104.新高考背景下的概率填空壓軸1.枚舉法在新情境題目中的應(yīng)用例1．圖為一個(gè)開關(guān)陣列，每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài)．例如，按將導(dǎo)致，，，，改變狀態(tài)．如果要求只改變的狀態(tài)，則需按開關(guān)的最少次數(shù)為________．解析：根據(jù)題意可知，只有在以及周邊按動(dòng)開關(guān)才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少.具體原因如下：假設(shè)開始按動(dòng)前所有開關(guān)閉合，要只改變的狀態(tài)，在按動(dòng)（1,1）后，（1,2），（2,1）也改變，下一步可同時(shí)恢復(fù)或逐一恢復(fù)，同時(shí)恢復(fù)需按動(dòng)（2,2），但會(huì)導(dǎo)致周邊的（2,3），（3,2）也改變，因此會(huì)按動(dòng)開關(guān)更多的次數(shù)，所以接下來逐一恢復(fù)，沿著周邊的開關(guān)按動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)最少的開關(guān)次數(shù)．如下表所示：（按順時(shí)針方向開關(guān)，逆時(shí)針也可以）按動(dòng)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)按動(dòng)開關(guān)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)按動(dòng)開關(guān)關(guān)開開關(guān)關(guān)關(guān)開按動(dòng)開關(guān)關(guān)開開關(guān)開開關(guān)按動(dòng)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)故答案為：5．例2.（2020全國2卷）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（）A.B.C. D.解析：由知，序列的周期為m，由已知，，對(duì)于選項(xiàng)A，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)B，，不滿足；對(duì)于選項(xiàng)D，，不滿足；故選：C例3（2016年全國三卷）定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為，項(xiàng)為，且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若，則則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè)解析：由題意可得，，，，…，中有3個(gè)0、3個(gè)1，且滿足對(duì)任意≤8，都有，，…，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，利用列舉法可得不同的“規(guī)范01數(shù)列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14個(gè)．例4（2020全國1卷）.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.解析：（1）記事件甲連勝四場(chǎng)，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為.（3）①四場(chǎng)比賽丙獲勝，丙在前四場(chǎng)獲勝的概率為②由下表可知：五場(chǎng)比賽丙獲勝，，，，丙五場(chǎng)比賽丙獲勝的概率為由于①②互斥，丙最終獲勝的概率為.丙的參賽情況12345事件輪空勝勝敗勝B輪空勝敗輪空勝C輪空敗輪空勝勝D注：第二問在處理時(shí)直接列舉情況較復(fù)雜，此時(shí)可以采取正難則反的技巧.第三問則可直接枚舉出各種可能結(jié)果，這是我們?cè)谟?jì)算復(fù)雜事件時(shí)一個(gè)重要的技巧.例5．近幾年，隨著生活水平的提高，人們對(duì)水果的需求量也隨之增加，我市精品水果店大街小巷遍地開花，其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口，風(fēng)味較好，廣受消費(fèi)者的喜愛.在某水果店，某種獼猴桃整盒出售，每盒20個(gè).已知各盒含0，1個(gè)爛果的概率分別為0.8，0.2.（1）顧客甲任取一盒，隨機(jī)檢查其中4個(gè)獼猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則買下這盒獼猴桃，否則不會(huì)購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率；（2）顧客乙第1周網(wǎng)購了一盒這種獼猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒；若當(dāng)中有爛果，則隔一周再網(wǎng)購一盒；以此類推，求乙第5周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率解析：（1）由題意可得：甲不購買一盒獼猴桃情況為該盒有1個(gè)爛果且隨機(jī)檢查其中4個(gè)時(shí)抽到這個(gè)爛果，甲購買一盒獼猴桃的概率.（2）用“√”表示購買，“╳”表示不購買，乙第5周購買有如下可能：第1周第2周第3周第4周第5周√√√√√√╳√√√√√╳√√√╳√╳√√√√╳√故乙第5周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率.例6.（2017年全國1卷12題）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來兩項(xiàng)是，再下來三項(xiàng)是，以此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)，且該數(shù)列的前項(xiàng)和為的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）解析：由于這是選擇題,為求最小值,從最小的開始檢驗(yàn)選項(xiàng)D:若,由,知第項(xiàng)排在第14行,第19個(gè)由是奇數(shù)知不能寫成整數(shù)冪;選項(xiàng)C:若,由知,第項(xiàng)排在第21行,第10個(gè)是大于1的奇數(shù),不能寫成整數(shù)冪;選項(xiàng)B,若,由知第項(xiàng)排在第26行,第個(gè),同理,不能寫成整數(shù)冪;選項(xiàng)A時(shí),當(dāng)時(shí),由,可解出所以這前和為:,符合題意,故選A．

