第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省朝陽市建平高中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=i3?1(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某團(tuán)隊(duì)嘗試用回歸模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成績與肺活量的關(guān)系，已知模型甲、乙、丙、丁對應(yīng)的決定系數(shù)R2分別為0.14，0.17，0.72，0.45，則擬合效果最好的模型是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.設(shè)拋物線的方程為y=4x2，則其準(zhǔn)線方程為(

)A.x=?116 B.x=?1 C.y=?14.以A，B分別表示某山區(qū)兩個(gè)村莊居民某一年內(nèi)家里停電的事件，若P(A)=0.2，P(B)=0.1，P(A|B)+P(B|A)=0.75，則這兩個(gè)村莊同時(shí)發(fā)生停電事件的概率為(

)A.0.03 B.0.04 C.0.06 D.0.055.記單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2且A.70 B.65 C.55 D.506.已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是(

)A.若m?α，n?α，m//β，n//β，則α/?/β

B.若α⊥β，m⊥β，則m/?/α

C.若m⊥n，α⊥β，m⊥α，則n⊥β

D.若m//α，m?β，α∩β=n，則m//n7.直線mx+y?m?1=0被圓x2+y2A.10 B.23 C.48.如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為43，側(cè)棱長為25，點(diǎn)P在側(cè)面A.2

B.22

C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在△ABC中，AB=3，AC=1，B=π6，則△ABCA.32 B.1 C.310.設(shè)橢圓C：x22+y2=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)A.|PF1|+|PF2|=22

B.離心率e=62

11.已知函數(shù)f(x)=x+2x3+4A.函數(shù)f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)的極小值為13

D.若f(x)=m有3個(gè)不等實(shí)根x1，x2，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=3，S13.已知x(a?x)6的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為?192，則a=14.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(ax+b)?x(a,b∈R)，若f(x)≤0恒成立，則a?b的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A=π4，a=32b．

(1)求sinB的值；

(2)若a=616.(本小題15分)

面試是求職者進(jìn)入職場的一個(gè)重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié)，某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯(cuò)不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得2分，答錯(cuò)不得分．

(1)若一共有200人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布N(60,144)，規(guī)定X≥84為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))；

(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為12，后兩題答對的概率均為13，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望．

附：若X～N(μ,σ2)(σ>0)，則P(μ?σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ?2σ<X<μ+2σ)≈0.95417.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面PAB，AP⊥BP，M是PB的中點(diǎn)．

(1)證明：DP/?/平面AMC；

(2)若AB=2，AD=1，AP=3，求平面PCD與平面AMC18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1過點(diǎn)M(3,4)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線MA與直線MB的斜率之和為3．

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過雙曲線右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線右支于P，Q(P在第一象限)兩點(diǎn)，19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=xex?12x2?ax(a∈R)，g(x)=2xlnx+1．

(1)求g(x)的極值；

(2)若f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：∵i3=?i，

∴z=i3?1=?1?i，

∴z?=?1+i，

其對應(yīng)點(diǎn)(?1,1)2.【答案】C

【解析】解：已知模型甲、乙、丙、丁對應(yīng)的決定系數(shù)R2分別為0.14，0.17，0.72，0.45，

又R2越大，模型的擬合效果越好，因?yàn)?.72>0.45>0.17>0.14，

所以模型丙擬合效果最好．

故選：C．

線性回歸模型中R2越接近13.【答案】C

【解析】解：由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=14y，

∴p=18，開口朝上，

∴準(zhǔn)線方程為y=?1164.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，P(A|B)+P(B|A)=0.75，則P(AB)P(B)+P(AB)P(A)=0.75，

