第七節(jié)概率與統(tǒng)計的綜合問題題型一頻率分布直方圖與分布列的綜合問題(2025·山東青島模擬)為促進全民閱讀，建設(shè)書香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計了高一年級共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時間(單位：分鐘)，得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3∶2∶1.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學(xué)生假期日均閱讀時間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)開學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時間處于[80，100)的人數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：(1)設(shè)后三個小矩形的高度分別為3a，2a，a，由題知：(3a+2a+a+0.0125+0.0075)×20=1，解得a=0.005，所以各組頻率分別為0.15，0.25，0.3，0.2，0.1.日均閱讀時間的平均數(shù)為30×0.15+50×0.25+70×0.3+90×0.2+110×0.1=67(分鐘).(2)由題意，在[60，80)，[80，100)，[100，120]三組分別抽取3，2，1人，X的可能取值為0，1，2，則P(X=0)=C43C20C63=15，P(XP(X=2)=C41C2所以X的分布列為：X012P131E(X)=0×15+1×35+2×15統(tǒng)計圖表與概率綜合問題的求解策略1.正確識讀統(tǒng)計圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù).2.根據(jù)統(tǒng)計原理即用樣本數(shù)字特征估計總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學(xué)模型(函數(shù)模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等).3.正確進行運算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計總體或作為科學(xué)的決策與判斷對點練1.(2025·廣東潮州模擬)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)已知某用戶從該企業(yè)購買了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于[35，45]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率估計概率，求X的分布列.解：(1)由已知得，x=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×0.020×10=25.(2)因為購買一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于[35，45]內(nèi)的概率為0.2，所以X~B(3，0.2)，因為X的所有可能取值為0，1，2，3，所以P(X=0)=(1-0.2)3=0.512，PX=1=C31×0.2×1-PX=2=C32×0.22×1-P(X=3)=0.23=0.008.所以X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.008學(xué)生用書?第304頁題型二回歸模型與分布列的綜合問題(2025·江蘇南京六校聯(lián)考)某制藥公司研發(fā)一種新藥，需要研究某種藥物成分的含量x(單位：mg)與藥效指標(biāo)值y(單位：m)之間的關(guān)系，該公司研發(fā)部門進行了20次試驗，統(tǒng)計得到一組數(shù)據(jù)xi，yi(i=1，2，…，20)，其中xi，yi分別表示第i次試驗中這種藥物成分的含量和相應(yīng)的藥效指標(biāo)值，已知該組數(shù)據(jù)中y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且∑i=120xi=60，∑i=120yi=1200，∑i=120xi2=(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程y∧=b∧x+(2)該公司要用A與B兩套設(shè)備同時生產(chǎn)該種新藥，已知設(shè)備A的生產(chǎn)效率是設(shè)備B的2倍，設(shè)備A生產(chǎn)藥品的不合格率為0.009，設(shè)備B生產(chǎn)藥品的不合格率為0.006，且設(shè)備A與B生產(chǎn)的藥品是否合格相互獨立.①從該公司生產(chǎn)的新藥中隨機抽取一件，求所抽藥品為不合格品的概率；②在該新藥產(chǎn)品檢驗中發(fā)現(xiàn)有三件不合格品，求其中至少有兩件是設(shè)備A生產(chǎn)的概率.參考公式：b∧=∑i=a∧=y-b解：(1)x=120∑i=120xi=120×60=3，y=120∑i=所以b∧=∑i=1nxia∧=y-b∧x=60-10×3=30，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y∧=10(2)設(shè)事件A表示“隨機取一件藥品來自設(shè)備A生產(chǎn)”，事件B表示“隨機取一件藥品來自設(shè)備B生產(chǎn)”，事件C表示“所抽藥品為不合格品”，①因為設(shè)備A的生產(chǎn)效率是設(shè)備B的2倍，所以P(A)=23，P(B)=1P(C|A)=0.009，P(C|B)=0.006，所以P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=23×0.009+13×0.006=0.②P(A|C)=P(A)P(C|所以三件不合格品中至少有兩件是設(shè)備A生產(chǎn)的概率為P=C32342·1回歸分析與概率綜合問題的解題思路1.