新試卷背景下排列組合問題的十大應(yīng)用本節(jié)主要介紹排列組合與二項(xiàng)式定理中的基本問題，新高考目前在該板塊主要考察一道小題，同時(shí)排列組合問題會(huì)和古典概型結(jié)合深度考察，但難度整體不大，屬于基礎(chǔ)題，讀者只需掌握常見的排列組合模型與二項(xiàng)式定理的基本性質(zhì)便可輕松應(yīng)考.一．基本原理考點(diǎn)1.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理1.分類計(jì)數(shù)原理定義：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有方法數(shù)：2.分步計(jì)數(shù)原理定義：做一件事，完成它需要分成個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同的方法……做第個(gè)步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有方法數(shù)：考點(diǎn)2.排列1.排列的定義一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取個(gè)元素的一個(gè)排列．2.排列數(shù)（1）排列數(shù)定義（2）排列數(shù)公式（1）全排列個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列，這時(shí)公式中，即有．1.組合的定義一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合，也就是說，組合是從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素，不分次序構(gòu)成一組.2.組合數(shù)3.組合數(shù)公式，，規(guī)定：.4.組合數(shù)的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2:考點(diǎn)4.常見的一些排列問題及其解決方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法4.分組分配問題4.1（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：將個(gè)不同元素分成組，且每組的元素個(gè)數(shù)分別為，記.（1）非均勻不編號(hào)分組：個(gè)不同元素分成組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.（2）均勻不編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成不編號(hào)（即無序）的組，每組元素?cái)?shù)目相等，其分法種數(shù)為.（3）部分均勻不編號(hào)分組：將個(gè)不同元素分成不編號(hào)的組，其中有組元素個(gè)數(shù)相等，其分法種數(shù)為，如果再有組均勻分組，應(yīng)再除以.4.2分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．二．典例分析★1.排列，組合公式及應(yīng)用例1．若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．解析：對(duì)A：，又，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故B正確；對(duì)C：，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，即，故D正確.故選：BD.★2.排列組合中的特殊優(yōu)先原則例2．“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有（

）A．100個(gè) B．125個(gè) C．225個(gè) D．250個(gè)解析：依題意，五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”具有：萬位與個(gè)位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)有兩類辦法：最多1個(gè)0，取奇數(shù)字有種，取能重復(fù)的偶數(shù)字有種，它們排入數(shù)位有種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，最少2個(gè)0，取奇數(shù)字有種，占萬位和個(gè)位，兩個(gè)0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有種，不同“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)是個(gè)，由分類加法計(jì)算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個(gè).故選：C例2．為確保馬拉松賽事在某市順利舉行，組委會(huì)在沿途一共設(shè)置了7個(gè)飲水點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)飲水點(diǎn)中間再設(shè)置一個(gè)服務(wù)站，一共6個(gè)服務(wù)站.由含甲?乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)這13個(gè)站點(diǎn)的服務(wù)工作，每一個(gè)站點(diǎn)有且僅有一支服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)服務(wù)，則甲隊(duì)和乙隊(duì)在不同類型的站點(diǎn)服務(wù)且不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．解析：由題意可知甲隊(duì)和乙隊(duì)共有種不同安排方法，甲隊(duì)和乙隊(duì)在不同類型的站點(diǎn)服務(wù)且不相鄰，分以下三種情況，1、從2個(gè)端點(diǎn)飲水點(diǎn)任選一個(gè)安排甲，再從與該飲水點(diǎn)不相鄰的5個(gè)服務(wù)站選一個(gè)安排乙；2、從中間5個(gè)飲水點(diǎn)任選一個(gè)安排甲，再從不與該飲水點(diǎn)相鄰的4個(gè)服務(wù)站選一個(gè)安排乙；3、從6個(gè)服務(wù)站任選一個(gè)安排甲，再從不與該服務(wù)站相鄰的5個(gè)飲水站選一個(gè)安排乙；共有種不同安排方法，所以甲隊(duì)和乙隊(duì)在不同類型的站點(diǎn)服務(wù)且不相鄰的概率為.故選：D.例3．為了強(qiáng)化學(xué)生安全意識(shí)，落實(shí)“12530”安全教育，某學(xué)校讓學(xué)生用這5個(gè)數(shù)字再加一個(gè)0來設(shè)定自己教室儲(chǔ)物柜密碼，若兩個(gè)0之間至少有一個(gè)數(shù)字，且兩0不都在首末兩位，可以設(shè)置的密碼共有（

