8C,C。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

BE=CF,連接4”，DE,則8F+QE的最小值為（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

10.（2022?泰州）如圖，正方形48C力的邊長(zhǎng)為2,f為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以。月為一邊作正方形OEFG.設(shè)

DE=di，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為凌、為，則4+法+為的最小值為（）

11.（2022春?江城區(qū)期末）如圖，NMON=90°,矩形ABCO的頂點(diǎn)4、8分別在邊OM、ON上,當(dāng)8

在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，人隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形人8CO的形狀保持不變，其中AB=6,BC=2.運(yùn)動(dòng)過

程中點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離是

B

17.（2022春?靖江市校級(jí)期末）如圖，線段的長(zhǎng)為10,點(diǎn)D在上，△4CO是邊長(zhǎng)為3的等邊三角

形，過點(diǎn)。作與CD垂直的射線。P,過OP上一動(dòng)點(diǎn)G（不與。重合）作矩形CQG”,記矩形CDG”

的對(duì)角線交點(diǎn)為O,連接OB,則線段的最小值為

18.（2022春?鄲都區(qū)期末）如圖，在矩形A8CO中，A8=4,,4。=8,點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)8關(guān)

于4E的對(duì)稱點(diǎn)F,連接C凡點(diǎn)P為CF中點(diǎn)，則。P的最小值為.

AD

BEC

19.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，矩形ABC。中，48=4,AD=2y[3,E為AB的中點(diǎn)，尸為EC上一動(dòng)點(diǎn),

P為DF中點(diǎn),連接PB,則尸8的最小值是.

D__________________r

AE0

20.（2022春?如東縣期中）如圖，已知A8=2或,C為線段A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC,CB為邊在

的同側(cè)作菱形ACK。和菱形C8GP,點(diǎn)C,E,尸在一條直線上，ZD=120°.P、Q分別是對(duì)角線

AE,8尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在線段A3上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸，。之間的距離最短為（結(jié)果保留根號(hào)）.

G

D

2

B

三.解答題（共10小題）

21.（2022?禹城市二模）（1）如圖①，已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別是邊8C,CZ）上兩

點(diǎn)，且BM=CN,連AM和BN,交于點(diǎn)P.猜想4M與用V的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如圖②，已知正方形ABCO的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)E、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿8C、

CO方向向終點(diǎn)。和。運(yùn)動(dòng)，連接人M和8N,交于點(diǎn)P.求△4PB周長(zhǎng)的最大值.

圖①圖②

22.（2022春?東坡區(qū)校級(jí)月考）正方形/WC。中，E、尸是A。上的兩個(gè)點(diǎn)，AE=DF,連CF交B。于點(diǎn)

如果正方形的邊長(zhǎng)為2.

(1)求證：BELAMx

（2）求ON的最小值.

23.（2022?黃埔區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形A8co中，BD=4,E、尸分別是A。、C。上的動(dòng)點(diǎn)（包

含端點(diǎn)），且AE+”=4,連接BE、EF、FB.

（1）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（2）求所的最大值與最小值.

24.（2022春?洪山區(qū)期中）如圖1,E,尸是正方形A8C。的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=OF,連接C尸交

BD于G,連接BE交4G于點(diǎn)”

（1）求證：AG1BE；

（2）如圖2,連。H,若正方形的邊長(zhǎng)為4,則線段?！伴L(zhǎng)度的最小值是

圖1圖2

25.（2022?寧德）如圖，四邊形ABC。是正方形，AABE是等邊三角形，M為對(duì)角線8。（不含8點(diǎn)）上

任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)8逆時(shí)升旋轉(zhuǎn)60°得到8N,連接EMAM、CM.

（1）求證：4AMB二AENB；

（2）①當(dāng)"點(diǎn)在何處時(shí)，入M+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，4M+AM+CW的值最小，并說明理由：

（3）當(dāng)AM+8M+CM的最小他為V5+1時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

26.（2022?南充模擬）如圖，M,N是正方形ABCO的邊C。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足CM=OMAC,相

交于點(diǎn)E,OE與AN相交于點(diǎn)F,連接CE

(1)求證：DELAN.

（2）若正方形A8CO的邊長(zhǎng)為4,求CF"的最小值.

27.（2022春?思明區(qū)校級(jí)期中）已知：在矩形A8CO中，A8=8,BC=\2,四邊形EFG”的三個(gè)頂點(diǎn)E、

F、〃分別在矩形ABC。的邊八8、BC、QA上.