此類問題的特點為同一生活實踐情境下設(shè)計兩類問題，即(1)求經(jīng)驗回歸方程(預(yù)測)；(2)求某隨機變量的概率(范圍)、均值、方差等.2.充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)(散點圖)做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達到快速準(zhǔn)確運算的目的.3.明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型.對點練2.為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2019年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動”.下表是對2019年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計：年份20192020202120222023年份代碼x12345年借閱量y(冊)y1y23692142(參考數(shù)據(jù)：yii=(1)在所統(tǒng)計的5個年借閱量中任選2個，記其中低于平均值的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)通過分析散點圖的特征后，計劃分別用①y∧=35x-47和②y∧=5x2+m兩種模型作為年借閱量y關(guān)于年份代碼x的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗回歸方程，解：(1)由題知，5年的借閱量的平均數(shù)為2905=58又y1+y2=290-36-92-142=20，則y1<58，y2<58，所以低于平均值的有3個，所以X服從超幾何分布，P(X=k)=C3kC22-kC52所以P(X=0)=C30C22C52=110，P(X=1)=C31C21C5所以X的分布列為X012P133所以E(X)=0×110+1×35+2×310(2)因為12+22+32+4所以58=5×11+m，即m=3.所以模型②的經(jīng)驗回歸方程為y∧=5x2+3根據(jù)模型①的經(jīng)驗回歸方程可得y∧1=-12，y∧2=23，y∧3=58，y∧根據(jù)模型②的經(jīng)驗回歸方程可得y∧1=8，y∧2=23，y∧3=48，y∧因為[(y1+12)2+(y2-23)2+(36-58)2+(92-93)2+(142-128)2]-[(y1-8)2+(y2-23)2+(36-48)2+(92-83)2+(142-128)2]=(y1+12)2-(y1-8)2+222-122+12-92=40y1+340，且y1≥0，所以模型①的殘差平方和大于模型②的殘差平方和，所以模型②的擬合效果更好.學(xué)生用書?第305頁題型三獨立性檢驗與分布列的綜合問題(2025·湖北七市州調(diào)研)某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.請完成以下2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題.以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X，求EX和DX；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2=n(ad-bc)2a+bcα0.10.050.01xα2.7063.8416.635解：(1)根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為H0：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得χ2=60(7×16-23×14)221×39×30×30=根據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1.(2)因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故X近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率P=560=1即可得X~B20，112，故EX=20×112=53，DX=20×1(3)易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以Y的所有可能取值為0，1，2，3；且Y服從超幾何分布，PY=0=C70C33C103=1120，PY=1=C71C32C103=21故所求分布列為：Y0123P17217所以EY=0×1120+1×740+2×2140+3×724=獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗與概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進行比較，其次按照隨機變量滿足的概率模型求解.學(xué)生用書?第306頁對點練3.(2025·江蘇徐州適應(yīng)性測試)某中學(xué)對該校學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和預(yù)習(xí)情況進行長期調(diào)查，學(xué)習(xí)興趣分為興趣高和興趣一般兩類，預(yù)習(xí)分為主動預(yù)習(xí)和不太主動預(yù)習(xí)兩類，設(shè)事件A：學(xué)習(xí)興趣高，事件B：主動預(yù)習(xí).據(jù)統(tǒng)計顯示，P(A|B)=34，P(A|B)=14，P(B)=(1)計算P(A)和P(A|B)的值，并判斷A與B是否為獨立事件；(2)為驗證學(xué)習(xí)興趣與主動預(yù)習(xí)是否有關(guān)，該校用分層抽樣的方法抽取了一個容量為m(m∈N+)的樣本，利用獨立性檢驗，計算得χ2=1.350.為提高檢驗結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來的t(t∈N+)倍，使得學(xué)習(xí)興趣與主動預(yù)習(xí)犯錯誤的概率不超過0.005，試確定t的最小值.