）A．72 B．120 C．216 D．240解析：從左到右的6個(gè)位置分別為，若兩個(gè)0之間有一個(gè)數(shù)字，此時(shí)兩個(gè)0的位置有或或或四種情況，在把剩余的4個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，此時(shí)共有種，若兩個(gè)0之間有兩個(gè)數(shù)字，此時(shí)兩個(gè)0的位置有或或三種情況，剩余的4個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，此時(shí)有種，若兩個(gè)0之間有三個(gè)數(shù)字，此時(shí)兩個(gè)0的位置有或兩種情況，剩余的4個(gè)數(shù)進(jìn)行全排列，此時(shí)有種，綜上，可以設(shè)置的密碼共有個(gè).故選：C★3.相鄰問題例4.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A．種 B．種 C．種 D．種解析：先利用捆綁法排乙丙丁戊四人，再用插空法選甲的位置，則有種．選B.例5．某學(xué)校參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的1名教師和甲、乙、丙、丁4名學(xué)生站成一排合影留念，則教師不站在兩端，且甲、乙相鄰的概率為（

）A． B． C． D．解析：教師和4名學(xué)生站成一排一共有種方法，將甲和乙看成一個(gè)元素，有種方法，這樣就有4個(gè)不同的元素，教師不站兩端，則教師有2種方法，其余3個(gè)元素有種方法，則滿足條件的站法有種，所以教師不站兩端，且甲、乙相鄰的概率.故選：C★4.不相鄰問題例6．將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為 ()A． B． C． D．解析：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為．故選：C．例7.已知3名男同學(xué)、2名女同學(xué)和1名老師站成一排，女同學(xué)不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（

）A．336種 B．284種 C．264種 D．186種解析：當(dāng)2名女生站在兩端時(shí)，3名男生和1名老師排在中間，共有種排法；當(dāng)有1名女生排在一端，另一端排男生時(shí)，共有種排法；當(dāng)男生排在兩端時(shí)，共有種排法；故不同的排法共有（種），故選：A★5.定序問題例8．在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋順序共有（

）A．72種 B．36種 C．12種 D．6種解析：由題意可知六種原料中可以把香菌、新筍、豆腐干看成一種，即有種放法，又茄子凈肉放在雞脯肉后，則有種放法.故選：C例9.將,六個(gè)字母排成一排,且均在的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答).解析：先不考慮的順序限制,任意排列這6個(gè)字母,共有個(gè)不同排列.其中,當(dāng)?shù)奈恢霉潭〞r(shí),任意交換這3個(gè)字母的位置,共有種不同的排列,而符合均在的同側(cè)這一條件的排列有個(gè).在所有的種排列方法中,符合順序要求的排法所占比例為.所以,不同的排法共種.★6.涂色問題例10．如圖，用4種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有（

）A．48 B．56 C．72 D．256解析：將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為，如圖所示：第一步涂種涂法，第二步涂種涂法，第三步涂種涂法，第四步涂種涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種著色方法.故選：A.例11．已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．420 C．336 D．120解析：當(dāng)只用三種顏色時(shí)，同色且同色，5種顏色選擇3種，且有種選擇，當(dāng)只用四種顏色時(shí)，同色或同色，從5種顏色中選擇4種，再從和中二選一，涂相同顏色，故有種選擇，當(dāng)用五種顏色時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)用1種顏色，故有種選擇，綜上，共有種選擇.故選：B

★7.分組分配問題例12．甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的三項(xiàng)不同活動(dòng)，每人只能報(bào)其中一項(xiàng)活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有一個(gè)人參加，則甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（

