2026《高考數(shù)學一輪復習微專題106講》含答案39.平面向量基本定理與廣義坐標系39.平面向量中廣義坐標及應用一．基本原理1.平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數(shù)，，使.2.廣義坐標（1）在平面向量基本定理中，我們把有序實數(shù)對叫做向量在基底下的廣義坐標.（2）與直角坐標的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：當基底分別是直角坐標系中軸和軸正方向上的單位向量時（標準正交基），廣義坐標就變成了我們熟悉的直角坐標.例如，向量，它在基底下的廣義坐標就是，這和我們在直角坐標系中描述向量的坐標是一致的.區(qū)別：廣義坐標更具一般性，它的基底可以是平面內任意一組不共線向量，而不僅僅局限于直角坐標系中的單位向量.3.廣義坐標的運算（1）向量加法的廣義坐標運算：設，其廣義坐標為，其廣義坐標為.則.所以在基底下的廣義坐標為.（2）向量數(shù)乘的廣義坐標運算：對于向量，廣義坐標為，設為實數(shù).則.所以在基底下的廣義坐標為.（3）.數(shù)量積運算在廣義坐標系下，數(shù)量積運算公式為，展開可得：若記，則 .二．典例分析3．向量的廣義坐標是用于描述向量或系統(tǒng)狀態(tài)的一組數(shù)值，其選擇取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，物理學中的振動系統(tǒng)可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問題．通過選擇適當?shù)膹V義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數(shù)學表達，提高問題的可解性，并使模型更符合實際場景．已知向量，是平面內的一組基向量，O為內的定點．對于內任意一點P，若，則稱有序實數(shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的（

）A．點關于點O的對稱點不一定為B．A，B兩點間的距離為C．若向量平行于向量，則的值不一定為0D．若線段的中點為C，則點C的廣義坐標為【答案】D【分析】根據(jù)廣義坐標的定義，結合平面向量數(shù)量積的運算性質、平面向量共線性質逐一判斷即可.【詳解】對于A，，設關于點的對稱點為，則，因為，不共線，所以，A錯誤；對于B，因為，所以，當向量，是相互垂直的單位向量時，，兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；對于C，當與中至少一個是時，結論成立；當與都不為時，設（），有，即，所以，C錯誤；對于D，，所以線段中點的廣義坐標為，D正確故選：D2．如圖，設，是平面內夾角為的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則有序數(shù)對叫做點在坐標系中的坐標.在該坐標系下，，，為不共線的三點，下列結論錯誤的是（

）

A．線段中點的坐標為 B．重心的坐標為C．，兩點的距離為 D．若，則，，三點共線【答案】C【分析】依題意可得，，，根據(jù)平面向量線性運算判斷A、B，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷C，根據(jù)向量共線定理判斷D.【詳解】根據(jù)題意，，，，對于A，設的中點為，則，故線段中點的坐標為，故A正確．

對于B，設重心為，則，故重心的坐標為，故B正確；對于C，，所以=即該坐標系中，兩點間的距離為：，故C錯誤；對于D，，，若，易得，則、、三點共線，若，變形可得，所以，所以，所以、、三點共線，綜合可得：若，則，，三點共線，故D正確．故選：C．8．已知單位向量的夾角為，若平面向量，有序實數(shù)對稱為向量在“仿射”坐標系（為坐標原點）下的“仿射”坐標，記，則下列命題正確的是（

）A．已知，則B．已知，則線段的長度為1C．已知，則D．已知，則的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)題設“仿射”坐標系的定義，依據(jù)各項條件并應用向量數(shù)量積的運算律及相關坐標運算判斷正誤即可.【詳解】A：由題設，所以，對；B：由題設，則，對；C：由題設，錯；D：由題設，即，由，且時取等號，則，故，即時的最大值為，對.故選：ABD9．如圖所示，設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為斜坐標系.若，則把有序數(shù)對叫做向量的斜坐標，記為.在的斜坐標系中，，，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為【答案】AD【分析】利用向量的線性運算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一驗證即可.【詳解】依題意，，，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，則在方向上的投影向量為，D正確.故選：AD10．設Ox，Oy是平面內相交的兩條數(shù)軸，其中（且），，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量.若平面向量滿足，則有序數(shù)對稱為向量在“仿射”坐標系xOy下的“仿射”坐標，記作，下列命題中是真命題的是（