(1)如圖1,四邊形EFGH為正方形，AE=2,求GC的長(zhǎng).

(2)如圖2,四邊形￡打汨為菱形，設(shè)8P=工，△GFC的面積為S,且S與x滿足函數(shù)關(guān)系S=6-%.在

自變量x的取值范圍內(nèi)，是否存在x,使菱形EFG”的面積最大？若存在，求工的值，若不存在，請(qǐng)說

28.(2022?南崗區(qū)校級(jí)一模)已知菱形A8CD的對(duì)角線相交于O,點(diǎn)E、尸分別在邊48、BC±,且8E

=BF,射線￡O、TO分別交邊CO、AO于G、II.

(1)求證：四邊形EFG”為矩形；

(2)若。4=4,0B=3,求EG的最小值.

29.(2022春?戚墅堰區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知NMON=90°,線段AB長(zhǎng)為60小A8兩端分別在。M、

0N上滑動(dòng)，以AB為邊作正方形ABCD,對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)P,連接。C.

(1)求0C的最大值；

(2)求證：無論點(diǎn)A、點(diǎn)8怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在NAOB的平分線上；

(3)若OP=4魚c〃?，求04的長(zhǎng).

30.(2012秋?吳中區(qū)月考)如圖①，四邊形48CQ是正方形，△A3￡是等邊三角形，M為對(duì)角線8。(不

含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將8M繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到8Y,連接EMAM、CM.

(1)連接MM△BMN是等邊三角形嗎？為什么？

(2)求證：△AMBgAENB；

(3)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。?/p>

②如圖②，當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+3M+CM的值最小，請(qǐng)你畫出圖形，并說明理由.

專題9.9四邊形中的最值問題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【蘇科版】

考卷信息:

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有

深度，可強(qiáng)化學(xué)生對(duì)四邊形中最值問題模型的記憶與理解!

一.選擇題（共10小題）

1.（2022春?重慶期末）如圖，矩形A4CO中，"=2、氏BC=6,。為矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接

PA,PB,PC,貝I%+PB+PC的最小值是()

C.2V34-6D.4V5

【分析】將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△￡人7,連接PF、AE.AC,則人E的

長(zhǎng)即為所求.

【解答】解：將△3PC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到連接PF、AE.AC,則

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：4PFC是等邊三角形,

:,PC=PF,

'：PB=EF,

：,R\+PB+PC=PA+PF+EF,

???當(dāng)A、P、F、E共線時(shí)，附+P8+尸C的值最小,

???四邊形A灰?。是矩形,

/.ZABC=90°,

???AC=ylAB24-BC2=4V3,

：.AC=2AB,

???NACB=30°,AC=248=4g,

VZBC￡=60°,

Z.ZACE=90°,

???AE=J（4V5）2+6?=2V21,

故選：B.

2.（2022?淹橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、8、C,A5=4,AC=3,以3C為對(duì)角

線作正方形5DCE連接AO,則A。的最大值是（）

A.5B.7C.7&D.鴻

【分析】如圖將△8ZM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ACOM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知：.48=

CM=4,DA=DM.NAQM=90°,推出△AOM是等腰直角三角形，推出AZ）=爭(zhēng)”，

推出當(dāng)4M的值最大時(shí)，A。的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解

決問題：

【解答】解：如圖將△BD4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CQM.

E.____________

由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=4,DA=DM.ZADM=90°,

.??△AQM是等腰直角三角形，

：.AD=當(dāng)AM,

???當(dāng)AM的值最大時(shí)，A。的值最大，

?.?AMWAC+CM,

???4M的最大值為7,

???A。的最大值為雷，

故選：D.

3.（2022春?中山市期末）如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方形A4c。中，E是對(duì)角線3。上一點(diǎn)，

且BE=BC,點(diǎn)夕是CE上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊BD,BC的距離之和PM+PN的值（）

A.有最大值。B.有最小值苧。

C.是定值aD.是定值日。

【分析】連接8P,作E/LLBC于點(diǎn)F,由正方形的性質(zhì)可知ABE尸為等腰直角三角形,

BE=a,可求EF,利用面積法得S&BPE+SZ\BPC=SCC，將面積公式代入即可.