附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)由已知P(A|B)=1-P(A|B)=1-14=3P(A|B)=1-P(A|B)=1-34=1又因為P(B)=45，所以P(B)=1-P(B)=1-45=所以P(A)=P(B)·P(A|B)+P(B)·P(A|B)=45×34+15×1又P(AB)=P(A|B)·P(B)=34×45=所以P(AB)≠P(A)P(B)，所以A與B不為獨立事件.(2)假設(shè)原列聯(lián)表為興趣高興趣不高總計主動預(yù)習(xí)aba+b不太主動預(yù)習(xí)cdc+d總計a+cb+da+b+c+d根據(jù)原數(shù)據(jù)有(a+b+c若將樣本容量調(diào)整為原來的t(t∈N+)倍，則新的列聯(lián)表為興趣高興趣不高總計主動預(yù)習(xí)tatbt(a+b)不太主動預(yù)習(xí)tctdt(c+d)總計t(a+c)t(b+d)t(a+b+c+d)則χ2=t(a+b+c+d)(t2ad-t2bc)2t又t∈N+，所以t的最小值為6.課時測評85概率與統(tǒng)計的綜合問題對應(yīng)學(xué)生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂!)1.(17分)(2025·安徽黃山模擬)某校高三年級1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是30，50，50，70，(1)求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；(7分)(2)從這次數(shù)學(xué)成績位于50，70，70，90的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區(qū)間70，90的人數(shù)記為X，求解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.0025+0.0075+0.015×2+2a)×20=1，解得a=0.005.前四個矩形的面積之和為(0.0025+0.0075+2×0.015)×20=0.8，前五個矩形的面積之和為0.8+0.005×20=0.9，設(shè)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為m，則0.8+m-110×0.005=0.85，解得m=因此，這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為120.(2)數(shù)學(xué)成績位于50，70，70，90的學(xué)生人數(shù)之比為0.0075∶0.所以，所抽取的9人中，數(shù)學(xué)成績位于50，70的學(xué)生人數(shù)為9×13數(shù)學(xué)成績位于70，90的學(xué)生人數(shù)為9×23由題意可知，隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，則PX=0=C33C93=184PX=2=C31C62C93所以隨機變量X的分布列為：X0123P13155所以EX=0×184+1×314+2×1528+3×52.(17分)(2025·湖南長沙調(diào)研)隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量越來越大，為了滿足消費者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛.某水果店對某品種的“湖南沃柑”進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：試銷單價x(元)34567產(chǎn)品銷量y(件)201615126(1)經(jīng)計算相關(guān)系數(shù)r≈-0.97，變量x，y線性相關(guān)程度很高，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；(7分)(2)用(1)中所求的經(jīng)驗回歸方程來擬合這組成對數(shù)據(jù)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的殘差的絕對值大于1.2時，稱該對數(shù)據(jù)為一個“次數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這5個成對數(shù)據(jù)中任取3個做殘差分析，求取到的數(shù)據(jù)中“次數(shù)據(jù)”個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(10分)參考公式：線性回歸方程中b∧，a∧的最小二乘估計分別為b∧=∑解：(1)由已知，得x=3+4+5+6+75=5∑i=15xiyi=313，則b∧=∑i=313-5×5×13.8135所以a∧=y-b∧x=13.8-(-3.2)×5=29所以y∧=-3.2x+29.8(2)當(dāng)x=3時，y∧=20.2；當(dāng)x=4時，y∧=當(dāng)x=5時，y∧=13.8；當(dāng)x=6時，y∧=10.當(dāng)x=7時，y∧=7.4因此該樣本的殘差絕對值依次為0.2，1，1.2，1.4，1.4，所以“次數(shù)據(jù)”有2個.“次數(shù)據(jù)”個數(shù)X可能取值為0，1，2.P(X=0)=C33C53=110，P(X=1P(X=2)=C31C所以X的分布列為：X012P133所以E(X)=0×110+1×35+2×3103.