）A． B． C． D．解析：先將5名志愿者分成3組，第一類分法是3，1，1，第二類分法是2，2，1，再分配到三項(xiàng)活動(dòng)中，總方法數(shù)為，因甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三項(xiàng)活動(dòng)上安排好，再讓丁，戊兩人分別在三項(xiàng)活動(dòng)中選擇，其方法數(shù)為.故甲、乙、丙三位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為．故選:C．例13．將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分到同一個(gè)地區(qū)的概率為（）A． B． C． D．解析：將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配2人，則有3人分到一個(gè)地區(qū)，分配方法共有種，其中甲、乙、丙分到同一個(gè)地區(qū)的分配方法有，故所求的概率為，故選：D例14.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種解析：根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.★8.正難則反例11.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.解析：首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有種情況，再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則，共計(jì)種，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，所以甲不在小區(qū)的概率為，故選：B.9.★不定方程與擋板問題擋板法討論不定方程的非負(fù)整數(shù)解.（1）方程的正整數(shù)解為個(gè).（2）方程的非負(fù)整數(shù)解為個(gè).例12．不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．解析：不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)將個(gè)相同小球放入三個(gè)盒子，允許有空盒的放法種數(shù).現(xiàn)在在每個(gè)盒子里各加一個(gè)相同的小球，問題等價(jià)于將個(gè)相同小球放入三個(gè)盒子，沒有空盒的放法種數(shù)，則只需在個(gè)小球中形成的空位（不包含兩端）中插入兩塊板即可，因此，不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故選：C.例13.方程的正整數(shù)解共有（）組A．165 B．120 C．38 D．35解析：如圖，將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數(shù)目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，反之，方程的每一組解都對(duì)應(yīng)著一種在12個(gè)球中插入隔板的方式，故方程的正整數(shù)解的數(shù)目為：，故選：A.10.★排列組合綜合應(yīng)用（新情境）例14．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為，則（

）A． B． C． D．解析：為奇數(shù)時(shí)，前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有個(gè)正數(shù)，，，故A錯(cuò)誤；為偶數(shù)時(shí)，前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有個(gè)正數(shù)，，，，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.例15．通信工程中常用元數(shù)組表示信息，其中或．設(shè)表示和中相對(duì)應(yīng)的元素（對(duì)應(yīng)，）不同的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則存在5個(gè)5元數(shù)組，使得B．若，則存在12個(gè)5元數(shù)組，使得C．若元數(shù)組，則D．若元數(shù)組，則解析：選項(xiàng)A：由題意，5個(gè)位置選則1個(gè)位置安排1即可，滿足條件的數(shù)組共有個(gè)，故A正確；選項(xiàng)B：由題意5個(gè)位置選則3個(gè)位置安排0即可，滿足條件的數(shù)組共有個(gè)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的共有個(gè)，同時(shí)為1的共有個(gè)，從而對(duì)應(yīng)項(xiàng)一項(xiàng)為1與另一項(xiàng)為0的共有個(gè)，這里，從而，而，故C正確，同理D正確．故選：ACD例16（24屆合肥高三第一次質(zhì)檢）．“數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意，定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對(duì)任意，（1）計(jì)算：；（2）證明：對(duì)于任意，（3）證明：對(duì)于任意，解析：（1）由定義可知，.（2）因?yàn)椋?又,所以（3）由定義得：對(duì)任意.結(jié)合（2）可知即，也即.所以，，…….上述個(gè)等式兩邊分別相加得：.例17.幾個(gè)重要的競(jìng)賽（強(qiáng)基）背景（1）容斥原理下的錯(cuò)位排列.設(shè)集合，其所有元素的一個(gè)全排列滿足，都有，則稱這樣的全排列為錯(cuò)位全排列.證明：錯(cuò)位全排列數(shù)為：.證明：記為滿足的全排列的集合，則顯然由容斥原理，排列數(shù)為，證畢.（2）卡塔蘭數(shù)：已知，并且滿足，，求有序數(shù)組的個(gè)數(shù).解：依題，中共有個(gè)，個(gè)，先不考慮記為（*）式，則共有種，接下來考慮排除法，若不符合（*）式，則一定存在一個(gè)的自然數(shù)，使得：，現(xiàn)將全部改變符號(hào)，即有：，對(duì)應(yīng)后則有個(gè)，個(gè)，反之，對(duì)任一個(gè)個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組，其必然存在一個(gè)最小的自然數(shù)，滿足.作對(duì)應(yīng)，顯然，與互為逆映射，從而不滿足（*）式的個(gè)數(shù)，就是由個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)，從而.三．習(xí)題演練1．某校甲、乙、丙、丁4個(gè)小組到A，B，C這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（