【解答】解：如圖，連接8P,作E/LL8C于點(diǎn)R則NEF8=90°,

???正方形的性質(zhì)可知NEBQ=45°,

???△BE尸為等腰直角三角形，

???正方形的邊長(zhǎng)為小

BE=BC=a,

：,BF=EF=—BE=—a,

22

VPM1BD,PN1BC,

S"p/S△BPC=SdBEC，

：--BEXPN=-BCXEF,

2PM2+-BCX2

*：BE=BC,

：.PM+PN=EF=—a.

2

則點(diǎn)P到邊BD,BC的距離之和PM+PN的值是定值4/.

故選：D.

4.（2022春?三門峽期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=\,E為A8的中點(diǎn)，F(xiàn)

為EC上一動(dòng)點(diǎn)，。為。尸中點(diǎn)，連接P/L則PB的最小值是（)

C.V2D.2V2

【分析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段PP2,再根據(jù)垂線段最短可得

當(dāng)8PJ_P|P2時(shí)，取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP|J_PiA，故

8P的最小值為BPi的長(zhǎng)，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖:

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)P在Pi處,CPi=/）Pi，

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2,

???丹。2〃。￡且尸/2=\CE.

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、￡的位置處時(shí)，有DP=FP.

由中位線定理可知：P\P〃CE且P\P=-CF.

???點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段Pg，

???當(dāng)。P_LPI「2時(shí)，，。取得最小值.

???矩形4BCO中，＞45=2,AD=1,E為AB的中點(diǎn),

:ACBE、△AOE、Z^CPi為等腰直角三角形，CPi=l.

AZADE=ZCDE=ZCPifi=45°，NQEC=90°.

???NOP2Pi=90°.

???NOPIP2=45°.

，NP2Pl6=90°，即BPI_LP]P2,

???BP的最小值為8Pl的長(zhǎng).

在等腰直角8cpi中，CP^=BC=\.

：.BPi=V2.

???PB的最小值是企.

故選：C.

5.（2022春?濱湖區(qū)期末）如圖，已知菱形ABCD的面積為20,邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)PQ分別

連接PD、AQ,則PO+AQ的最小值為）

C.10D.7^2

【分析】過點(diǎn)A作/于點(diǎn)M,延長(zhǎng)4M到點(diǎn)4',使A'M=AM,根據(jù)菱形的性

質(zhì)和勾股定理可得SM=3,以點(diǎn)5為原點(diǎn)，BC'為x軸，垂直于6c力向?yàn)椋S，建立平

面直角坐標(biāo)系，可得8(0,0),A(3,4),C(5,0),D(8,4),A'(3,-4),

然后證明△A8尸且△AOQ(SAS),可得AP=AQ=4'P,連接4'D,AP,AfP,由A'

P+PD>A,D,可得A',P,。三點(diǎn)共線時(shí)，PD+A'P取最小值，所以P/H4Q的最小

值=尸。+4'尸的最小值=A'D,利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作4M_L4C于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AM到點(diǎn)/V,使A'M=AM,

???四邊形/WC7)是菱形，

：,AB=BC=AD=5,ZABC=ZADC,

???菱形ABC。的面積為20,邊長(zhǎng)為5,

?=4,

在RI/X48M中，根據(jù)勾股定理得：

BM=>JAB2-AM2=3,

以點(diǎn)4為原點(diǎn)，8c為x軸，垂直于3c方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

：?B(0,0),A(3,4),C(5,0),D(8,4),A'(3,-4),

VPC=CQ,BC=CD,

:?BP=DQ,

在△A8P和△AOQ中，

AB=AD

Z.ABC=乙ADC,

BP=DQ

/.^ABP^^ADQ(SAS),

：,AP=AQ=A,P,

連接A'O,AP,A'P,

??WP+PD>ArD,

?"'，P,。三點(diǎn)共線時(shí)，PD+A1P取最小值，

???/>。+4。的最小值=戶。+4'P的最小值=川D=J(8—3產(chǎn)+(4+4尸=廊.

故選：B.

6.（2022?泰山區(qū)一模）如圖，M、N是正方形43co的邊CO上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM=

RN,連接4c交8N于點(diǎn)，連接。E交AM于點(diǎn)F,連接C凡若正方形的邊長(zhǎng)為2,則

線段CF的最小值是（）

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得4D=8C=CD,NADC=NBCD,4DCE=/BCE,然

后利用證明RtaAOM和RtLBCN全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/1=

Z2,利用“SAS”證明ZWC七和△4CE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得N2=N3,

從而得到NI=N3,然后求出NAFD=90°,取A。的中點(diǎn)0,連接OF、0C,根據(jù)直角

三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。尸=1。=1,利用勾股定理列式求出0C,然

后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)。、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小.