）A．已知，則B．已知，，則C．已知，，則D．已知，，若，則【答案】BD【分析】根據(jù)新定義，結合已學的向量的模長，向量運算，向量數(shù)量積，向量平行的定理可以逐一計算判斷.【詳解】對于A，，則，所以，故A錯誤；對于B，已知，，則，，，則，故B正確；對于C，，，則，，所以，故C錯誤；對于D，，，則，，若，則當或時，或，滿足；當，則存在唯一，使得，則，則，消元變形得到，故D正確.故選：BD.24．如圖，設是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸、軸同方向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對叫做在斜坐標系中的斜坐標.(1)若，求.(2)若，求在上的投影向量斜坐標.(3)若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量斜坐標表示，結合可得的值.（2）根據(jù)條件計算，結合投影向量公式可得在上的投影向量為，由此可得結果.（3）利用向量夾角公式表示，通過換元法結合函數(shù)單調性的分析可得結果.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，解得.（2）∵，∴，由題意得，，故，∴，，∴在上的投影向量為，∴在上的投影向量斜坐標為.（3）∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，令，則，∵，函數(shù)在上單調遞減，∴函數(shù)在上單調遞增，∴當時，，即的最小值為.三．習題演練11．已知，且，當時，定義平面坐標系為“-仿射”坐標系，在“-仿射”坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（

）A．設，則B．設，若，則C．設，若，則D．設，若與的夾角為，則【答案】BD【分析】根據(jù)題意得：，，對于A結合向量相等理解判斷；對于B、D：利用以及進行運算判斷；對于C：若，則，使得.【詳解】，對于A：即，故選項A錯誤；對于B：若，當即時，顯然滿足：；當即或時，則，使得，即則可得，消去得：，故選項B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故選項C錯誤；對于D：∵，由選項A可得：，，由選項C可得：，若與的夾角為，則，即，整理可得，，解得或（舍去），∵，則，故選項D正確；故選：BD．23．如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任意一點關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若（其中分別是軸，軸正方向的單位向量），則點的斜坐標為，且向量的斜坐標為.給出以下結論，其中所有正確的結論的序號是①若，，則；②若，則；③若，則；④若，則【答案】①②③【分析】根據(jù)所給定義及平面向量線性運算法則判斷②③，根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷①④.【詳解】對于①：∵，，即，∴，故①正確；對于②：∵，，即，，∴，∴，故②正確；對于③：∵，，，∴，∴，故③正確；對于④：，故④錯誤.故答案為：①②③0．如圖，設是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序實數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標，記作.在此坐標系中，若，分別是的中點，分別與交于兩點.(1)求：；(2)求的坐標；(3)若點M在線段上運動，設，求的最大值.【答案】(1)(2)，(3)3【分析】（1）根據(jù)向量新定義，結合向量數(shù)量積的運算法則即可得解；（2）先利用向量加法的平行四邊形法則得到四邊形是平行四邊形，進而得到，，從而利用向量的線性運算即可得解；（3）設，利用向量的線性運算得到關于的表達式，從而利用二次函數(shù)的性質即可得解.【詳解】（1）依題意，得是單位向量，且夾角為，所以，而，，則.（2）因為，所以，，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，因為分別是的中點，所以，所以，，因為，則，所以，；（3）由（2）知，，因為點在線段上運動，所以設，其中，因為，所以，所以，因為不共線，則，解得，所以，因為，所以當時，取得最大值3.【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：31．如圖，設，是平面內相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序實數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標，記作．在此坐標系中，若，，，是的中點，與交于兩點．

