第一節(jié)空間的幾何體及其直觀圖、簡單幾何體的表面積和體積【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題．3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖．1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)[微提醒](1)常見的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系(2)球的截面的性質(zhì)①球的任何截面是圓面；②球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為r＝R22．空間幾何體的直觀圖(1)畫法：常用的畫直觀圖的方法叫作斜二測畫法．(2)規(guī)則：①在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox，Oy，再取Oz軸，使∠xOz＝90?，且∠yOz＝90?．②畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45?(或135?)，∠x′O′z′＝90?，x′O′y′所確定的平面表示水平平面．③已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸，y′軸或z′軸的線段．④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度取原來的一半．學(xué)生用書第172頁3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l4.柱、錐、臺、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13S底臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S球S＝4πR2V＝43π[微提醒](1)圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素間的關(guān)系．(2)在求解組合體的表面積時(shí)，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，面積不要多加或少減．【常用結(jié)論】(1)原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：①S直觀圖＝24S原圖形．②S原圖形＝2(2)幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論①設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R.ⅰ若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝3a；ⅱ若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；ⅲ若球與正方體的各棱相切，則2R＝2a.②若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝a2③正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.【自主檢測】1．(多選)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B．用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺C．菱形的直觀圖仍是菱形D．兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方答案：ACD2．如圖所示，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺 B．四棱柱C．五棱柱 D．簡單組合體答案：C解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．故選C．3．一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為()A．163π B．32C．16π D．24π答案：B解析：設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，則球的體積V＝43πR3＝323π.故選4．如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．答案：1∶47解析：設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出的棱錐的體積為V1＝13×12×12a×12b×12c＝1485．(2021·全國甲卷)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為________．答案：39π解析：因?yàn)閂＝13π·62·h＝30π，所以h＝52，所以l＝h2+r2＝522+62＝132考點(diǎn)一基本立體圖形多維探究角度1結(jié)構(gòu)特征(1)下列命題正確的是()A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓面或矩形面(2)(多選)下列說法正確的是()A．以直角三角形的一條邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐學(xué)生用書第173頁B．以等腰三角形底邊上的中線所在的直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C．經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形D．圓錐側(cè)面的母線長有可能大于圓錐底面圓的直徑答案：(1)C(2)BCD解析：(1)如圖所示，可排除A，B選項(xiàng)．對于D選項(xiàng)，只有截面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形面或圓面，否則截面為橢圓面或橢圓面的一部分．故選C．(2)A不正確，直角三角形繞斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；B正確，以等腰三角形底邊上的中線所在的直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；C正確，因?yàn)閳A錐的母線長都相等，所以經(jīng)過圓錐任意兩條母線的截面是等腰三角形；D正確，如圖所示，圓錐側(cè)面的母線長l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍(即直徑)．故選BCD．空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧1．緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．2．通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉出一個(gè)反例即可．角度2直觀圖(1)已知水平放置的四邊形OABC按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90?，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A．322 B．C．42 D．52(2)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，則以下說法正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．