【解答】解：在正方形A8CO中，AD=BC=CD,ZADC=ZBCD,ZDCE=ZBCE,

在RlAADM和RtZXBCN中，

（AD=BC

14M=BN'

:.RlAADM經(jīng)RlABCN（HL）,

AZ1=Z2,

在△OCE和△BCE中，

BC=CD

Z.DCE=乙BCE,

CE=CE

：./\DCE^Z\BCE(SAS),

???/2=N3,

AZ1=Z3,

VZADF+Z3=ZADC=90°,

.??Nl+NAO尸=90°,

???NA尸7)=180°-90°=90°,

取AO的中點(diǎn)。，連接OF、OC,

則OF=DO=/。=1,

在RtAODC中，OC=\/D02+DC2=Vl2+22=瓜

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF>OC,

??.當(dāng)。、F、C三點(diǎn)共線時(shí)，。尸的長(zhǎng)度最小,

最小值=0。-遙-1.

7.（2022?龍華區(qū)二模）如圖，已知四邊形A8C。是邊長(zhǎng)為4的正方形，E為。上一點(diǎn)，

且。E=l,尸為射線5c上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)七作七GJ_4/于點(diǎn)P,交直線A8于點(diǎn)G.則下

列結(jié)論中：?AF=EG,②若/BAF=/PCF,WOPC=PE；③當(dāng)NCP尸=45°時(shí)，BF=\x

④PC的最小值為g-2.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】連接AE,過E作EH_LA8于從則￡H=BC,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定

理即可得到AF=EG,故①正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得

到PE=PC；故②正確；連接ER推出點(diǎn)E、尸、F、C四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到

ZFEC=ZFPC=45°,于是得到BF=DE=\,同理當(dāng)戶運(yùn)動(dòng)到。點(diǎn)右側(cè)時(shí)，此時(shí)NFPC

=45°,且七PC/四點(diǎn)共圓，EC=FC=3,故此時(shí)8r=8C+C〃=4+3=7.因此6尸=1

或7,故③錯(cuò)誤；取人石的中點(diǎn)O,連接PO,CO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO—PO=

多已推出點(diǎn)P在以。為圓心，AE為直徑的圓上，當(dāng)0C最小時(shí)，C尸的值最小，根據(jù)

三角形的三邊關(guān)系得到PC^OC-OP,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接AE,過E作E”_LA8于H,

則EH=BC,

'：AB=BC,

：.EH=AB,

VEG1AF,

AZBAF+ZAGP=ZBAF+ZAFB=90(>,

：?NEGH=NAFB,

???/B=NEHG=90；

:,/\HEGgAABF(AAS),

：.AF=EG,故①正確；

?:AB"CD,

???NAGE=NCEG,

*：ZBAF+ZAGP=9()°,NPCF+NPCE=9()°,

?：4BAF=4PCF,

???/AGE=NPCE,

：.ZPEC=ZPCE,

:?PE=PC；故②正確；

連接EF,

?：NEPF=NFCE=9C,

工點(diǎn)E、P、F、。四點(diǎn)共圓，

：?NFEC=NFPC=45°,

:.EC=FC,

:.BF=DE=\,

同理當(dāng)/運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，此時(shí)NFPC=45°,且E、尸、C、尸四點(diǎn)共圓，EC=FC

=3,故此時(shí)8F=BC+C尸=4+3=7.因此8/=1或7,故③錯(cuò)誤；

取AE的中點(diǎn)0,連接。。，C0,

：.AO=PO=-AE,

2

VAAPE=W,

???點(diǎn)P在以。為圓心，AE為直徑的圓上，

???當(dāng)0C最小時(shí)，CP的值最小，

■:POOC-0P,

:.PC的最小值=OC-OP=0C-y七，

?：0C=心+§2=孚,在RiZXAOE中，AE=V42+I2=V17,

???PC的最小值為苧一當(dāng)，故④錯(cuò)誤，

故選：B.

D

8.（2022?南平校級(jí)自主招生）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC

上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PELAH于E,PFA.AC于F.則EF的最小值

為（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PE4”是矩形；連接％,則以=ER所以要

使七尺即用最短，只需以J_C8即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得以的值.

【解答】解：如圖，連接用.