(20分)(2025·湖南“一起考”大聯(lián)考)某市教育局為了調(diào)查學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)是否與學(xué)生的年級有關(guān)，從全市隨機抽取了50位高二學(xué)生和m(m>50)位高三學(xué)生進行調(diào)查，每位學(xué)生對“是否熱愛數(shù)學(xué)”提出“熱愛”或“不熱愛”的觀點，得到如下數(shù)據(jù)：年級觀點高二高三熱愛3020不熱愛20(1)以該50名高二學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的頻率作為全市高二學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的概率，從全市的高二學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記X為這3名學(xué)生中熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和期望；(8分)(2)若根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，認為熱愛數(shù)學(xué)與學(xué)生的年級有關(guān)，求實數(shù)m的最小值.(12分)附：χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：(1)由題意可知，高二學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的概率為P=3050=35，熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生人數(shù)X~B則PX=0=253=8125，PX=1=C313PX=3=35所以X的分布列為：X0123P8365427所以X的期望為EX=3×35=9(2)因為根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，認為熱愛數(shù)學(xué)與學(xué)生的年級有關(guān)，所以χ2=50+m[30m令fm=50+m[30m-20-400]2-6.635×50×50所以f'm=25108m因為y=25108m2-2527m-80000的對稱軸為m=2527所以f'm=25108m2-所以fm在50，+∞上單調(diào)遞增，而f56<0，所以實數(shù)m的最小值為57.4.(20分)(2024·河北邯鄲模擬)某企業(yè)為在推進中國式現(xiàn)代化新征程中展現(xiàn)更大作為，在提升員工敬業(yè)精神和員工管理水平上實施新舉措制定新方案.現(xiàn)對員工敬業(yè)精神和員工管理水平進行評價，從企業(yè)中選出200人進行統(tǒng)計，其中對員工敬業(yè)精神和員工管理水平都滿意的有50人，對員工敬業(yè)精神滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的40%，對員工管理水平滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的45%.(1)完成對員工敬業(yè)精神和員工管理水平評價的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，能否認為對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意有關(guān)聯(lián)?(4分)項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業(yè)精神滿意對員工敬業(yè)精神不滿意合計(2)若將頻率視為概率，隨機從企業(yè)員工中抽取3人參與此次評價，設(shè)對員工敬業(yè)精神和對員工管理水平都滿意的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(6分)(3)在統(tǒng)計學(xué)中常用TB|A=PB|APB|A表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，現(xiàn)從該企業(yè)員工中任選一人，A表示“選到對員工管理水平不滿意”、B表示“選到對員工敬業(yè)精神不滿意”，請利用樣本數(shù)據(jù)，估計T(B附：χ2=nad-bc2a+bc+daα0.050.010.001xα3.8416.63510.828解：(1)由題意可得關(guān)于對員工敬業(yè)精神和員工管理水平評價的2×2列聯(lián)表：項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業(yè)精神滿意503080對員工敬業(yè)精神不滿意4080120合計90110200零假設(shè)為H0：對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意無關(guān).據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：χ2=200×50×80-30×40280×120×90根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意有關(guān)聯(lián).(2)對員工敬業(yè)精神和對員工管理水平都滿意的概率為14，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3其中PX=0=34PX=1=C31·14PX=2=C321PX=3=14所以隨機變量X的分布列為：X0123P272791則EX=0×2764+1×2764+2×964+3×1(3)TB|A=PB|APB|A=P所以估計T(B|A)的值為835.(26分)(2024·湖南永州模擬)為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某4S店對近期購車的男性與女性各100位進行問卷調(diào)查，并作為樣本進行統(tǒng)計分析，得到如下列聯(lián)表(m≤40，m∈N)：購買新能源汽車(人數(shù))購買傳統(tǒng)燃油車(人數(shù))男性80-m20+m女性60+m40-m(1)當(dāng)m=0時，將樣本中購買傳統(tǒng)燃油車的購車者按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人調(diào)查購買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人