）A． B． C． D．解析：每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，所有的選擇情況有種，每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的情況有,故概率為，故選：C2．現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為（

）A．216 B．432 C．864 D．1080解析：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，再把4名語文教師按分成3組，并分配到三所學(xué)校，有種方法，最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語文教師的兩所學(xué)校，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為.故選：B3．某表彰會(huì)上3名男同學(xué)和4名女同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，則女生甲與女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰的排法種數(shù)為（

）A．194 B．240 C．388 D．480解析：因?yàn)榕着c女生乙相鄰，且女生丙與女生丁相鄰，則捆綁起來算作兩個(gè)元素，與3名男同學(xué)構(gòu)成5個(gè)元素，則排法共有：種，故選：D4．小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．48 B．32 C．24 D．16解析：1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C5．一個(gè)信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個(gè)電子元件被點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅色光?藍(lán)色光?綠色光中的一種光.若每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)被點(diǎn)亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有（

）A．60種 B．68種 C．82種 D．108種解析：每次恰有三個(gè)電子元件被點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)電子元件不能同時(shí)被點(diǎn)亮，所以需把3個(gè)亮的發(fā)光原件插入未點(diǎn)亮的元件中，有種方法，且不同顏色數(shù)有種，所以這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有種.故選：D6．現(xiàn)有四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（

）

A． B． C． D．解析：根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，每個(gè)部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個(gè)區(qū)域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個(gè)區(qū)域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C

新概念壓軸中的組合恒等式及應(yīng)用一．基本原理基本組合數(shù)公式和常見的組合恒等式(1)(2)證明：方法1.構(gòu)造組合實(shí)際含義（見新教材選擇性必修三，第28頁）方法2.構(gòu)造母函數(shù)（算兩次）：分別求和的展開式中的系數(shù)．前者的展開式中的系數(shù)為；后者的展開式中的系數(shù)為.因?yàn)?，則兩個(gè)展開式中的系數(shù)也相等，即．(3)或;，，所以.（凌晨講數(shù)學(xué)）(4);(5);(6);(7).證明:方法1.組合數(shù)公式法:有組合數(shù)性質(zhì)可得:左邊右邊，得證.方法2.組合數(shù)實(shí)際意義:（凌晨講數(shù)學(xué)）設(shè)有個(gè)不同元素,從這個(gè)元素中取出個(gè)不同元素的取法有種，另一方面,我們也可將這些取法分類考慮如下:若取,則有種取法，若不取，取出，則有種取法，若不取取出則有種取法，...若不取,取出則有種取法，所以取法種數(shù)又等于,因此原式成立方法3.母函數(shù)法:等式左邊是的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù),由數(shù)列求和公式可得時(shí) 上式右邊展開式中含的項(xiàng)就是分子中含的項(xiàng),其系數(shù)為,因此有 二．典例分析例1.（1）求的值;（2）設(shè)，求證:解析：（2）方法1：組合數(shù)公式法:因?yàn)?所以左邊又由，知，左邊右邊.方法2.母函數(shù)法:等式左邊為函數(shù)的展開式中含前的系數(shù)記則用錯(cuò)位相減法易求得，其中前的系數(shù)為，（凌晨講數(shù)學(xué)）命題得證.例2．組合數(shù)有許多豐富有趣的性質(zhì)，例如，二項(xiàng)式系數(shù)的和有下述性質(zhì)：.小明同學(xué)想進(jìn)一步探究組合數(shù)平方和的性質(zhì)，請(qǐng)幫他完成下面的探究.（1）計(jì)算：，并與比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出一般性結(jié)論并證明；（2）證明：（3）利用上述（1）（2）兩小問的結(jié)論，證明：.解析：（1），，規(guī)律：，證明如下：的展開式中，的系數(shù)為，同時(shí)，的展開式中的系數(shù)為，所以.（2）證明：的展開式中的系數(shù)為，又，的展開式中的系數(shù)為，所以.（3）證明：由（1）可知，由（2）可知，兩式相減可得，即.例3．（24屆濟(jì)南市高三一模）下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．解析：對(duì)于A，因?yàn)?，令，得，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確.對(duì)于D，，對(duì)于，其含有的項(xiàng)的系數(shù)為，對(duì)于，要得到含有的項(xiàng)的系數(shù)，須從第一個(gè)式子取出個(gè)，再從第二個(gè)式子取出個(gè)，（凌晨講數(shù)學(xué)）它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)為，所以，故D正確.故選：BCD.求證：當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)，證明：.例5．證明：（范德蒙（Vandermonde）恒等式）．解析：證明：考慮中的系數(shù)，一方面，多項(xiàng)式展開式中的系數(shù)是，另一方面，展開式中的系數(shù)是，所以．例6．求證：.解析：左邊==1=右邊.即證.例7．（24屆合肥市高三一模）“數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意，（凌晨講數(shù)學(xué)）定義“數(shù)”利用“數(shù)”可定義“階乘”和“組合數(shù)”，即對(duì)任意，（1）計(jì)算：；（2）證明：對(duì)于任意，（3）證明：對(duì)于任意，解析：（1）由定義可知，.（2）因?yàn)椋?所以（3）由定義得：對(duì)任意.結(jié)合（2）可知（凌晨講數(shù)學(xué)），即，也即.所以，…….上述個(gè)等式兩邊分別相加得：.例8．（24屆廣東省高三一模）某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的名學(xué)生全都來自A，B，C三所學(xué)校，其中來自A校的學(xué)生人數(shù)為.該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼，按面試號(hào)碼由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).（1）求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A校的概率.（2）若，，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.（3）記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長（從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間），是的數(shù)學(xué)期望，證明：.解析：（1）記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A?！睘槭录嗀，將A校n名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2，其他名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故．（2）設(shè)B校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得，解得．所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名．記“最后面試的學(xué)生來自B?！睘槭录﨎，“最后面試的學(xué)生來自C?！睘槭录﨏，顯然事件B，C互斥．記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D，則．當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，只需考慮A，C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自C校，則．當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A，B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自B校，則．所以．（3）由題知隨機(jī)變量X的取值為，，…，，則隨機(jī)變量X的分布列為，，，…，N．（凌晨講數(shù)學(xué)）所以隨機(jī)變量X的期望．所以．

