湖北省當陽市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編同步訓練考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，在中，，，，平分交于D點，E，F(xiàn)分別是，上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．2、△ABC的三邊長a，b，c滿足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．263、《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，記載著這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）24、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．65、如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對角線BD對折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．66、如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關系式中成立的是（

）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c27、有一個邊長為1的正方形，以它的一條邊為斜邊，向外作一個直角三角形，再分別以直角三角形的兩條直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第一次“生長”（如圖1）；再分別以這兩個正方形的邊為斜邊，向外各自作一個直角三角形，然后分別以這兩個直角三角形的直角邊為邊，向外各作一個正方形，稱為第二次“生長”（如圖2）……如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A．1 B．2020 C．2021 D．2022第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一道題目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時，繩索用盡問繩索長是多少？”示意圖如下圖所示，設繩索的長為尺，根據(jù)題意，可列方程為__________．2、如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點E為邊DC上的一個動點，△AD'E與△ADE關于直線AE對稱，當△CD'E為直角三角形時，DE的長為__．3、小聰準備測量河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊遠的水底，竹竿高出水面，把竹竿的頂端拉向岸邊，竹竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為__________．4、如圖，在中，，分別以，，邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”，當，時，陰影部分的面積為________．5、對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則____________．6、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，則∠ACB的度數(shù)等于_____．7、如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構成，其中最大正方形的邊長為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．8、如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E是格點，則∠ABD＋∠CBE的度數(shù)為_____________．

三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，高速公路上有A，B兩點相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長．2、如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示a、b、c的關系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有_______個．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．3、如圖，將一個長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，已知AB=4，BC=2，求折疊后重合部分的面積．4、如圖，某海岸線MN的方向為北偏東75°，甲，乙兩船分別向海島C運送物資，甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，已知港口B到海島C的距離為30海里，求港口A到海島C的距離．5、已知，如圖，，C為上一點，與相交于點F，連接．，．（1）求證：；（2）已知，，，求的長度．6、勾股定理被譽為“幾何明珠”，在數(shù)學的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學中的重要知識點之一，也是初中學生以后解決數(shù)學問題和實際問題中常常運用到的重要知識，因此學好勾股定理非常重要．學習數(shù)學“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學會勾股定理的各種證明方法．請你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．7、勾股定理的證明方法是多樣的，其中“面積法”是常用的方法．小麗發(fā)現(xiàn)：當四個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明勾股定理．請寫出勾股定理的內(nèi)容，并利用給定的圖形進行證明．-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】利用角平分線構造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點C到AB的垂線段長度．【詳解】在AB上取一點G，使AG＝AF．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當C、E、G三點共線時，符合要求，此時，作CH⊥AB于H點，則CH的長即為CE+EG的最小值，此時，，∴CH==，即：CE+EF的最小值為，故選：D．【考點】本題考查了角平分線構造全等以及線段和差極值問題，靈活構造輔助線是解題關鍵．2、C【解析】【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，進而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理證明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC==30．故選：C．【考點】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，以及勾股定理逆定理，熟練掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形，利用非負數(shù)性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關鍵．3、C【解析】【分析】首先設蘆葦長x尺，則水深為（x?1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程（x?1）2＋52＝x2．【詳解】解：設蘆葦長x尺，由題意得：（x?1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故選：C．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是讀懂題意，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型．4、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．5、A【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【詳解】解：∵，，∴AD=，，由折疊可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故選：A．【考點】本題主要考查的是勾股定理的應用，靈活利用折疊進行發(fā)掘條件是解題的關鍵．