又P(A)=0.2，P(B)=0.1，變形可得10P(AB)+5P(AB)=0.75，

所以P(AB)=0.05．

故選：D5.【答案】B

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由題意可知，d>0，

a1=2且a1a5=a2a3，

則2(2+4d)=(2+d)(2+2d)，解得d=1，

故S6.【答案】D

【解析】解：已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，

對于A：若m?α，n?α，m//β，n/?/β，

當(dāng)m/?/n時(shí)，不能推出α/?/β，

故A錯(cuò)誤；

對于B：直線m可能在平面α內(nèi)，

故B錯(cuò)誤；

對于C：若m⊥n，α⊥β，m⊥α，

則n與β垂直、平行，相交不垂直或n?β，

故C錯(cuò)誤；

對于D：若m/?/α，m?β，α∩β=n，則m/?/n，

故D正確．

故選：D．

根據(jù)面面平行判定定理、線面平行的性質(zhì)定理及線線、線面、面面關(guān)系逐一分析即可．

本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．7.【答案】C

【解析】解：由題意圓方程x2+y2+2x?8=0配方得(x+1)2+y2=32，

所以圓心為(?1,0)，半徑r=3，

直線mx+y?m?1=0化簡可得直線y=m(1?x)+1，

所以直線過定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)槎c(diǎn)和圓心的距離(?1?1)2+8.【答案】B

【解析】解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，取B1C1的中點(diǎn)Q，連接PQ，A1Q，

因?yàn)檎切蜛1B1C1，所以A1Q⊥B1C1，

又因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，

且A1Q?平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1Q，

又因?yàn)镃C1∩B1C1=C1，CC1，B1C1?平面BB1C1C，

所以A1Q⊥平面BB1C1C，

而BP?平面BB1C1C9.【答案】AD

【解析】解：∵AB=3，AC=1，B=π6，

∴由正弦定理可得：ABsinC=ACsinB，

∴sinC=AB?sinBAC=32，

∴C=π3，A=π2，S=12AB?10.【答案】AD

【解析】解：由橢圓C：x22+y2=1可知，a=2，b=1，c=1，

所以左、右焦點(diǎn)為F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，

根據(jù)橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a=22，故A正確；

離心率e=ca=22，故B錯(cuò)誤；

所以△PF1F2面積的最大值為12×2c×b=bc=111.【答案】BCD

【解析】解：對于A，f′(x)=x3+4?3x2(x+2)(x3+4)2=?2(x+1)(x2+2x?2)(x3+4)2=?2(x+1)(x+3+1)(x?3+1)(x3+4)2，x≠3?4，

令f′(x)>0，解得x∈(?∞,?3?1)，

令f′(x)<0，解得x∈(?3?1,3?4)∪(3?4,?1)，

則函數(shù)f(x)在(?∞,?3?1)上單調(diào)遞增，在(?3?1,3?4),(3?4,?1)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對于B，在(1,+∞)12.【答案】21

【解析】解：因?yàn)镾n為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，

所以S5，S10?S5，S15?S10為等比數(shù)列，

故3(S1513.【答案】2

【解析】解：已知x(a?x)6的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為?C61?a5=?192，∴a=2，

故答案為：2．14.【答案】?1【解析】解：因?yàn)閒(x)=ln(ax+b)?x，所以ax+b>0，

即x>?ba(a≠0)，

對函數(shù)求導(dǎo)得：f′(x)=aax+b?1=a?b?axax+b=?ax?a+bax+b．

①當(dāng)a=0時(shí)，b>0，此時(shí)f′(x)=?1，那么函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減．

要使得f(x)≤0，則f(x)=lnb?x≤0，

即x≥lnb并不恒成立，

所以a≠0；

②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，則ax?a+b<0，

即?ba<x<a?ba，

所以此時(shí)函數(shù)在(?ba,a?ba)上單調(diào)遞增；

令f′(x)<0，則ax?a+b>0，即x>a?ba，

所以此時(shí)函數(shù)在(a?ba,+∞)上單調(diào)遞減；

此時(shí)函數(shù)在x=a?ba處取得最大值，為f(a?ba)=ln(a?a?ba+b)?a?ba=lna?a?ba．

要使得f(x)≤0恒成立，

則lna?a?ba≤0，a?ba≥lna，

即b≤a?alna，

此時(shí)a?b=a?(a?alna)=alna．

令g(a)=alna，a>0，

求導(dǎo)得g′(a)=lna+1，

令g′(a)=lna+1=0，解得a=1e，

因?yàn)閍>0，所以當(dāng)a>1e時(shí)，g′(a)>0，

所以g(a)在(1e,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<1e時(shí)，g′(a)<0，