△ABC是等邊三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形答案：(1)B(2)C解析：(1)法一：由已知求得O′C′＝2，把直觀圖還原為原圖形如圖，可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝22，得原四邊形OABC的面積為12×1+2×法二：由題意知A′B′＝1，所以S直觀圖＝12×1+2×1＝32，所以S原圖形＝(2)將直觀圖還原成原圖形，如圖所示，設(shè)A′C′＝2，則可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，從而AB＝BC＝2，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故選C．在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．角度3展開圖(1)如圖，正三棱錐S-ABC中，∠BSC＝40?，SB＝2，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)B出發(fā)，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為()A．2 B．3C．23 D．33(2)已知圓臺形的木桶的上、下底面的半徑分別為4和2，木桶的高為23，則該木桶的側(cè)面展開成的扇環(huán)所對的圓心角為()A．π B．3C．2π3 D答案：(1)C(2)A解析：(1)三棱錐S-ABC沿側(cè)棱SB展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，其中∠BSB′＝120?，BS＝B′S＝2，由余弦定理得，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為BB′＝22+22(2)如圖，將圓臺補(bǔ)成圓錐CO，則O1B＝2，AO＝4，BD＝23，所以AD＝2，AB＝AD2+BD2＝4，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知AC＝而扇環(huán)所對外圓弧的長為l＝2π·AO＝8π，所以側(cè)面展開成的扇環(huán)所對的圓心角為α＝lAC＝π.故選A幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．注意：利用空間幾何體的表面展開圖可求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距離問題．對點(diǎn)練1．(1)(多選)下列命題正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺C．棱錐是由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180?所形成的曲面(2)已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺的一條母線(點(diǎn)B在圓臺的上底面圓周上)，M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺側(cè)面爬行一周到點(diǎn)M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為()A．30 B．40C．50 D．60學(xué)生用書第174頁(3)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝1，則一只小蟲從A點(diǎn)沿長方體的表面爬到C1點(diǎn)的最短距離是________．答案：(1)CD(2)C(3)5解析：(1)對于A，有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，故B錯(cuò)誤；對于C，由棱錐的定義知由底面為多邊形，其余各面為具有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，故C正確；對于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180?所形成的曲面，故D正確．故選CD．(2)圓臺上底面半徑為10，下底面半徑為5，設(shè)母線長為l，所以側(cè)面積S＝πl(wèi)(10＋5)＝15πl(wèi)＝300π，解得l＝20.將圓臺所在圓錐的側(cè)面展開如圖所示，且設(shè)扇形所在圓的圓心為O.線段M1B就是螞蟻經(jīng)過的最短距離．設(shè)OA＝R，扇形的圓心角是α，則由題意知2×5π＝αR①，2×10π＝α(20＋R)②，由①②解得α＝π2，R＝20，所以O(shè)M＝OM1＝30，OB1＝OB＝40，則M1B＝OB2+OM(3)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的表面有三種展開方法，則圖①中，AC1＝22+1+42＝29；圖②中，AC1＝2+12+42＝5；圖③中，AC1考點(diǎn)二空間幾何體的表(側(cè))面積師生共研(1)若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為2π3，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比為(A．3∶2 B．2∶1C．4∶3 D．5∶3(2)(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32π(3)已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，有兩個(gè)側(cè)面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為5，則這個(gè)三棱錐的表面積為()A．4＋33+15 B．4C．4＋3+15 D．4＋答案：(1)C(2)A(3)C解析：(1)如圖，由題意知，2πr2πl(wèi)＝2π32π?r＝13l＝13，S側(cè)＝πrl＝π3，S圓錐＝S側(cè)＋π(2)如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2.又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin60?＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝232＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2(3)結(jié)合題目邊長關(guān)系，可得三棱錐如圖所示，其中AB＝AC＝AD＝2，CE＝5，由題意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，則BC＝CD＝22，BE＝BC2-CE2＝3，BD＝23，AE＝AB2-幾何體表面積的類型及求解方法求多面體的表面積直接求各面面積然后求和或?qū)⑺鼈冄刂狻凹糸_”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給不規(guī)則幾何體的表面積對點(diǎn)練2.(1)已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45?，則△PBC的面積為()A．22 B．32C．42 D．62(2)已知一個(gè)圓柱的體積為2π，底面直徑與母線長相等，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，與圓柱等高，底面是頂點(diǎn)在圓周上的正三角形，則三棱柱的側(cè)面積為________．答案：(1)C(2)63解析：(1)如圖，過點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，取DC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接PM，MN，AO，BO，OM.