1/142025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．考試范圍：高考全部?jī)?nèi)容第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）。 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由得，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2．若，則（）。 A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A3．已知是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）。 A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意：，，所以.故選：D4．已知集合，，則（）。 A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，則，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，則.故選：B5．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）。 A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則或與相交【答案】D【詳解】對(duì)于A，若，則，又，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可知可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則有可能是，也可能，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可知可能平行或相交，故D正確.故選：D.6．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，是中點(diǎn)，則（）。 A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先角化邊得出，在結(jié)合余弦定理求分別求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值.【詳解】利用正弦定理結(jié)合條件可知：，即，由余弦定理即，故，，在中由余弦定理可知：，在中由余弦定理可知：，整理得：即.故選：D7．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，其中，，則的最小值為（）。 A．2 B． C．4 D．【答案】C【詳解】由得，所以圓心為，又圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過圓心，即，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：C.8．已知，若0是的極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（）。 A． B． C． D．【答案】B【分析】通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，滿足，然后分類討論利用導(dǎo)數(shù)法研究的符號(hào)，根據(jù)極小值點(diǎn)的概念判斷即可.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，又由是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，還需分析在附近的符號(hào)變化，令，則，，當(dāng)時(shí)，，即在附近單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足0是的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，此時(shí)無極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即在附近單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)0是的極大值點(diǎn)，不符合題意；綜上所述：a的取值范圍為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，則（）。 A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AD【詳解】對(duì)于A，由，可得，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由，可得，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確．故選：AD．10．下列選項(xiàng)正確的是（）。 A．若隨機(jī)變量，且，則 B．一組數(shù)據(jù)88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位數(shù)為92 C．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為8 D．已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則樣本點(diǎn)處殘差為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，若隨機(jī)變量，且，又，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：第50百分位數(shù)（中位數(shù)）為：.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于C，若樣本數(shù)據(jù)的方差，則數(shù)據(jù)的方差，故C正確；對(duì)于D，樣本中心為代入回歸方程，得，解得，則，當(dāng)時(shí)，，故樣本點(diǎn)處的殘差為，故D正確；11．已知是雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若，則下列結(jié)論正確的是（）。 A． B． C．離心率 D．若，則【答案】ABD【詳解】如圖，∵，∴，，∵點(diǎn)F到兩條漸近線的距離相等，∴，故A正確；∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正確；由B知，一條漸近線的斜率，則，故C不正確；由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正確，故選：ABD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則____________．【答案】2【詳解】由題意知，所以，由及拋物線定義，得，解得．故答案為：2．13．將一個(gè)圓心角為、面積為的扇形卷成一個(gè)圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為_________．【答案】【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得，，易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，，且點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，其表面積為.故答案為：.14．已知函數(shù)，若，且在上有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，則____________________.【答案】/【分析】求出，根據(jù)在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)證明，求出，即可求解.【詳解】，，，或，或.當(dāng)，時(shí)，在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，，即，，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）2025年春節(jié)期間，電影《哪吒之魔童降世2》票房破百億，整個(gè)電影界都為之歡騰，這是中國(guó)動(dòng)畫電影的一大步，也是世界電影史上的一次壯麗篇章.某調(diào)查小組隨機(jī)抽取100位市民，將市民的年齡和是否看過電影《哪吒之魔童降世2》的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：看過沒看過合計(jì)不超過35周歲302050超過35周歲153550合計(jì)4555100(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民的年齡和是否看過電影《哪吒之魔童降世2》有關(guān)聯(lián)？(2)根據(jù)列聯(lián)表的信息，表示“選到的市民沒看過《哪吒之魔童降世2》”，表示“選到的市民超過35周歲”，求和的值；(3)現(xiàn)從參與調(diào)查的不超過35周歲的市民中，按是否看過用分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，從抽取的5人中再抽取3人贈(zèng)送《哪吒之魔童降世2》的電影票，求這3人中，看過《哪吒之魔童降世2》的人數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)，.(3)分布列見解析，【分析】（1）計(jì)算的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷即可；（2）根據(jù)條件概率及古典概型求解即可；（3）根據(jù)分層抽樣求出看過和沒看過《哪吒之魔童降世2》的人數(shù)，進(jìn)而可知的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率即可得到分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）零假設(shè)：假設(shè)市民的年齡和是否看過電影《哪吒之魔童降世2》無關(guān)聯(lián)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為市民的年齡和是否看過電影《哪吒之魔童降世2》有關(guān)聯(lián).（2），.（3）按照分層抽樣，抽取的5人中看過《哪吒之魔童降世2》的有3人，沒看過《哪吒之魔童降世2》的有2人，可得的所有可能取值為1，2，3，此時(shí)，，，則的分布列為：123所以.16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，且．(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由線段關(guān)系證，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直，利用線線垂直證線面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面角即可.【詳解】（1）由題意，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）如圖，以A為原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過點(diǎn)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．17．（15分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由的關(guān)系求解即可；（2）由題意，利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列求和公式即可求解；（3）由題意得，由裂項(xiàng)相消法即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，又，所以，即，所以，即，因?yàn)椋詳?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）因?yàn)?，所以，①，②①－②得，所以．?）因?yàn)?，所以，易知是增函?shù)，所以，所以．18．（17分）已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn).（i）若為原點(diǎn)，求面積的最大值；（ii）點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是線段上異于的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，且，求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）1.【分析】（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，用待定系數(shù)法求解橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示三角形面積，進(jìn)而進(jìn)行判斷；（ii）由可知直線的傾斜角互補(bǔ)，用距離公式表示并作比值求解.【詳解】（1）由對(duì)稱性知，和在橢圓C上，所以，所以，C的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，由消去得：，則，則或.，面積令，則，，當(dāng)且，即時(shí)，面積的最大值為.（ii）因?yàn)?，所以直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以.于是，，.所以，于是，因?yàn)椋?所以的值1.19．（17分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)的極值點(diǎn)為，若．求證：．【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最小值；（2）①利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可證明；②根據(jù)①的結(jié)果，得，再將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)，逐層判斷函數(shù)的單調(diào)性，分和，利用最值證明不等式.【詳解】（1）由，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)