所以g(a)在(0,1e)上單調(diào)遞減，15.【答案】解：(1)因?yàn)閍sinA=bsinB，a=32b，所以sinA=32sinB，

因?yàn)锳=π4，所以sinB=23×22=23．

(2)因?yàn)閍=6，所以b=4．

因?yàn)閎<a【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理即可求解sinB的值；

(2)由已知結(jié)合同角平方關(guān)系可求cosB，然后結(jié)合和角正弦公式可求sinC，代入三角形的面積公式即可求解．

本題主要考查了正弦定理及和差角公式，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔試題．16.【答案】解：(1)因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(60,144)，所以μ=60，σ=12，84=μ+2σ，

所以P(X≥84)=1?P(μ?2σ<X<μ+2σ)2≈1?0.9542=0.023，

進(jìn)入面試的人數(shù)Z～B(200,0.023)，E(Z)=200×0.023=4.6，

因此進(jìn)入面試大約為5人；

(2)由題意可知，Y的可能取值為0，2，4，6，

則P(Y=0)=(1?12)×(1?13)2=2【解析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出P(X≥84)，即可估計(jì)人數(shù)；

(2)依題意可得Y的可能取值為0，2，4，6，求出所對應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望．

本題考查了正態(tài)分布的應(yīng)用及離散型隨機(jī)變量的期望，屬于中檔題．17.【答案】證明見解析；

57【解析】(1)證明：如圖，連接BD，與AC相交于點(diǎn)N，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，對角線BD，AC相交于點(diǎn)N，則BN=DN，

又因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，則BM=PM，

因?yàn)锽N=DN，BM=PM，則MN//DP，

因?yàn)镸N//DP，DP?平面AMC，MN?平面AMC，

所以DP/?/平面AMC；

(2)因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PAB，AD⊥AB，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD?平面ABCD，

所以AD⊥平面PAB，

則以AB，AD所在的直線分別為y軸，z軸，過點(diǎn)A，在平面PAB內(nèi)作AB的垂線為x軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

由AP=3，AB=2，AP⊥BP，可得∠BAP=π6，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32,32,0)，

各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，C(0,2,1)，M(34,74,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為m=(x1,y1,z1)，由DC=(0,2,0)，PD=(?32,?32,1)，

則m⊥DCm⊥PD，則m?DC=2y1=0m?PD=?32x1?32y1+z1=0，

取x1=2，y1=0，z1=3，

可得平面PCD的一個(gè)法向量為m18.【答案】解：(1)易知雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A(?a,0)，B(a,0)，

所以kMA+kMB=43+a+43?a=249?a2=3，

解得a2=1，

因?yàn)辄c(diǎn)M(3,4)在雙曲線上，

所以9?16b2=1，

解得b2=2，

則雙曲線方程為x2?y22=1；

(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立x=ty+3x2?y22=1，消去x并整理得(2t2?1)y2+43ty+4=0【解析】(1)首先表示出左右頂點(diǎn)，由斜率公式求出a2，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程求出b2，即可得解；

(2)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直線l的方程為19.【答案】g(x)的極小值為g(1e)=?2e+1，無極大值；

a>【解析】(1)函數(shù)g(x)=2xlnx+1的定義域?yàn)?0,+∞)，

g(x)=2(lnx+x?1x)=2(lnx+1)，2(lnx+1)=0?lnx=?1?x=e?1=1e，

又因?yàn)間′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g′(x)在(0,1e)小于0，在(1e,+∞)大于0；

所以g(x)在(0,1e)單調(diào)遞減，在(1e,+∞)單調(diào)遞增；

所以g(x)的極小值為g(1e)=2?1e?ln(1e)+1=2?1e?(?1)+1=?2e+1，無極大值；

(2)函數(shù)f(x)=xex?12x2?ax，

可因式分解為：f(x)=x(ex?12x?a)，

顯然，x=0是一個(gè)零點(diǎn)．零點(diǎn)由x=0和方程ex?12x=a的解組成，

令?(x)=ex?12x，求導(dǎo)：?(x)=ex?12，

令導(dǎo)數(shù)為零：ex=12?x=?ln2；又因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，

所以?′(x)在(?∞,?ln2)小于0，在(?ln2,+∞)大于0，

所以?(x)在(?∞,?ln2)單調(diào)遞減，在(?ln2,+∞)單調(diào)遞增，

所以?