???在△45C中,45=6,4c=8,BC=10,

：.BC2=AB2+AC2,

AZA=90°.

又???PE_LA8于點(diǎn)E,P以LAC于點(diǎn)E

AZAEP=ZAFP=W,

???四邊形PE4/7是矩形.

：.AP=EF.

當(dāng)以最小時(shí)，E尸也最小,

即當(dāng)4尸_LC8時(shí)，乃1最小,

,：-AB*AC=-BC^AP,=—=4.8,

22BC10

???線段所長(zhǎng)的最小值為4.8：

故選：B.

9.(2022春?崇川區(qū)期末)如圖，正方形A3。邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)￡,尸分別是邊3C,CQ上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,連接4",DE,則8P+OE的最小值為()

A.V2B.百C.V5D.\[6

【分析】連接AE,利用/轉(zhuǎn)化線段8戶得至I』8尸")E=AE+OE,則通過作人

點(diǎn)關(guān)于8c對(duì)稱點(diǎn)“，連接交8c于E點(diǎn)，利用勾股定理求出。〃長(zhǎng)即可.

【解答】解：連接AE,如圖1，

;四邊形A4CO是正方形，

；?AB=BC,/ABE=/8CE=90°.

又BE=CF,

:.AABE力/\BCF(SAS).

：.AE=BF.

所以BF+QE最小值等于AE+OE最小值.

作點(diǎn)A關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)〃點(diǎn)，如圖2,

連接則人、B、，三點(diǎn)共線，

連接?！埃?。”與8c的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn).

根據(jù)對(duì)稱性可知AE=HE,

所以人E+OE=/)”.

在RtZ\4。，中，4。=1,AH=2,

：.DH=y/AH2+AD2=瓜

???8/+。后最/卜值為述.

故選：C.

AD

10.（2022?泰州）如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為2,E為與點(diǎn)。不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE為

一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=4，點(diǎn)尸、G與點(diǎn)C的距離分別為刈、為，則4+必+小的

最小值為（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【分析】連接AE，那么，AE=CG,所以這三個(gè)d的和就是AE+EF+W,所以大于等于

AC,故當(dāng)四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解;如圖，連接AK,

???四邊形DEFG是正方形，

AZEDG=90°,EF=DE=DG,

???四邊形A/3c。是正方形，

：.AD=CD,/4QC=90°,

???ZADE=ZCDG,

：.AADE^/\CDG（SAS）,

：.AE=CG,

?*d?+d?+d3=EF+CF+AEt

???點(diǎn)A,E,F,C在同一?條線上時(shí)，EF+CF+AE最小,即4+刈+小最小，

連接人C,

???di+d2+d3最小值為AC,

在RiAABC中，AC=@8=2迎，

:.小+4+必最小=AC=2或，

故選：c.

二.填空題（共10小題）

11.（2022春?江城區(qū)期末）如圖，/MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、8分別在邊OM、

ON上，當(dāng)8在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形A8CD的形狀保持不變，其

中A8=6,BC=2.運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)。到點(diǎn)O的最大距離是3+舊_.

【分析】取4B的中點(diǎn)E,連接O。、OE、DE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半可得OE=/B,利用勾股定理列式求出DE,然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于

第三邊可得OD過點(diǎn)E時(shí)最大.

【解答】解：如圖：取線段A8的中點(diǎn)E,連接O￡,DE,OD,

???AB=6,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，ZAOB=90°,

:.AE=BE=3=OE,

?.?四邊形人"CQ是矩形，

：.AD=BC=2,ZDAB=90°,

:?DE=yjAE2+AD2=g,

OD^OE+DE,

???當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)。共線時(shí)，。。的長(zhǎng)度最大.

???點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離=OE+OE=3+g,

故答案為：3+反.

12.（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，在矩形A8CZ）中，48=6,AO=5,點(diǎn)尸在AO上，

點(diǎn)。在3c上，且AP=CQ,連接CP,QD,則PC+D。的最小值為13.

【分析】連接3P,在6A的延長(zhǎng)線上截取A￡=A8=6,連接PE,CE,PC+QD=PC+PB,

PMPC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AB=6,則

PC+QD=PC+PB=PC^PE^CE,根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.