(1)求；(2)求的坐標；(3)若過點的直線分別與軸、軸正方向交于、兩點，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；（2）依題意可得，即可得到是平行四邊形，從而得到，即可得到，再根據(jù)計算可得；（3）設，，又三點共線，設，根據(jù)平面向量線性運算及基本定理得到，從而得到，再由面積公式及基本不等式計算可得.【詳解】（1）依題意可得，，-；（2），，，，，，，所以四邊形是平行四邊形，即，，是的中點，，，又，，；（3）設，，則，，因為三點共線，則設，，，，，，，當且僅當時取等號，所以的最小值為．或者：由，得，所以，所以，當且僅當時取等號，，當且僅當時取等號，所以的最小值為40.一輪備考中計算向量數(shù)量積的六大方法一．基本原理1.定義法平面向量數(shù)量積(內積)的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有().2.坐標法設向量為向量的夾角.（1）數(shù)量積:.（2）模:.（3）夾角：（4）兩非零向量的充要條件:.3.基底法4.投影法向量在方向上的投影：設為、的夾角，則為在方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為；當時投影為；當時投影為.5.極化恒等式人教版必修二第22頁練習3設置了這樣的問題：求證：.若我們將這個結論進一步幾何化，就可以得到一把處理數(shù)量積范圍問題的利器：極化恒等式.下面我先給出這道習題的證明，再推出該恒等式.證明：由于，兩式相減可得：.特別，在中，設，點為中點，再由三角形中線向量公式可得：(極化恒等式).6.與外心有關的數(shù)量積計算結論：如圖1，，特別地，若點在線段的中垂線上時，.如圖1如圖2進一步，外心性質：如圖2，為的外心，可以證明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.證明:二．典例分析★1.定義法計算例1．已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．解析：，，，.，因此，.故選：D.★2.基底法計算例2．已知平面向量滿足，，其中為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量，恒有，則夾角的最小值是（

）A． B． C． D．解析：因，則，依題意，恒成立，而，為不共線的單位向量，即有，于是得恒成立，則，即有，又，解得，所以夾角的最小值是.故選：B★3.坐標法計算數(shù)量積例3．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得,故選：C★4.投影法計算例4.（2020年新高考卷）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范用是（）A. B.C. D.解析：的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.（方法2）坐標法如圖,取為坐標原點,所在直線為軸建立平面直角坐標系,則,.設,則,且.所以.答案:A★5.極化恒等式例5．（2017年2卷）已知是長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是（）A. B． C． D．解析：（方法1.幾何法）設點為中點，可得，再設中點為，這樣用極化恒等式可知：，在等邊三角形中，，故取最小值當且僅當取最小，即，故.（公眾號：凌晨講數(shù)學）（方法2.坐標法）以中點為坐標原點，由于，，．設，，，，故，則其最小值為，此時，．★6.外接圓性質例6．已知點是的外心，，，，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8解析：如圖，點O在、上的射影是點、，它們分別為、的中點．由數(shù)量積的幾何意義，可得，．又，所以，又，所以，即．同理，即，解得．所以．故選：C.三.習題演練1．已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2解析：∵，又∵∴9，∴故選：C.2．已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6解析：,,即,解得,故選：C3．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．解析因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．4．已知向量，滿足，，則_________解析：法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.5．已知向量，，，________．解析：由已知可得，因此，.故答案為：.6．若向量滿足，則_________解析:∵∴,∴.故答案為：.7.（2022北京卷）在中，，，．為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，解析：取中點，由向量的加法知，，從而.所以求的最值轉化為求線段中點到單位圓上動點的距離的最值.在中，.設直線與單位圓相交于，兩點，當點位于點，處時，分別取得最小值和最大值，從而的取值范圍是.8.（2017年江蘇卷）在直角坐標系中，，點P在圓上，若，則點P的橫坐標的取值范圍是解析：設中點為，則，故可知滿足題意的動點P又在圓上，聯(lián)立兩圓方程可得，P的橫坐標的取值范圍為：.9．在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內部的動點，則的取值范圍是（

）A．. B． C． D．解析：由，可得為與在方向上的投影之積.正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓與DE交于M，過M作于，設以C為圓心的圓與垂直的，切線與圓切于點N與延長線交點為，則在方向上的投影最小值為，最大值為,又，，則，，則的取值范圍是.故選A.10．已知是的外心，，，則（

）A．10 B．9 C．8 D．6解析：如圖，O為的外心，設為的中點，則,故,故選：A注.關于極化恒等式的應用，我將其總結為在處理數(shù)量積范圍問題時，若發(fā)現(xiàn)題干有“共起點，定底邊”的特征，我們就可嘗試使用該恒等式，做法就是把中線連出即可，下面我將再通過一個例題予以分析.11.（2021成都三診）已知等邊的三個頂點均在圓上，點，則的最小值為（）A． B． C． D．解析：（法1.極化恒等式）根據(jù)題干特征，共起點的數(shù)量積范圍問題，我們嘗試往恒等式方向走.記中點為，中點為.由于，而.由于