第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)對(duì)一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(-x)也有定義，并且F(-x)=F(x)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)F(-x)=-F(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)[微提醒]函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，x±T都有意義，并且f(x±T)=f(x)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期.(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.【常用結(jié)論】(1)函數(shù)奇偶性常用結(jié)論①如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).②奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.③在公共定義域內(nèi)有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.(2)函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：①若f(x+a)=-f(x)，則T=2a(a>0).②若f(x+a)=1f(x)，則T=2a③若f(x+a)=-1f(x)，則T=2a【自主檢測(cè)】1.(多選)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0B．不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)C．對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在x，使f(-x)=-f(x)，則函數(shù)y=f(x)一定是奇函數(shù)D．若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k∈N+)也是函數(shù)的一個(gè)周期答案：ABC2.(用結(jié)論)若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上()學(xué)生用書(shū)?第24頁(yè)A．單調(diào)遞增，且有最小值f(1)B．單調(diào)遞增，且有最大值f(1)C．單調(diào)遞減，且有最小值f(2)D．單調(diào)遞減，且有最大值f(2)答案：A解析：偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則有f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，即有最小值為f(1)，最大值為f(2).對(duì)照選項(xiàng)，A正確.3.(多選)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．f(x)=x+1x B．f(x)=C．y=|lnx| D．y=2|x|答案：BD解析：A選項(xiàng)，f(x)為奇函數(shù)，C選項(xiàng)，f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為非奇非偶函數(shù).故選BD．4.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是()A．-13 B．1C．12 D．-答案：B解析：因?yàn)閒(x)=ax2+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，所以a-1+2a=0，所以a=13.又f(-x)=f(x)，所以b=0，所以a+b=13.故選5.已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(-1)=2f(10)+3，則f(2024)+f(2025)+f(2026)=.

答案：0解析：由題意知f(0)=0，f(10)=f(3×3+1)=f(1)，又f(-1)=2f(10)+3，且f(-1)=-f(1)，所以f(-1)=2f(1)+3，所以-3f(1)=3，即f(1)=-1.所以f(2024)=f(675×3-1)=f(-1)=1，f(2025)=f(675×3)=f(0)=0，f(2026)=f(675×3+1)=f(1)=-1，所以f(2024)+f(2025)+f(2026)=1+0-1=0.考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷自主練透1.(2024·天津卷)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A．f(x)=ex-x2x2+1 BC．f(x)=ex-xx+1 D．f答案：B解析：對(duì)于A，fx=ex-x2x2+1，函數(shù)定義域?yàn)镽，但f-1=e-1-12，f1=e-12，則f-1≠f1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，fx=cosx+x2x2+1，函數(shù)定義域?yàn)镽，且f-x=cos-x+-x2-x2+1=cosx+x2x2+1=fx，則fx為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，fx=ex-xx+1，函數(shù)定義域?yàn)閤|x≠-1，不2.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A．f(x)=tanx B．f(x)=x2+xC．f(x)=ex-e-x2 D．f(x答案：AC解析：對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)閤x≠π2+kπ，k∈Z，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(-x)=x2-x≠±f(x)，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(-x)=e-x-ex2=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=x3-1x(2)f(x)=lg4(3)f(x)=x2-1(4)f(x)=-解：(1)原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，并且對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(-x)=(-x)3-1-x=-x3-1x=-f(x)，所以函數(shù)(2)由4-x2>0，|x-2|+|x+4|≠0得-2<x<因此f(x)=lg4-x22所以f(-x)=f(x)，因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(3)f(x)的定義域?yàn)閧-1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).又f(-1)=f(1)=0，f(-1)=-f(1)=0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)法一：(定義法)當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).法二：(圖象法)如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的三種常用方法