【解答】解：如圖，連接8P,

???四邊形ABCO是矩形，

:.ADHBC,AD=BC,

??YP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

???四邊形QP6。是平行四邊形，

:.PB〃DQ,PB=DQ,

：.PC+QD=PC+PB,

PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，

如圖，在用的延長(zhǎng)線上截取AX=AB=6,連接PE,CE,

,：PAA.BE,

???力是BE的垂直平分線，

：.PB=PE,

:.PC+PB=PC+PE,

:.PC+QD=PC+PB=PC+PE2CE,

'：BE=2AB=\2,8c=40=5,

：.CE=y/BE2+BC2=13.

??.PC+PB的最小值為13.

?,.PC+QQ的最小值為13.

故答案為：13.

13.（2022?錢塘區(qū)一模）如圖，在矩形ABC。中，線段E廠在/W邊上，以E尸為邊在矩形

ABCO內(nèi)部作正方形EFG"，連結(jié)A”,CG.若48=10,AD=6,EF=4,則4/7+CG的

最小值為_6A/2_.

【分析】方法一：延長(zhǎng)。人至A',使A'A=EH=EF=4,連接A'E,EG,可得四邊

形AA'E”是平行四邊形，所以A'E=AH,則A//+CG的最小值即為A'E+CG的最小

值，根據(jù)勾股定理即可解決問題.方法二：過點(diǎn)G作GA'〃AH交A尸于點(diǎn)A',可得

四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：方法一：如圖，延長(zhǎng)D4至A',使A'A=七〃=日=4,連接A'E,EG,

?：HE工AB,AA'LAB,

AA4///EH,

:A'A=EH,

???四邊形A4'EH是平行四邊形，

?"'E=AH,

則A”+CG的最小值即為A'E+CG的最小值，

???四邊形EFGH是正方形，

:?EF=FG=A,

.\EG=4V2,

*：A'D=AD+AA'=6+4=10,

在RtZ\A'DC中，OC=48=10,

???A'C=y/A'D2+DC2=1072,

?"'E+CG=ArC-EG=6>/2.

則AH+CG的最小值為6V2.

方法二：如圖，過點(diǎn)G作GA'〃月〃交A尸于點(diǎn)A',

AEAfFB

???四邊形44GA'是平行四邊形,

：,AA'=HG=4,AfG=AH,

"B=AB-AA，=6,

?:BC=6,

：.A'C=6V2,

：.AH+CG=A'G+CG2A'C,

則A〃+CG的最小值為6企.

故答案為：6V2.

14.（2022春?東城區(qū)期內(nèi)）在正方形/18CD中，AB=5,點(diǎn)石、產(chǎn)分別為A。、A8上一點(diǎn),

RAE=AF,連接BE、CF,則4E+CT的最小值是_^V5_.

【分析】連接DF,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOFgdABE(SAS),可得DF=BE,作

點(diǎn)。關(guān)于A6的對(duì)稱點(diǎn)?！B接C。’交A6于點(diǎn)尸，連接O'F,則。尸=?！疐,可

WBE+CF=DF+CF=DfF+CF^CD',所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時(shí)，。'F+b最小，

最小值為C。'的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題.

：.AD=AB,N8AE=ND4F=90°,

在△4。尸和△48E中，

AD=AB

乙FAD=ZJL4B,

AF=AE

：.^ADF^/\ABE(SAS),

：.DF=BE,

作點(diǎn)。關(guān)于43的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接C?！?4于點(diǎn)小，連接。'F,則。產(chǎn)=。'F,

：,BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CDr,

???當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時(shí)，。'尸+C尸最小，最小值為C。'的長(zhǎng)，

在Rtac。。'中，根據(jù)勾股定理得：

CD1=MD?+DD'2=V52+102=5V5,

:.BE+CF的最小值是5V5.

故答案為：5遍.

15.(2022春?虎林市期末)如圖，在RlZUBC中，ZBAC=90°,且BA=12,AC=16,

點(diǎn)。是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作OE_L48于點(diǎn)E,。尸_LAC于點(diǎn)尸，點(diǎn)G

為四邊形。對(duì)角線交點(diǎn)，則線段Gr的最小值為_胃_.

3

【分析】由勾股定理求出8c的長(zhǎng)，再證明四邊形OEA尸是矩形，可得EF=AD,根據(jù)垂

線段最短和三角形面積即可解決問題.