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM?平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三點(diǎn)共線，所以O(shè)A＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝PC2+AC2-2PC·ACcos45?＝17，所以PB＝17.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝PC2+BC2-BP22PC·BC＝(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則πr2·2r＝2π，所以r＝1.設(shè)三棱柱底面邊長為a，則asin60?＝2r＝2，所以a＝3，所以三棱柱的側(cè)面積為3×a×2r＝3考點(diǎn)三空間幾何體的體積多維探究角度1公式法求體積(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為________．答案：7解析：如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則A1O1＝12A1C1＝12×2A1B1＝22，AO＝12AC＝12角度2割補(bǔ)法求體積(1)如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為30?，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是10和16，則容器內(nèi)液體的體積是()A．36π B．39πC．42π D．45π(2)如圖，在六面體ABC-FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，F(xiàn)E∥GD，∠FGD＝90?，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四邊形AEDC是菱形，則六面體ABC-FEDG的體積為________．答案：(1)B(2)8解析：(1)將含液體部分的幾何體補(bǔ)成如圖所示的圓柱，過M作底面的平行平面，與過N的母線交于點(diǎn)S，連接MS，由題意知∠MNS＝30?，則MS＝6×33＝23，故圓柱的底面半徑為3，則容器內(nèi)液體的體積為12×10+16×π×32＝13×π×(2)連接AG，AD，則V六面體ABC-FEDG＝V四棱錐A-FEDG＋V四棱錐A-BCDG＝2V四棱錐A-FEDG，由題意得，EF＝2，DG＝4，F(xiàn)G＝AF＝2，所以S梯形FEDG＝12×2+4×2＝6，所以V四棱錐A-FEDG＝13×S梯形FEDG×AF＝4，所以V六面體ABC學(xué)生用書第175頁角度3等體積法求體積(2022·新高考Ⅱ卷)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為________．答案：1解析：如圖，由正方體棱長為2，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1-12×1×1＝求空間幾何體的體積的三種方法注意：正四面體的體積是212a3(a是正四面體的棱長)對點(diǎn)練3．(1)(2023·全國甲卷)在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝6，則該棱錐的體積為()A．1 B．3C．2 D．3(2)某圓錐的體積為1，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個(gè)圓臺，若圓臺上底面和下底面的半徑之比為1∶2，則該圓臺的體積為()A．78 B．C．12 D．(3)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為7≈2.65)()A．1.0×109m3 B．1.2×109m3C．1.4×109m3 D．1.6×109m3答案：(1)A(2)A(3)C解析：(1)取AB中點(diǎn)E，連接PE，CE，如圖，因?yàn)椤鰽BC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，所以PE⊥AB，CE⊥AB，又PE，CE?平面PEC，PE∩CE＝E，所以AB⊥平面PEC，又PE＝CE＝2×32＝3，PC＝6，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，所以V＝VB-PEC＋VA-PEC＝13S△PEC·AB＝(2)該圓錐的軸截面如圖所示．其中等腰梯形DECB為截得的圓臺的軸截面，DE∥BC.由圓臺上底面和下底面的半徑之比為1∶2，可得DEBC＝12.過A作AF⊥BC，垂足為F，且AF交DE于H，易知△ADE∽△ABC，所以AHAF＝DEBC＝12，則V(3)依題意可知棱臺的高為MN＝157.5－148.5＝9(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積V.棱臺上底面積S＝140.0km2＝140×106m2，下底面積S′＝180.0km2＝180×106m2，所以V＝13hS+S'+SS'＝13×9×1．[真題再現(xiàn)](2024·全國甲卷)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺的母線長分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺甲與乙的體積之比為________．答案：6解析：兩圓臺的上、下底面積對應(yīng)相等，則兩圓臺的體積之比為高之比，根據(jù)母線與半徑的關(guān)系可得甲與乙的體積之比為4r[教材呈現(xiàn)](人教A必修二P117思考)圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間又有怎樣的關(guān)系？點(diǎn)評：高考題與教材思考題都考查臺體的體積公式．2．[真題再現(xiàn)](2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為()A．23π B．33πC．63π D．93π答案：B解析：設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因?yàn)樗鼈兊母呔鶠?，且側(cè)面積相等，所以2πr×3＝πr32+r2，得r2＝9，所以圓錐的體積V＝13πr2×3[教材呈現(xiàn)](人教A必修二P120T4)如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積．點(diǎn)評：高考題與教材習(xí)題設(shè)問的本質(zhì)是一樣的，都考查了圓錐的側(cè)面積與體積的求解．課時(shí)測評52空間的幾何體及其直觀圖、簡單幾何體的表面積和體積對應(yīng)學(xué)生(時(shí)間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂！)(每小題5分，共50分)1．下列說法中正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線答案：D解析：對于A，如圖①所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各個(gè)面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯(cuò)誤；對于B，如圖②③所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐，故B錯(cuò)誤；對于C，若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由過中心和定點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，故C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)圓錐母線的定義知，D正確．