1.定義法

2.圖象法

3.性質(zhì)法

設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用多維探究角度1已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)(1)(2025·浙江金麗衢十二校第二次聯(lián)考)若函數(shù)fx=lnex+1+ax為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為(A．-12 B．0C．12 D．(2)(2024·河南開(kāi)封第二次質(zhì)量檢測(cè))若函數(shù)f(x)=a2x-1，A．0 B．-1 C．1 D．±1答案：(1)A(2)C解析：(1)法一(賦值)：因?yàn)楹瘮?shù)fx=ln(ex+1)+ax為偶函數(shù)，所以f-1=f(1)，所以ln(e-1+1)+(-1)a=lne1+1+a，所以2a=ln(e-1+1)-ln(e1+1)，解得a=-12法二(通法)：fx=lnex+1+ax的定義域?yàn)镽，f-x=lne-x+1-ax=lnex+1ex-ax=ln(ex+1)-x-ax，由于fx=lnex+1+ax為偶函數(shù)，故f-x=fx，即lnex+1-1+ax=lnex+1+ax?法三(利用已知函數(shù)奇偶性的結(jié)論)：由fx=ln(ex+1)+ax得，fx=lnex+1+lneax=ln[ex+1eax]=lne(a+1)x+eax，已知函數(shù)y=ex+e-x是偶函數(shù)，所以((2)當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f-x=a2-x-1=-x-a=-fx，則-a2=-1，-a=-1，解得a=1，此時(shí)fx=x-1，x<0，x+1，x>0，當(dāng)學(xué)生用書(shū)?第25頁(yè)角度2利用奇偶性求值(解析式)(1)(2024·河北保定模擬)已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2+ax+a+1，則f(-2)等于()A．-2 B．2 C．-6 D．6(2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=e-x+2x-1，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=.

答案：(1)A(2)-ex+2x+1解析：(1)因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則有f(0)=a+1=0，解得a=-1，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-x，則f(-2)=-f(2)=-2.故選A．(2)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=0.當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，f(x)=-f(-x)=-(ex-2x-1)=-ex+2x+1，又f(0)=-e0+2×0+1=0，則當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=-ex+2x+1.角度3利用奇偶性解不等式(1)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若f(2)=1，則滿(mǎn)足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范圍是()A．[-2，2] B．[-1，3] C．[0，2] D．[1，3](2)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(3)=0，則滿(mǎn)足xf(x-2)<0的x的取值范圍為 ()A．(-∞，-1)∪(2，5) B．(-∞，-1)∪(0，5)C．(-1，0)∪(2，5) D．(-1，0)∪(5，+∞)答案：(1)B(2)C解析：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，故f(-2)=-f(2)=-1.又f(x)是增函數(shù)，-1≤f(x-1)≤1，所以f(-2)≤f(x-1)≤f(2)，則-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，所以x的取值范圍是[-1，3].故選B．(2)因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(3)=0，所以f(x)在(-∞，0)上也單調(diào)遞增，且f(-3)=0，f(0)=0，所以當(dāng)x∈(-∞，-3)∪(0，3)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x∈(-3，0)∪(3，+∞)時(shí)，f(x)>0，所以由xf(x-2)<0，可得x<0，-3<x-2<0或x>0，0<x-2<3，解得-1<x<0或2<x<5，即x函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類(lèi)型及解題策略

對(duì)點(diǎn)練1.(1)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)若fx=x+aln2x-1A．-1 B．0C．12 D．(2)(2025·山東青島模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x-2，則不等式f(x)≤2的解集是.

答案：(1)B(2)[-2，2]解析：(1)法一：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1)，所以(1+a)ln13=(-1+a)ln3，解得a=0，當(dāng)a=0時(shí)，fx=xln2x-12x+1，由2x-12x+1>0，解得x>12或x<-12，則其定義域?yàn)閤x>12，或x<-12，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).f-x=-xln2法二：因?yàn)閥=ln2x-12x+1是奇函數(shù)，又fx為偶函數(shù)，所以函數(shù)y=x+a是奇函數(shù)，所以(2)因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x-2，所以偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，且f(2)=2，所以f(x)≤2，即f(|x|)≤f(2)，所以|x|≤2，解得-2≤x≤2.考點(diǎn)三函數(shù)的周期性師生共研(1)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(x+2)=13，且f(3)=2，則f(2025)=.

(2)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+3)+f(x+1)=f(2)，則f(2024)=.

(3)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=log2(x+1)，則函數(shù)f(x)在[2，4]上的解析式為.

