培優(yōu)課2指、對、冪的大小比較指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點之一，其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點和難點，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運算性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).技法一直接法比較大小角度1利用函數(shù)的單調(diào)性法比較大小若a=1.53，b=1.52，c=0.82，則()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>a>c D．b>c>a答案：A解析：函數(shù)y=1.5x在R上單調(diào)遞增，函數(shù)y=0.8x在R上單調(diào)遞減，所以1.53>1.52>1.50=1=0.80>0.82，所以a>b>c.故選A．角度2利用中間值法比較大小設(shè)a=202512026，b=log20252026，c=logA．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c答案：D解析：a=202512026>20250=1，0=log20251<b=log20252026<log20252025=1，c=log120262025=-log20262025<0，故c<0角度3利用特殊值法比較大小已知a>b>1，0<c<12，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c<bc B．a(chǎn)bc<bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac<logbc答案：C解析：取特殊值，令a=4，b=2，c=14，則ac=414，bc=214，所以ac>bc，故A錯誤；abc=4×214=294，bac=2×414=232，所以abc>bac，故B錯誤；logac=log414=-1，logbc=log214=-2，alogbc=-8，blogac=-2，所以alogbc<blogac，logac學(xué)生用書?第44頁在指數(shù)、對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“-1，0，12，1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，進而可估計log23是一個1~2之間的數(shù)，從而便于比較對點練1.已知a=1.60.3，b=1.60.8，c=0.70.8，則()A．c<a<b B．a(chǎn)<b<cC．b>c>a D．a(chǎn)>b>c答案：A解析：y=1.6x是增函數(shù)，故a=1.60.3<b=1.60.8，而1.60.3>1>c=0.70.8，故c<a<b.故選A．對點練2.(2024·天津卷)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a答案：B解析：因為y=4.2x在R上單調(diào)遞增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b，因為y=log4.2x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，所以b>a>c.故選B．技法二利用指數(shù)、對數(shù)及冪的運算性質(zhì)化簡比較大小(1)(2024·山東臨沂模擬)已知a=log34，b=log45，c=log56，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>c>a D．c>a>b(2)(2024·河南鄭州模擬)已知a=log63，b=log84，c=lg5，則()A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案：(1)A(2)D解析：(1)因為a=log34=lg4lg3，b=log45=lg5lg4，c=log56=lg6lg5，所以a-b=lg4lg3-lg5lg4=lg42-lg3lg5lg3lg4，因為lg3lg5<lg3+lg524=lg1524<lg1624=2lg424=lg42，所以lg42-lg3lg5>0，lg3lg4(2)由題意得，a=log63=log662=1-log62=1-1log26，b=log84=log882=1-log82=1-1log28，c=lg5=lg102=1-lg2=1-1log210，因為函數(shù)y=log2x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以log26<log28<log2如果兩個指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過指數(shù)或真數(shù)的大小與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)公式及性質(zhì)，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況.對點練3.已知a=2100，b=365，c=930，則a，b，c的大小關(guān)系是(參考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a答案：B解析：c=930=360，a=2100?lga=lg2100=100lg2≈30.1，b=365?lgb=lg365=65lg3≈31.0115，c=930?lgc=lg360=60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c.故選B．