第七節(jié)對數與對數函數【課程標準】1.理解對數的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.2.通過具體實例，了解對數函數的概念.能畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與圖象中的特殊點.3.知道對數函數y=logax與指數函數y=ax(a>0，且a≠1)互為反函數.1.對數的概念(1)如果ab=N(a>0且a≠1)，那么數b叫作以a為底，(正)數N的對數，記作b=logaN，其中a叫作對數的底數，N叫作真數.(2)對數的基本恒等式alogaN=N(N>0，a>0且a≠1)，b=logaab(b∈R，a>0且a≠1)，logaa=1，loga(3)常用對數與自然對數常用對數將以10為底的對數叫作常用對數把log10N記為lgN自然對數將以無理數e=2.71828…為底的對數叫作自然對數把logeN記為lnN2.運算法則(1)對數的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(M·N)=logaM+logaN；②logaMn=nlogaM(n∈R)；③logaMN=logaM-logaN④logamMn=nmlog(2)對數的重要公式①換底公式：logbN=logaNlogab②logab=1logba，推廣logab·logbc·logcd=3.對數函數的圖象與性質表達式y(tǒng)=logax(0<a<1)y=logax(a>1)圖象定義域(0，+∞)值域(-∞，+∞)性質函數圖象過定點(1，0)，即loga1=0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0在(0，+∞)上遞減在(0，+∞)上遞增[微提醒]y=logax(a>0且a≠1)的圖象只在第一、四象限，即在直線x=0的右側.4.反函數指數函數y=ax和對數函數y=logax互為反函數，它們的圖象關于直線y=x軸對稱.【常用結論】(1)換底公式的三個重要結論①logab=1lo②loganbm=mnlog③logab·logbc·logcd=logad.(2)對數函數圖象的特點①對數函數的圖象恒過點(1，0)，(a，1)，1a，-1②函數y=logax與y=log1ax(a>0，且a≠1)的圖象關于x③在第一象限內，不同底數的對數函數的圖象從左到右底數逐漸增大.學生用書?第40頁【自主檢測】1.(多選)下列結論正確的是()A．若M·N>0，則loga(M·N)=logaM+logaNB．對數函數y=logax(a>0且a≠1)在(0，+∞)上是增函數C．函數y=ln1+x1-x與y=ln(1+x)-D．對數函數y=logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)且過點(a，1)，1a，-答案：CD2.已知實數a=log32，b=log2π，c=log210，則有()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a答案：A解析：因為f(x)=log2x在(0，+∞)上為增函數，且2<π<10，所以c>b>1.又a=log32<1，所以a<b<c.故選A．3.log23·log34·log42=.

答案：1解析：log23·log34·log42=log22=1.4.已知函數y=logax-3-1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是答案：(4，-1)5.函數y=log23(答案：1解析：由log23(2x-1)≥0，得0<2x-1≤1，所以12<x≤1.所以函數y=lo考點一對數的運算多維探究角度1對數式的化簡與計算計算下列各式：(1)log225·log3(22)·log59(2)lg2+(3)log23·log38+(3解：(1)法一：log225·log3(22)·log59=log252·log3232·log532=6log25·log32·log53法二：log225·log3(22)·log59=lg25lg2·lg(22)lg3·(2)原式=lg2×58lg(3)原式=lg3lg2·3lg2lg3+312log34=3+角度2指數式與對數式的綜合運算(1)已知loga12=m，loga3=n，則am+2n=A．3 B．34C．9 D．9(2)設2a=5b=m，且1a+1b=2，則m=(A．10 B．10C．20 D．100答案：(1)D(2)A解析：(1)因為loga12=m，loga3=n，所以am=12，an=3.所以am+2n=am·a2n=am·(an)2=12×(2)因為2a=5b=m，所以log2m=a，log5m=b，所以1a+1b=1log2m+1log5m=logm2+logm5=logm10=2，所以m2=10，所以m=1.對數運算的一般思路

(1)拆：首先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后利用對數運算性質化簡合并.

(2)合：將對數式化為同底數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算性質，轉化為同底對數真數的積、商、冪的運算.