概率與數(shù)列綜合的四種常見形式一．重伯努利試驗(yàn)二.樣本總數(shù)為的超幾何分布三．全概率公式與數(shù)列遞推四．基于數(shù)學(xué)期望的遞推關(guān)系★一．重伯努利試驗(yàn)例1.（2024屆廣州市高三一模）某校開展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)，該活動(dòng)共有兩關(guān)，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場(chǎng)，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場(chǎng)參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.（1）若，用表示團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場(chǎng)闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；（2）記團(tuán)隊(duì)第位成員上場(chǎng)且闖過第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)，求.解析：（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.（2）令，若前位玩家都沒有通過第一關(guān)測(cè)試，其概率為，若前位玩家中第位玩家才通過第一關(guān)測(cè)試，則前面位玩家無人通過第一關(guān)測(cè)試，其概率為，第位玩家通過第一關(guān)測(cè)試，但沒有通過第二關(guān)測(cè)試，其概率為，第位玩家到第位玩家都沒有通過第二關(guān)測(cè)試，其概率為，所以前面位玩家中恰有一人通過第一關(guān)測(cè)試的概率為：，因此第位成員闖過第二關(guān)的概率，由，得，解得，則，所以.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）★二.樣本總數(shù)為的超幾何分布例2.（24屆浙江Z208月聯(lián)考）2023年中央一號(hào)文件指出,艮旋要復(fù)興,鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興,某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專部.(公眾號(hào)浙江省高中數(shù)學(xué))直播前,此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷,并在購買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)本向卷.已知有名熱心參與問卷的顧客,此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活跡次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名顧客中抽取20名顧客,抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送,若直拱時(shí)這名顧客都在線,記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為(不重復(fù)計(jì)數(shù)).（1）若甲是這名顧客中的一人,且甲被抽中的概率為，求;（2）求使取得最大值時(shí)的整數(shù).解析：（1）記“甲被抽中”,“第次被抽中”,則解得：（2）由于，記,即求在何時(shí)取到最大值，下面討論的單調(diào)性：解得，所以，當(dāng)或40時(shí),取到最大值.例3．（24屆廣東省高三二模）某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的名學(xué)生全都來自A，B，C三所學(xué)校，其中來自A校的（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）學(xué)生人數(shù)為.該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼，按面試號(hào)碼由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng).（1）求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A校的概率.（2）若，，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試（A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試）的概率.（3）記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長（從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間），是的數(shù)學(xué)期望，證明：.解析：（1）記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來自A?！睘槭录嗀，將A校名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2，其他名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故．