答案：(1)132(2)0(3)f(x)=log2(5-x)，x∈[2，解析：(1)因?yàn)閒(x)f(x+2)=13，所以f(x+2)=13f(x)，所以f(x+4)=13f(x+2)=1313f(x)=f(x)，所以f(x)的周期為4，所以f(2(2)因?yàn)閒(x+3)+f(x+1)=f(2)，代入x-2，得f(x+1)+f(x-1)=f(2).兩式相減得，f(x+3)=f(x-1)，即f(x+4)=f(x)，所以4為函數(shù)f(x)的周期.因此f(2024)=f(4×506)=f(0)，在f(x+3)+f(x+1)=f(2)中，令x=-1，則f(2)+f(0)=f(2)，所以f(0)=0，即f(2024)=0.(3)根據(jù)題意，設(shè)x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]，則有4-x∈[0，2]，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=log2(x+1)，則f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x)，又f(x)是周期為4的偶函數(shù)，所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x)，x∈[2，4]，則有f(x)=log2(5-x)，x∈[2，4].函數(shù)周期性的判定及應(yīng)用

1.求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)練2.(1)(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x-2，則()A．f(2027)=0B．f(x)的值域?yàn)閇-1，2]C．f(x)在[4，6]上單調(diào)遞減D．f(x)在[-6，6]上有8個(gè)零點(diǎn)(2)(2024·山東棗莊模擬)設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈(-1，1]時(shí)，f(x)=x2+2x+m，-1<x<0，x，0≤答案：(1)AB(2)1解析：(1)f(2027)=f(507×4-1)=f(-1)=f(1)=0，故A正確；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x-2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]，故B正確；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x-2單調(diào)遞增，又函數(shù)的周期是4，所以f(x)在[4，6]上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；令f(x)=2x-2=0，所以x=1，所以f(1)=f(-1)=0，由于函數(shù)的周期為4，所以f(5)=f(-5)=0，f(3)=f(-3)=0，所以f(x)在[-6，6]上有6個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選AB．(2)因?yàn)閒(x)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈(-1，1]時(shí)，f(x)=x2+2x+m，-1<x<0，x，0≤x≤1，所以f32=f-12=-12學(xué)生用書(shū)?第26頁(yè)[真題再現(xiàn)](1)(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)=xexeax-A．-2 B．-1 C．1 D．2(2)(2023·全國(guó)甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數(shù)，則a=答案：(1)D(2)2解析：(1)因?yàn)閒(x)=xexeax-1為偶函數(shù)，則f(x)-f(-x)=xexeax-1-(-x)e-xe-ax-1=x[ex-e(a-1)x]eax-1=0，又因?yàn)閤不恒為0，可得ex(2)因?yàn)閒(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2=(x-1)2+ax+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx，且函數(shù)為偶函數(shù)，所以a-2=0，解得a=2.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a=[教材呈現(xiàn)]1.(湘教版必修一P90T9)已知函數(shù)f(x)=ax2+1bx+c(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，且f(1)=2，f(2)<3，求a2.(湘教版必修一P90T10)已知函數(shù)f(x)=(x+1)(x+a)為偶函數(shù)，求a的值.點(diǎn)評(píng)：高考題與教材習(xí)題考查角度完全相同，都是已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，此類(lèi)問(wèn)題的解法一般有兩個(gè)：一是定義法，二是特殊值法.課時(shí)測(cè)評(píng)8函數(shù)的奇偶性、周期性對(duì)應(yīng)學(xué)生(時(shí)間：60分鐘滿(mǎn)分：100分)(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂!)(1-9，每小題5分，共45分)1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y=x3 B．y=|x|+1C．y=-x2+1 D．y=2-|x|答案：B解析：y=|x|+1是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，符合題意.故選B．2.已知定義域?yàn)閇a-4，2a-2]的奇函數(shù)f(x)=x3-sinx+b+2，則f(a)+f(b)=()A．0 B．1 C．2 D．不能確定答案：A解析：依題意得a-4+2a-2=0，解得a=2，由f(0)=b+2=0，得b=-2，所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故選A．3.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(-2)，f(π)，f(-3)的大小關(guān)系是()A．f(π)>f(-3)>f(-2)B．f(π)>f(-2)>f(-3)C．f(π)<f(-3)<f(-2)D．f(π)<f(-2)<f(-3)答案：A解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(-3)>f(-2).故選A．4.(2024·廣西南寧模擬)已知偶函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R都有f(x+2)-f(x)=f(1)，且f(0)=8，則f(99)+f(100)=()A．0 B．6C．8 D．