6、A【解析】【詳解】設EF＝x，DF＝y(tǒng)，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關系．【解答】解：設EF＝x，DF＝y(tǒng)，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴點F為△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故選：A．【點評】本題考查了三角形的重心：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．7、D【解析】【分析】根據(jù)題意可得每“生長”一次，面積和增加1，據(jù)此即可求得“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和．【詳解】解：如圖，由題意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，則“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得：“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有正方形的面積和為4，……“生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2022，故選：D【考點】本題考查了勾股數(shù)規(guī)律問題，找到規(guī)律是解題的關鍵．二、填空題1、x2?（x?3）2＝82【解析】【分析】設繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：設繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2?（x?3）2＝82，故答案為：x2?（x?3）2＝82．【考點】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出相應方程是解題的關鍵．2、3或6【解析】【分析】分兩種情況分別求解，（1）當∠CED′＝90°時，如圖（1），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關的值，計算即可．【詳解】解：當∠CED′＝90°時，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當∠ED′A＝90°時，如圖（2），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長為3或6；故答案為：3或6．【考點】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)的綜合應用，分情況討論，作出圖形是解題關鍵．3、2【解析】【分析】根據(jù)河水深度、竹竿到岸邊的距離、竹竿長構成直角三角形，利用勾股定理進行計算即可．【詳解】根據(jù)題意畫出示意圖，如圖，則AC=0.5m，，，所以BC即為河水深度，，∵，∴是直角三角形，∴，∴，解得：BC=2（m），故答案為：2．【考點】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意畫示意圖找出與所求邊長相關線段所構成直角三角形是解題關鍵．4、24【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以AC，BC為直徑的半圓面積，再減去以AB為直徑的半圓面積即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，則陰影部分的面積，故答案為24．【考點】本題考查的是勾股定理、半圓面積計算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關鍵．5、34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【考點】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型是解題關鍵．6、90°##90度【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式求出AC=4，根據(jù)勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°．【詳解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，∴×AC×DE=6，∴AC=4，∴，∵AB＝5，∴AB2＝25，∴，∴∠ACB=90°．故答案為：90°【考點】本題考查了勾股定理逆定理和三角形的面積應用，熟練掌握勾股定理逆定理是解題關鍵．7、49【解析】【分析】根據(jù)正方形A，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案．【詳解】如圖對所給圖形進行標注：因為所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，所以正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積．因為，，所以正方形A，B，C，D的面積和．故答案為：49．【考點】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)，面積的計算，掌握勾股定理是解本題的關鍵．8、45°【解析】【分析】取網(wǎng)格點M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，根據(jù)網(wǎng)格線可得到∠ABD+∠CBE=∠MAB，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABM是直角三角形，且AM=BM，即可得解．【詳解】取網(wǎng)格點M、N、F，連接AM、AN、BM、MF、BN，如圖，根據(jù)網(wǎng)格線可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，由網(wǎng)格圖可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，則∠ABD+∠CBE=∠MAB，在Rt△ANB中，有，同理可求得：，∵，∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，∴∠MAB=45°，即：∠ABD+∠CBE=45°，故答案為：45°．【考點】本題考查了勾股定理即勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知識，求得∠ABD+∠CBE=∠MAB是解答本題的關鍵．三、解答題1、4km【解析】【分析】根據(jù)題意設出BE的長為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設BE＝xkm，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的長是4km．【考點】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．2、(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個圖形中面積關系滿足的有3個；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結論：，進而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【考點】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關鍵是掌握勾股定理．3、【解析】【分析】先由折疊可知EC=BC=2，進而可知AD=CE，通過全等三角形的角角邊判定定理可證明△ADF≌△CEF，由全等可知FE=DF，設FC為x，則FE=DF=4-x，根據(jù)直角三角形的勾股定理可列方程，從而計算出CF的長度，通過CF與AD的長度可計算出重合部分面積．【詳解】解：∵△AEC是由△ABC沿AC折疊后得到的，∴EC=BC=2，且∠E=∠B=90°，在△ADF與△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），設FC=x，則FE=DF=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可知：，∴，解得，∴，故折疊后重合部分的面積為．【考點】本題考查圖形折疊的相關性質(zhì)，以及直角三角形的勾股定理的應用，以及全等三角形的判定，找到合適的條件，選擇適合的判定方法去證明全等三角形，利用勾股定理和方程思想列方程是解決本題的關鍵．4、【解析】【分析】過點C作CD⊥AM垂足為D，設CD=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求可得AC=2x、BD=BC=x，再利用