2.指對互化的轉化技巧

對于將指數恒等式ax=by=cz作為已知條件，求函數f(x，y，z)的值的問題，通常設ax=by=cz=k(k>0)，則x=logak，y=logbk，z=logck，將x，y，z的值代入函數f(x，y，z)求解. 對點練1.(1)已知2a=5，log83=b，則4a-3b=()A．25 B．5 C．259 D．(2)log23·log38+3log34=答案：(1)C(2)5解析：(1)2a=5，8b=3，2a-3b=2a23b=2a8b=53，4a-3b(2)原式=lg3lg2·3lg2lg3+312log34=3+學生用書?第41頁考點二指數與對數運算的實際應用師生共研(1)(2024·北京卷)生物豐富度指數d=S-1lnN是河流水質的一個評價指標，其中S，N分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好.如果某河流治理前后的生物種類數S沒有變化，生物個體總數由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數由2.1提高到3.15，則A．3N2=2N1 B．2N2=3N1C．N22=N13 D(2)(多選)(2025·湖南長沙模擬)氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生β衰變，其半衰期約是12.43年.樣本中氚的質量N隨時間t(單位：年)的衰變規(guī)律滿足N=N0·2-t12.43，其中N0表示氚原有的質量，則(參考數據：lg2≈0A．t=12.43log2NB．經過24.86年后，樣本中的氚元素會全部消失C．經過62.15年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?D．若x年后，樣本中氚元素的含量為0.4N0，則x>16答案：(1)D(2)CD解析：(1)由題意得S-1lnN1=2.1，S-1lnN2=3.15，則2.1lnN1=3.15lnN2，即2lnN1=3ln(2)由題意得N=N0·2-t12.43，故有NN0=2-t12.43，左右同時取對數得log2NN0=-t12.43，故得t=-12.43log2NN0，故A錯誤；當t=24.86時，N=N0·2-24.8612.43=2-2·N0=14N0，故B錯誤；而當t=62.15時，N=N0·2-62.1512.43=2-5·N0=132N0，得到經過62.15年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?32，故C正確；由題意得0.4N0=N0·2-x12.43，化簡得x=-12.43log20.4N0N0=-12.43log225=-12.43(log22-log25)=-12.43(1解決指數、對數運算實際應用問題的步驟

第一步：理解題意、理清條件與所求之間的關系；

第二步：運用指數或對數的運算公式、性質等進行運算，把題目條件轉化為所求.對點練2.(1)(2025·重慶九龍坡期末)放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設初始質量為M0，質量M與時間T(單位：天)的函數關系式為M=M0·12TH(其中H為常數)，若鍶89的半衰期(質量衰減一半所用時間)約為50天，那么質量為M0的鍶89經過30天衰減后質量約變?yōu)?參考數據：20.6≈1.A．0.72M0 B．0.70M0C．0.67M0 D．0.66M0(2)(多選)(2025·安徽六安期末)地震釋放的能量E與地震震級M之間的關系式為lgE=4.8+1.5M，2024年8月12日日本宮崎縣發(fā)生的7.1級地震釋放的能量為E1，2023年1月28日伊朗西北發(fā)生的5.9級地震釋放的能量為E2，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼馬拉什省發(fā)生的7.7級地震釋放的能量為E3，下列說法正確的是()A．E1約為E2的10倍B．E3超過E2的100倍C．E3超過E1的10倍D．E3低于E1的10倍答案：(1)D(2)BD解析：(1)由題意，鍶89的半衰期(質量衰減一半所用的時間)約為50天，即12M0=M0·1250H，則H=50，所以質量為M0的鍶89經過30天衰減后，質量大約為M0·123050=M0·120.6=M0·120.6(2)對于A，lgE1-lgE2=1.5×7.1-5.9，所以E1E2=101.8，故A錯誤；對于B，lgE3-lgE2=1.5×7.7-5.9，E3E2=102.7>100，故B正確；對于C，lgE3-lgE1=1.5×7考點三對數函數的圖象及應用自主練透1.函數y=logax與y=-x+a在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()答案：A解析：當a>1時，函數y=logax的圖象為選項B，D中過點(1，0)的曲線，此時函數y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足a>1，選項B，D中的圖象都不符合要求；當0<a<1時，函數y=logax的圖象為選項A，C中過點(1，0)的曲線，此時函數y=-x+a的圖象與y軸的交點的縱坐標a應滿足0<a<1，只有選項A中的圖象符合要求.故選A．2.(2024·廣東佛山模擬)已知函數f(x)=|lnx|，若0<a<b，且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是.