【解答】解:連接人。、EF,

VZBAC=90°,且BA=9,4c=12,

:.BC=>JAB2+AC2=V122+162=20,

'：DE±AB,DFA.AC,

???NOE4=NOM=NB/1C=90°,

???四邊形DEA尸是矩形，

：,EF=AD,

???當(dāng)4Q_L/3C時(shí)，AO的值最小，

此時(shí)，△/wc的面積=IBXAC=；BCXAQ,

.*.12X16=20/40,

?s48

??AD=g

???EF的最小值為基，

?:點(diǎn)、G為四邊形?！?尸對(duì)角線交點(diǎn)，

AGF=1EF=y；

故答案為：T-

16.（20224霸橋區(qū)校級(jí)三模）在菱形ABCD中，ZD=60°,CD=4,E為菱形內(nèi)部一點(diǎn),

且AE=2,連接CE,點(diǎn)尸為CE中點(diǎn)，連接BF,取8尸中點(diǎn)G,連接4G,則AG的最

大值為；+夕.

-2-

D

【分析】先根據(jù)題目條件中的中點(diǎn)可聯(lián)想中位線的性質(zhì)，構(gòu)造中位線將O/和G”的長(zhǎng)

度先求出來，再利用三角形的三邊關(guān)系判斷，當(dāng)4G=4〃+〃G時(shí)最大.

【解答】解：如圖所示：連接〃。交4c于點(diǎn)0,連接產(chǎn)。，取0〃的中點(diǎn)，，連接HG

和AH,

為AC中點(diǎn)，

???尸為CE中點(diǎn)，

：.OF=^AE=\,

當(dāng)C、F、E、A共線時(shí)，0尸也為1,

-G為班'中點(diǎn)、”為。B中點(diǎn),

:.GH=-OF=

22

???在菱形人8CO中且/力=60°,

AZ1ABO=-Z1ABC=-Z/\DC=30°，Z6OA=90°,

22

：,OA=-2AB=2,

：.0B=V42-22=2V5,

：.0H=V3,

.\AH=J22+（百尸=干,

'：AG^AH+HG,

AGWg+A/7,

，AG的最大值為q+a.

故答案為：1+V7.

17.（2022春?靖江市校級(jí)期末）如圖，線段AB的長(zhǎng)為10,點(diǎn)。在48上，△AC。是邊長(zhǎng)

為3的等邊三角形，過點(diǎn)。作與CO垂直的射線。P,過OP上一動(dòng)點(diǎn)G（不與。重合）

作矩形CDGH,記矩形CDGH的對(duì)角線交點(diǎn)為O,連接08,則線段40的最小值為5.

【分析】連接AO,根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分得:OC=OD,再證明△ACOgAWO,

則NO48=30°；點(diǎn)。一定在NCA4的平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)04_1_4。

時(shí)，OA的長(zhǎng)最小，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)?的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論.

【解答】解：連接AO,

???四邊形COG〃是矩形，

:?CG=DH,OC=-CG,OD=-DH,

22

：，OC=OD,

???△ACO是等邊三角形，

.\AC=AD,ZCAD=60°,

在△ACO和△ADO中，

AC=AD

AO=AO,

CO=DO

???△ACOdA。。（SSS）,

.??NO/W=NC4O=30°,

???點(diǎn)O一定在NCAB的平分線上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)OB_LAO時(shí),08的長(zhǎng)度最小，

,：ZOAB=30°,ZA0B=9（r,

；?OB=0B=2x10=5,

22

即OB的最小值為5.

故答案為：5.

18.（2022春?鄲都區(qū)期末）如圖，在矩形A4C。中，44=4,AQ=8,點(diǎn)七是BC邊上一

動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F,連接CF,點(diǎn)P為CF中點(diǎn)，則DP的最小值為

2V5-2.

【分析】根據(jù)勾股定理和三角形中位線，可以得到0。的長(zhǎng)和。。的長(zhǎng)，然后再根據(jù)圖

形可知當(dāng)點(diǎn)尸在線段。。上時(shí)，QP取得最小值，然后計(jì)算即可.

【解答】解：連接AC、8。交于點(diǎn)。，連接AROP,

???四邊形A4CO是矩形，/84。=90°,44=4,AO=8,

:.點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，BD=>/AB2+AD2=4通，

又二點(diǎn)P是C尸的中點(diǎn),

???OP是△&1尸的中位線，

???點(diǎn)B關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F,A8=4,

?"尸=4,

：,OP=2,

VBD=4V5,

：?OD=2瓜

?：OP+DP>OD,OP=2,00=2倔

???當(dāng)點(diǎn)P在0D上時(shí)，DP取得最小值，此時(shí)DP=OD-OP=2y/5-2,

故答案為：2遍一2.