技法三構(gòu)造函數(shù)法比較大小(1)已知a=e，b=3log3e，c=5ln5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<a<b B．a(chǎn)<c<bC．b<c<a D．a(chǎn)<b<c(2)(2024·湖南郴州質(zhì)量檢測)設(shè)13a=log2a，2b=log13b，14c=5，則a，bA．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<b<c D．b<c<a答案：(1)D(2)B解析：(1)設(shè)f(x)=xlnx，x≥e，則f'(x)=lnx-1lnx2≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在[e，+∞)上單調(diào)遞增，又a=fe，b=3log3e=3ln3=f(3)，c=5ln5=f(5)，因為e<3<5，所以f(e)<f(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)=log2x-13x，因為函數(shù)y=log2x，y=-13x在(0，+∞)上均為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)為(0，+∞)上的增函數(shù)，且f(1)=-13<0，f(2)=89>0，因為f(a)=0，由零點存在定理可知1<a<2；構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x-log13x，因為函數(shù)y=2x，y=-log13x在(0，+∞)上均為增函數(shù)，所以函數(shù)g(x)為(0，+∞)上的增函數(shù)，且g19=219-2<0，g13=213-1>0，因為g(b)=0，由零點存在定理可知19<b<13.因為14c=某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但要細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小.對點練4.(1)設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x=log3y=log5z>1，則x2，y3A．z5<y3<x2 B．x2C．y3<x2<z5 D．x2(2)(2024·江西南昌模擬)設(shè)a=e1.3-27，b=41.1-4，c=2ln1.1，則(A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案：(1)B(2)B解析：(1)由x，y，z為正實數(shù)，設(shè)log2x=log3y=log5z=k>1，可得x=2k>2，y=3k>3，z=5k>5.所以x2=2k-1>1，y3=3k-1>1，z5=5k-1>1，令f(x)=xk-1，因為f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以f(2)<f(3)<f(5)，即x2<y3<(2)因為e1.32=e2.6<e3<33，272=28>33，所以e1.3<27，所以a<0；b-c=41.1-4-2ln1.1=2(21.1-2-ln1.1)，令f(x)=2x-2-lnx，所以f'(x)=1x-1x=x-1x，所以當0<x<1時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x>1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1)=0，所以f(1.1)>0，即21.1-2-ln1.1>0，所以c<b，又c=2ln課時測評14指、對、冪的大小比較對應(yīng)學(xué)生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(每小題5分，共60分)1.設(shè)a=0.81.1，b=0.80.8，c=1.10.8，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c答案：C解析：因為函數(shù)y=0.8x為減函數(shù)，所以0.81.1<0.80.8<1，即a<b<1，又c=1.10.8>1，所以a<b<c.故選C．2.(2025·湖北武漢四調(diào))記a=30.2，b=0.3-0.2，c=log0.20.3，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c答案：D解析：因為b=0.3-0.2=1030.2，冪函數(shù)y=x0.2在0，+∞上單調(diào)遞增，又103>3，所以1030.2>30.2>30=1，所以b>a>1，又對數(shù)函數(shù)y=log0.2x在0，+∞上單調(diào)遞減，所以c=log0.20.3<log0.3.(2025·貴州貴陽模擬)已知1m>1n>1，a=nn，b=nm，c=mn，則a，b，c的大小關(guān)系正確的為(A．c>a>b B．b>a>cC．b>c>a D．a(chǎn)>b>c答案：B解析：由題意1m>1n>1，故0<m<n<1，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，y=nx單調(diào)遞減，故b>a，由冪函數(shù)的單調(diào)性，y=xn在(0，+∞)上單調(diào)遞增，故a>c，綜上，b>a>c.故選4.(2024·山東濟寧聯(lián)考)若a=log382，b=log215，c=0.2-1.1，則()A．b<a<c B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a答案：A解析：因為5=log335>a=log382>log381=4=log216>b=log215，c=0.2-1.1=51.1>5，所以b<a<c.故選A．5.設(shè)a=log0.30.2，b=log32，c=log3020，則()A．