答案：(3，+∞)解析：f(x)=|lnx|的圖象如圖，因為f(a)=f(b)，所以|lna|=|lnb|，因為0<a<b，所以lna<0，lnb>0，所以0<a<1，b>1，所以-lna=lnb，所以lna+lnb=ln(ab)=0，所以ab=1，則b=1a，所以a+2b=a+2a，令g(x)=x+2x(0<x<1)，則g(x)在(0，1)上單調遞減，所以g(x)>g(1)=1+2=3，所以a+2b>3，所以a+2b的取值范圍為(3，+∞3.已知函數f(x)=log2x，x>0，3x，x≤0，關于答案：(1，+∞)解析：問題等價于函數y=f(x)與y=-x+a的圖象有且只有一個交點，結合函數圖象可知a>1，所以實數a的取值范圍是(1，+∞).對數函數圖象的識別及應用方法

1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.

2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.學生用書?第42頁對點練3.(1)(多選)已知函數f(x)=logax-b(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則以下說法正確的是(A．-1<b<0 B．a+b>0C．0<a<1 D．loga|b|<0(2)若方程4x=logax在0，12上有解，則實數a的取值范圍為答案：(1)ABD(2)0解析：(1)由圖象可知f(x)在定義域內單調遞增，所以a>1，故C錯誤；令f(x)=loga(x-b)=0，即x=b+1，所以函數f(x)的零點為b+1，結合函數圖象可知0<b+1<1，所以-1<b<0，故A正確；因此a+b>0，故B正確；因為0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D正確.故選ABD．(2)若方程4x=logax在0，12上有解，則函數y=4x和函數y=logax的圖象在0，12上有交點，由圖象知0<考點四對數函數的性質及應用多維探究角度1比較對數式的大小(2025·河南開封模擬)已知a=log2e，b=ln2，c=log1213，則a，b，c的大小關系為A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b答案：D解析：法一：(中間量法)因為a=log2e>1，b=ln2∈(0，1)，c=log1213=log23>log2e>1，所以c>a>b法二：(圖象法)log1213=log23，在同一平面直角坐標系中作出函數y=log2x，y=lnx的圖象，如圖，由圖可知c>a>b比較對數式大小的方法

若底數相同，真數不同若底數為同一常數，可由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，則需對底數進行分類討論若底數不同，真數相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較若底數與真數都不同常借助1，0等中間量進行比較

角度2解對數方程、不等式已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f(x)單調遞減，則不等式f(log13(2x-5))>f(log38)的解集為.答案：52，解析：因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在(-∞，0]上單調遞減，所以函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增，故f(log13(2x-5))>f(log38)可化為|log132x-5|>|log38|，即log3(2x-5)>log38或log3(2x-5)<-log38=log318，即2x-5>8或0<2x-5<1求解對數不等式的兩種類型及方法

1.logax>logab：借助y=logax的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論.

2.logax>b：需先將b化為以a為底的對數式的形式，再借助y=logax的單調性求解.角度3對數型函數的綜合問題(多選)已知函數f(x)=ln2x+12x-A．f(x)為奇函數B．f(x)為偶函數C．f(x)在12D．f(x)的值域為(-∞，0)∪(0，+∞)答案：ACD解析：f(x)=ln2x+12x-1，令2x+12x-1>0，解得x>12或x<-12，所以f(x)的定義域為-∞，-12∪12，+∞，又f(-x)=ln-2x+1-2x-1=ln2x-12x+1=ln2x+12x-1-1=-ln2x+12x-1=-f(x)，所以f(x)為奇函數，故A正確，B錯誤.又f(x)=ln2x+12x-1=ln1+22x-1，令t=1+22x-1，解決與對數函數有關的復合函數的單調性問題需關注三點