故選D．2．如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是()A．8 B．16C．32 D．64答案：C解析：根據(jù)題意，如圖，原圖形△AOB的底邊OB的長為4，高為16，所以其面積S＝12×4×16＝32.故選C3．(2024·四川廣元模擬)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為36，E為棱CC1上的點(diǎn)，且CE＝2EC1，則三棱錐E-BCD的體積是()A．3 B．4C．6 D．12答案：B解析：因?yàn)镾△BCD＝12S四邊形ABCD，CE＝23CC1，VABCD-A1B1C1D1＝S四邊形ABCD·CC1＝36，所以VE-BCD＝4．(2024·陜西咸陽模擬)若圓臺的高是3，一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍，母線與下底面成45?角，則這個(gè)圓臺的側(cè)面積是()A．27π B．272πC．92π D．362π答案：B解析：由題意，可作該圓臺的軸截面，如圖所示，則圓臺的高h(yuǎn)＝O1O2＝BE＝3，上底面半徑r＝O2B，下底面半徑R＝O1A，即2O2B＝O1A，母線l＝AB，∠BAE＝45?.在Rt△ABE中，AE＝BE＝3，AB＝32.易知在正方形O2O1EB中，O2B＝O1E，則AO1＝2EO1＝2AE＝6，即O2B＝3.綜上，h＝3，r＝3，R＝6，l＝32，故圓臺的側(cè)面積S＝π(r＋R)l＝π(3＋6)×32＝272π.5．(2024·浙江金華模擬)如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，三角形BEF的周長的最小值為2a，則側(cè)棱SA，SC的夾角為(A．30? B．60?C．20? D．90?答案：A解析：把正三棱錐沿SB剪開，展開形成三個(gè)全等的等腰三角形，分別為△SBC，△SCA，△SAB′，連接BB′，交SC于點(diǎn)F，交SA于點(diǎn)E，則線段BB′的長就是△BEF的最小周長，BB′＝2a，又SB＝SB′＝a，根據(jù)勾股定理，SB2＋SB′2＝BB′2＝2a2，所以△SBB′是等腰直角三角形，∠BSB′＝90?，所以∠ASC＝90?×13＝30?，所以側(cè)棱SA，SC的夾角為30?.故選A6．(多選)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120?，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45?，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為43πC．AC＝22D．△PAC的面積為3答案：AC解析：依題意，∠APB＝120?，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝3，對于A，圓錐的體積為13×π×32×1＝π，故A正確；對于B，圓錐的側(cè)面積為π×3×2＝23π，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角，則∠PDO＝45?，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝3-1＝2，則AC＝22，故C正確；對于D，PD＝12+7．(數(shù)學(xué)文化)(多選)攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，多見于亭閣式建筑、園林建筑．如圖為四角攢尖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個(gè)角接近30?.若取θ＝30?，側(cè)棱長為21米，則()A．正四棱錐的底面邊長為6米B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為243平方米D．正四棱錐的側(cè)面積為123平方米答案：AC解析：如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長為2a.因?yàn)椤蟂HO＝30?，所以O(shè)H＝AH＝a，OS＝33a，SH＝233a.在Rt△SAH中，a2＋233a2＝21，解得a＝3，所以正四棱錐的8．(2024·天津?yàn)I海新區(qū)二模)在各棱長均為2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，上下底面的中心分別為D，H，三個(gè)側(cè)面的中心分別為E，F(xiàn)，G，若在該三棱柱中挖去兩個(gè)三棱錐D-EFG和H-EFG，則剩余部分的體積為__________．答案：11解析：如圖所示，因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面的中心分別為E，F(xiàn)，G，所以三棱錐D-EFG和三棱錐H-EFG的底面EFG面積為14S△ABC，高為正三棱柱的高的一半，故挖去的幾何體的體積為2×13×14×12×2×2sin60?×1＝36，三棱柱的體積為12×2×2sin609．已知一平面截一球得到直徑為23cm的圓面，球心到這個(gè)面的距離是6cm，則該球的體積為________．答案：36πcm3解析：由題意知截面圓的半徑為r＝3cm，所以球的半徑為R＝32+62＝3cm，體積為V＝43πR3＝4310．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為________．答案：28解析：法一：由于24＝12，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為13×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為13×(2×2)×3＝4法二：棱臺的體積為13×3×16+4+16(每小題8分，共32分)11．(2023·全國乙卷)已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120?，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為(A．π B．6πC．3π D．36π答案：B解析：在△AOB中，∠AOB＝120?，而OA＝OB＝3，取AB的中點(diǎn)C，連接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如圖，所以∠ABO＝30?，OC＝32，BC＝32，AB＝2BC＝3，由△PAB的面積為934，得12×3×PC＝934，解得PC＝332，于是PO＝PC2-O12．(2024·廣東惠州模擬)如圖①所示，在高為h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好在平面A1B1C內(nèi)(如圖②)，則容器的高h(yuǎn)為()A．22 B．3C．4 D．6答案：B解析：結(jié)合題圖②知VC-A1B1C1＝13S△A1B113．(數(shù)學(xué)文化)(2023·山東濟(jì)南二模)17世紀(jì)30年代，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在《不可分量幾何學(xué)》一書中介紹了利用平面圖形旋轉(zhuǎn)計(jì)算球體體積的方法．如圖，AEB是一個(gè)半圓，圓心為O，四邊形ABCD是半圓的外切矩形．以直線OE為軸將該平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，記△OCD，陰影部分，半圓AEB所形成的幾何體