c<b<a B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．a(chǎn)<c<b答案：B解析：a=log0.30.2>log0.30.3=1，b=log32<log33=1，c=log3020<log3030=1，所以a>b，a>c，b-c=log32-log3020=lg2lg3-1+lg21+lg3=lg2-lg3lg31+lg3<0，所以c>b，6.(2024·山東濰坊模擬)若3x=4y=10，z=logxy，則()A．x>y>z B．y>x>zC．z>x>y D．x>z>y答案：A解析：因為3x=4y=10，所以x=log310>log39=2，1=log44<y=log410<log416=2，則1<y<2，所以x>y>1，而z=logxy<logxx=1，所以x>y>z.故選A．7.設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則()A．3y<2x<5z B．2x<3y<5zC．3y<5z<2x D．5z<2x<3y答案：A解析：令2x=3y=5z=k(k>1)，則x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以2x3y=2lgklg2·lg33lgk=lg9lg8>1，則2x>3y，2x5z=2lgklg2·lg55lgk=lg25lg32<1，則8.(多選)(2025·河南名校模擬)已知正數(shù)x，y滿足x>y，則下列選項正確的是()A．log2(x2+1)>log2(y2+1)B．cosx>cosyC．(x+1)3>(y+1)3D．e-x+1>e-y+1答案：AC解析：對于A，因為x>y>0，所以x2+1>y2+1>0，又y=log2x在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以log2(x2+1)>log2(y2+1)，故A正確；對于B，不妨取x=π2，y=π4，則cosπ2=0<cosπ4=22，故B錯誤；對于C，因為x>y>0，所以x+1>y+1>1，所以(x+1)3>(y+1)3，故C正確；對于D，因為x>y>0，所以-x+1<-y+1，又y=ex在R上單調(diào)遞增，所以e-x+1<e-y+1，故D9.(2024·河北唐山模擬)已知log4m=920，log12n=14，0.9p=0.8，則正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為(A．p>m>n B．m>n>pC．m>p>n D．p>n>m答案：A解析：由log4m=920，得m=4920=2910<2，由log12n=14，得n=1214，mn=49201214=4120×912120×5=49125120=4935×45120=4435120=256243120>1，因此210.已知a=π2，b=2π，c=4，則(A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a答案：D解析：先比較a和c的大?。篴2=π22=π2，c2=42=222=222，因為22<232=22<π，所以222<π2，所以a>c.然后比較b和c的大?。阂驗閎2=22π=2π<24=11.(多選)(2024·山東聊城模擬)已知0<a<b<1，c>1，則()A．a(chǎn)c>bc B．logac>logbcC．a(chǎn)logac>blogbc D．a(chǎn)c>ba答案：BC解析：對于A，因為c>1，所以y=xc在(0，+∞)上單調(diào)遞增，所以ac<bc，故A錯誤；對于B，由c>1可知函數(shù)y=logcx單調(diào)遞增，又0<a<b<1，故logca<logcb<0，所以1logca>1logcb，即logac>logbc，故B正確；對于C，由題可知0>logac>logbc，0<-logac<-logbc，0<a<b<1，故-alogac<-blogbc，即alogac>blogbc，故C正確；對于D，函數(shù)y=ax單調(diào)遞減，y=xa單調(diào)遞增，0<a<b<1<c，故ac<aa<ba12.已知2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1)，則a，b，c從小到大的關(guān)系是.

答案：a<c<b解析：由2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1)，可得2a=-a+k，log2b=-b+k，log3c=-c+k，且k<1，分別作出函數(shù)y=2x，y=log2x，y=log3x和y=-x+k的圖象，如圖，由圖可知：a<c<b.(每小題8分，共16分)13.已知a=log32，b=log64，c=log96，則()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b答案：B解析：當a>b>0，m>0時，有a-b>0，則b+ma+m-ba=ab+m-ba+maa+m=ma-baa+m>0，所以ba<b+ma+m14.(多選)(2024·江西萍鄉(xiāng)二模)已知2a=5b=10，則下列關(guān)系正確的是()A．ea-b>1B．a(chǎn)+b<abC．a(chǎn)+4b<9D．1a+12+答案：AD解析：因為2a=5b=10，所以a=log210=1lg2，b=log510=1lg5，對于A，a-b=1lg2-1lg5=lg5-lg2lg5·lg2>0，所以ea-b>e0=1，故A正確；對于B，a+b-ab=1lg2+1lg5-1lg2·1lg5=lg5+lg2-1lg5·lg2=lg10-1lg5·lg2=0，所以a+b=ab，故B不正確；對于C，因為a，b>0，1a+1b=lg2+lg5=1，所以a+4b=a+4b1a+1b=4ba+ab+5≥24ba·ab+5=9，而a≠2b，故上述不等式等號不成立，則a+4b>9，故C不正確；對于D，1a+1