一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；

二是底數與1的大小關系；

三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的，判斷內層函數和外層函數的單調性，運用復合函數“同增異減”原則確定函數的單調性.對點練4.(1)(2024·遼寧沈陽調研)已知a=log2.57，b=log415，c=12-1，則下列判斷正確的是A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．b<c<a(2)(2024·廣東深圳聯(lián)考)已知函數f(x)=loga(6-ax)(a>0，且a≠1)在(0，2)上單調遞減，則實數a的取值范圍是()A．(1，3] B．(1，3)C．(0，1) D．(1，+∞)(3)(多選)(2025·安徽蚌埠模擬)已知函數f(x)=log4(1+4x)-12x，則下列說法中正確的是(A．函數f(x)的圖象關于原點對稱B．函數f(x)的圖象關于y軸對稱C．函數f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調遞減D．函數f(x)的值域為1答案：(1)D(2)A(3)BD解析：(1)因為a=log2.57>log2.52.52=2，b=log415<log416=2，c=12-1=2，所以b<c<a.(2)令t(x)=6-ax，因為a>0，所以t(x)=6-ax為減函數.又由函數f(x)=loga(6-ax)在(0，2)上單調遞減，可得函數t(x)=6-ax>0在(0，2)上恒成立，且a>1，故有a>1，6-2a≥0，(3)易知f(x)的定義域為R，f(x)=log4(1+4x)-log44x2=log41+4x2x=log4(2-x+2x)，由于f(-x)=log4(2x+2-x)=f(x)，因此f(x)為偶函數，故A錯誤，B正確；令t=2x，則y=log4t+1t，令s=t+1t，則y=log4s，當x∈[0，+∞)時，t∈[1，+∞)，所以s=t+1t在定義域上為增函數，又y=log4s在定義域上為增函數，所以y=log4t+1t為增函數，又t=2x為增函數，所以f(x)在區(qū)間[0，+∞)上單調遞增，故C錯誤；又f(x)為R上的偶函數，所以f(x)≥f(0)=12，學生用書?第43頁1.[真題再現](2024·全國甲卷)已知a>1，且1log8a-1loga4=-答案：64解析：由題1log8a-1loga4=3log2a-12log2a=-52，整理得log2a2-5log2a-6=0，?log2a=-1或log2a=6，又a>1，所以log2a=[教材呈現](湘教版必修一P126T15)已知log4(x+2)+log2(x+2)2=5，求x的值.點評：高考題與教材習題都是通過解方程來考查對數的運算性質及換底公式等基本知識技能.2.[真題再現](2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為(1010≈1.259)(A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6答案：C解析：由L=5+lgV，當L=4.9時，lgV=-0.1，則V=10-0.1=10-110=11010≈11.259[教材呈現](湘教版必修一P121練習4)我們都處于有聲世界之中.音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強度為I的聲波，音量的定義是η=10lgII0，這里I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度，I0=10-12W/m(1)如果I=1W/m2，求相應的分貝值；(2)70dB時的聲音強度I是60dB時聲音強度I'的多少倍?點評：高考題與教材習題都是以實際問題為背景考查對數的基本運算.3.[真題再現](2020·全國Ⅲ卷)設a=log32，b=log53，c=23，則(A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b答案：A解析：因為a=13log323<13log39=23=c，b=13log533>13log525=23=c，[教材呈現](湘教版必修一P122例11)比較下列各組中兩個數的大?。?1)log27.6和log28.7；(2)log127.6和log12(3)loga7.6和loga8.7(a>0且a≠1)；(4)log0.82和20.8.點評：本高考題是教材例題的拓展，由于a和b的底數不同，故不能直接利用單調性比較大小，需變形后比較大小，而變形的過程中應用了函數的單調性.課時測評13對數與對數函數對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(1-9，每小題5分，共45分)1.(2024·重慶模擬)函數f(x)=ln2x-1+x-A．[0，1] B．0C．12，1答案：C解析：由題意可得2x-1>0，x-x2≥0，解得12<x≤1，所以函數f(x2.(2024·廣東廣州模擬)已知a=2ln4，b=ln3ln2，c=32，則A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a答案：D解析：a=22ln2=1ln2=log2e，b=ln3ln2=log23，c=32=log2232=log28，因為3>8>e，3.(2024·山東濟寧模擬)已知a=log23，b=log25，則log415=()A．2a+2b B．a+bC．ab D．12a+1答案：D解析：log415=12log215=12(log23+log25)=12a+12b4.已知函數f(x)=|log2x|，則不等式f(x)<2的解集為()A．(-4，0)∪(0，4) B．(0，4)C．14，4答案：C解析：f(x)=|log2x|<2?-2<log2x<2?2-2<x<22?x∈14，4.5.(多選)(2024·山東煙臺模擬)已知函數f(x)的圖象與g(x)=2x的圖象關于直線y=x對稱，令h(x)=f(1-|x|)，則關于函數h(x)，下列說法正確的是()A．h(x)的圖象關于原點對稱B．h(x)的圖象關于y軸對稱C．h(x)的最大值為0D．h(x)在區(qū)間(-1，1)上單調遞增答案：BC解析：由題意得f(x)=log2x，則h(x)=log2(1-|x|)，為偶函數，故A錯誤，B正確；根據偶函數性質可知D錯誤；因為1-|x|≤1，所以h(x)≤log21=0，故C正確.故選BC．6.(多選)已知函數f(x)=|logax+1|(a>1)，下列說法正確的是(A．函數f(x)的圖象恒過定點(0，0)B．函數f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調遞減C．函數f(x)在區(qū)間-12D．若對任意x∈[1，2]，f(x)≥1恒成立，則實數a的取值范圍是(1，2]答案：ACD解析：將(0，0)代入函數f(x)=|logax+1|(a>1)，成立，故A正確；當x∈(0，+∞)時，x+1∈(1，+∞)，又a>1，所以f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)，由復合函數單調性可知，當x∈(0，+∞)時，f(x)=|logax+1|=logax+1單調遞增，故B錯誤；當x∈-12，1時，x+1∈12，2，所以f(x)=|logax+1|≥loga1=0，故C正確；當x∈[1，2]時，f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)≥1恒成立，所以由函數為增函數知loga2≥1，解得17.(2024·安徽淮北模擬)計算：12-2+4log22+lo答案：10解析：12-2+4log22+log24=22+22log228.(開放題)(2024·廣東韶關模擬)已知函數f(x)滿足：①定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)；②值域為R；③f(-x)=f(x)，則一個滿足上述條件的函數f(x)=.