19.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，矩形ABCD中，AB=4,4。=26，E為4B的中點(diǎn)，F(xiàn)

為EC上一動(dòng)點(diǎn),。為。尸中點(diǎn)，連接P8,則P8的最小值是，百.

【分析】取。E中點(diǎn)P,取。C中點(diǎn)P”,根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線

段PP2,再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)8P_LP|P2時(shí)，P84又得最小值，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖：取。E中點(diǎn)P',

?；P為DF中點(diǎn)、,

:?P'P//EC,

取。。中點(diǎn)P”,

IP為。尸中點(diǎn),

:?P”P//EC,

???P,P',P"三點(diǎn)在同一條直線上,

???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，P”，

???當(dāng)P"時(shí)，P8取得最小值.

過點(diǎn)B作I3GA.EC于點(diǎn)G,過作P"EC于點(diǎn)M,

的最小值=8G+P"M,

???矩形ABC。中，AB=4,七為A8的中點(diǎn)，

:?AE=BE=2,

,：BC=AD=2y[3,

：.DE=CE=卜+(2份=%

V4B=CD=4,

???△EQC是等邊三角形，

：,ZPHCM=60°,

?:CP”=2,

ACM=1,

:?P"M=V3,

*：ED=EC,AE=BE,AD=BC,

；.ACBE^AADE(SSS),

:?NDEA=/CEB,

VZDEC=60°.

：?NBEG=60°.

■:BE=2,

:.BP=P"M+BG=2?

?,.P8的最小值是26.

故答案是：2百.

20.（2022春?如東縣期中）如圖，已知48=2加，C為線段A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以4C,

CB為邊在AB的同側(cè)作菱形ACED和菱形CBGF,點(diǎn)、C,E,F在一條直線上，ND=

120°.P、。分別是對(duì)角線AE,B尸的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸，Q之間

的距離最短為_當(dāng)_（結(jié)果保留根號(hào)）.

【分析】連接QC、PC,首先證明NPCQ=90°,設(shè)AC=2a,則BC=2或一2小PC=a,

C0=V3（或一a）.溝建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：連接PC、CQ.

???四邊形AC￡。，四邊形C4G〃是菱形，ZD=120°,

???/ACE=120°,NFCB=60",

TP,Q分別是對(duì)角線AE,B尸的中點(diǎn)，

:./ECP=-ZACE,NFCQ=-ZBCF,

2?2

，NPCQ=90°,

設(shè)AC=2a,則BC=2、四-2a,PC=a,CQ=^BC=V3（V2-a）.

^PQ=y/PC2+QC2=Ja2+3（V2-a）2=

.??當(dāng)〃=平時(shí)，點(diǎn)P,Q之間的距離最短，最短距離是日.

解法二：連接C。、CG、DG,構(gòu)造中位線解決，當(dāng)。G與4?；?G垂直時(shí)，取最值.

B

故答案為：拳

三.解答題（共10小題）

21.（2022?禹城市二模）（1）如圖①，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M和N分別是

邊BC,CO上兩點(diǎn)，且BM=CN,連AM和8N,交于點(diǎn)尸.猜想AM與8N的位置關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

（2）如圖②，己知正方形八的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)8、C同時(shí)出發(fā)，以相

同的速度沿6C、C。方向向終點(diǎn)。和。運(yùn)動(dòng)，連接AM和6M交丁點(diǎn)P.求AAFS周

長(zhǎng)的最大值.

圖①圖②

【分析】（1）結(jié)論：/IM_L4M只要證明△ABM0△4CN即可解決問題；

（2）如圖②中，以A氏為斜邊向外作等腰直角三角形△AE8,NAEB=90°,作E凡1_辦

于凡作EGYPB于G,連接EP.首先證明PA+PB=2EF,求出EF的最大值即可解決

問題；

【解答】解：（I）結(jié)論：AM1BN.

理由：如圖①中，

???四邊形4BCO是正方形，

；.AB=BC,/ABM=/BCN=90°,

?:BM=CN,

???△ABM/XBCN,

：.4BAM=4CBN,

:NCBN+/ABN=9U0,

AZABN+ZBAM=W,

???NAPB=90°,

（2）如圖②中，以A5為斜邊向外作等腰直角三角形△AE8,ZAEB=90°,作E凡L%

于F,作EG_LP4于G,連接￡P(guān).

VZEFP=