16答案：C解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，f(x+2)-f(x)=f(1)，所以f(-1+2)-f(-1)=f(1)，解得f(1)=0，所以f(x+2)=f(x)，即f(x)的周期為2，所以f(100)=f(0)=8，f(99)=f(1)=0，故f(99)+f(100)=8.故選C．5.(多選)已知f(x)=cos2025x·g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)gx的解析式可以為()A．g(x)=lg1+B．g(x)=3x-3-xC．g(x)=12+D．g(x)=lnx答案：BD解析：因?yàn)閒(x)=cos2025x·g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，即g(-x)=-g(x)，所以g(x)是定義在R上的奇函數(shù).對(duì)于A，定義域?yàn)?-1，1)，所以不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B，定義域?yàn)镽，g(-x)=3-x-3x=-g(x)，符合題意；對(duì)于C，定義域?yàn)镽，g(-x)=12+12-x+1=12+2x1+2x=32-11+2x≠-g(x)，不符合題意；對(duì)于D，定義域?yàn)镽，g(-x)=lnx2+1-x，而g(-x)6.(多選)(2024·廣東湛江檢測(cè))已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2-2x+3，則下列結(jié)論正確的是()A．|f(x)|≥2B．當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x2-2x-3C．x=1是f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D．f(x)在(-∞，-1)上單調(diào)遞增答案：ABD解析：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，所以f(-x)=(-x)2+2x+3=-f(x)，所以f(x)=-x2-2x-3，所以f(x)=x2-2x+3，x>0，-x2-2x-3，x<0，作出f(x)的圖象如圖所示.由圖可知f(x)∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，所以|f(x)|≥2，故A正確；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x2-2x-3，故B正確；由圖象可知x=1顯然不是f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；由7.(2025·河南鄭州名校聯(lián)考)函數(shù)fx=2x+a2-log223x答案：3解析：法一：因?yàn)閒x是偶函數(shù)，所以fx-f(-x)=8ax-log223x+1+22-3x+1法二：由fx=2x+a2-log223x+1+2，得fx=4x2+a2-1+4ax-log223x+1，設(shè)gx=4x2+a2-1，h(x)=4ax-log223x+1，易知gx是偶函數(shù)，當(dāng)h(x)=4ax-log2(23x+1)是偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)fx才能是偶函數(shù)，所以h(x)=log224ax-log223x+1=log224ax23x+1=log8.(2024·廣東潮州模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+1x-1+m+1(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.718…)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)m答案：-1解析：對(duì)于函數(shù)f(x)=lnx+1x-1+m+1，x+1x-1>0，解得x<-1或x>1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，-1)∪(1，+∞)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，即f(-x)+f(x)=0，即ln-x+1-x-1+lnx+1x-1+2m+2=lnx9.若函數(shù)f(x)=ex-e-x，則不等式f(lnx)+f(lnx-1)>0的解集是.

答案：e解析：因?yàn)閒(x)=ex-e-x，定義域?yàn)镽，且f(-x)=-ex-e-x=-f(x)，故其為奇函數(shù)，又y=ex，y=-e-x均為增函數(shù)，故f(x)為R上的增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于f(lnx)>f(1-lnx)，也即lnx>1-lnx，整理得lnx>12，解得10.(13分)已知函數(shù)f(x)=-x2(1)求實(shí)數(shù)m的值；(6分)(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，a-2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(7分)解：(1)設(shè)x<0，則-x>0，所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)=x2+2x=x2+mx，所以m=2.(2)要使f(x)在[-1，a-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知a-所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3].11.(14分)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(3分)(2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f(x)的解析式；(5分)(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2026).(6分)解：(1)證明：因?yàn)閒(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，-x∈[0，2]，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2，所以f(x)=x2+2x.又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x-4∈[-2，0]，所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得x∈[2，4]時(shí)，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=0，f(2024)+f(2025)+f(2026)=f(0)+f(1)+f(2)=1，所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2026)=1.(每小題6分，共12分)12.(2024·安徽馬鞍山模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y=f(x)+2ex是偶函數(shù)，y=f(x)-3e