答案：ln|x|(答案不唯一)解析：f(x)=ln|x|的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為R，且f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)，因此f(x)=ln|x|符合題意.9.已知函數f(x)=log2(x+1)-|x|，則不等式f(x)>0的解集是.

答案：(0，1)解析：不等式f(x)>0?log2(x+1)>|x|，分別畫出函數y=log2(x+1)和y=|x|的圖象，由圖象可知y=log2(x+1)和y=|x|的圖象有兩個交點，分別是(0，0)和(1，1)，由圖象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1).10.(13分)已知f(x)=log1(1)若a=2，求f(x)的值域；(5分)(2)若f(x)在(1，+∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍.(8分)解：(1)當a=2時，f(x)=log13(x2-2x+令t=x2-2x+10=(x-1)2+9，所以t≥9，f(x)≤log139=-所以f(x)的值域為(-∞，-2].(2)令u(x)=x2-ax+5a，因為y=log13u(x)所以u(x)=x2-ax+5a在(1，+∞)上單調遞增，所以a2≤1，1+4a≥0所以實數a的取值范圍是-111.(14分)已知函數f(x)=log21+axx-1(a(1)求a的值與函數f(x)的定義域；(6分)(2)當x∈(1，+∞)時，f(x)+log2(x-1)>m恒成立，求實數m的取值范圍.(8分)解：(1)因為函數f(x)=log21+axx-1是奇函數，所以f(-x)=-f(x)，所以log21-ax-x-1=-log21+axx-1，即log2ax-1x+1=log2x-11+ax，由ax-1x+1=x-11+ax，解得a=1或a=-1(不合題意，舍去)，所以f(x)=(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x)，當x>1時，x+1>2，所以log2(1+x)>log22=1.因為x∈(1，+∞)時，f(x)+log2(x-1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范圍是(-∞，1]