（2）設(shè)B校參加面試的學(xué)生有名，由題意得，解得．所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名．記“最后面試的學(xué)生來自B校”為事件B，“最后面試的學(xué)生來自C校”為事件C，顯然事件B，C互斥．記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D，則．當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，只需考慮A，C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自C校，則．當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A，B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來自B校，則．所以．（3）由題知隨機(jī)變量的取值為，，…，，則隨機(jī)變量的分布列為，，，…，．所以隨機(jī)變量的期望，．所以．★三．全概率公式與數(shù)列遞推1．全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件，有.我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．例4．甲進(jìn)行摸球跳格游戲.圖上標(biāo)有第1格，第2格，，第25格，棋子開始在第1格.盒中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球（5個(gè)球除顏色外其他都相同）.每次甲在盒中隨機(jī)摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格時(shí)，游戲結(jié)束.記棋子跳到第格的概率為.（1）甲在一次摸球中摸出紅球的個(gè)數(shù)記為，求的分布列和期望；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.解析：（1）根據(jù)題意可知的所有可能取值為則可得的分布列如下：012期望值為.（2）依題意，當(dāng)時(shí)，棋子跳到第格有兩種可能：第一種，棋子先跳到第格，再摸出兩球顏色不同；第二種，棋子先跳到第格，再摸出兩球顏色相同.又可知摸出兩球顏色不同，即跳兩格的概率為，摸出兩球顏色相同，即跳一格的概率為因此可得，所以，因此可得且，即數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，即，所以由題意，綜上，.例5．（2023·新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解析：（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．★四．基于數(shù)學(xué)期望的遞推關(guān)系例6．設(shè)一個(gè)袋子里有紅、黃、藍(lán)色小球各一個(gè)現(xiàn)每次從袋子里取出一個(gè)球(取出某色球的概率均相同)，確定顏色后放回，直到連續(xù)兩次均取出紅色球時(shí)為止，記此時(shí)取出球的次數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為_______（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）解析：設(shè)所求數(shù)學(xué)期望為E，第一次取出的球的顏色分別為紅、黃、藍(lán)的取法的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(a)、E(b)、E(c).則E(b)=E(c).因?yàn)榈谝淮稳〕龅那虻念伾珵榧t、黃、藍(lán)的概率是相同的，所以，①先考慮第一次取出的球是紅色的，若第二次取出的球是紅色的，則操作結(jié)束；若不然，第一個(gè)為紅球，第二個(gè)球的顏色為黃或藍(lán)，忽略第一個(gè)球，剩下的取球方式可以視為一種新的取法(即第一個(gè)球的顏色是黃或藍(lán))，則②再考慮第一次取出的球的顏色是黃或藍(lán)，忽略第一個(gè)球，剩下的取球方式可以視為一種新的取法，則③,由①、②、③，解得E=12.故答案為：12．例7．有一枚質(zhì)地均勻的硬幣，現(xiàn)進(jìn)行連續(xù)拋硬幣游戲，規(guī)則如下：在拋擲的過程中，無論何時(shí)，連續(xù)出現(xiàn)奇數(shù)次正面后出現(xiàn)一次反面，則游戲停止；否則游戲繼續(xù)進(jìn)行.最多拋擲10次，則該游戲拋擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_________解析：記最多拋擲次時(shí)該游戲拋擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.易知，，.考慮時(shí)的情形.最多投擲次，分以下三種情形討論.（1）第一次投擲為反面，概率為，變?yōu)榈那樾?，?shù)學(xué)期望為；（2）第一、二次投擲均為正面，概率為，變?yōu)榈那樾危瑪?shù)學(xué)期望為；（3）第一次投擲為正面，第二次為反面，游戲停止，概率為.數(shù)學(xué)期望為2.綜上，知.因?yàn)?，，所以遞推可得,故答案為.例8.（2024屆武漢高三四月調(diào)考）已知常數(shù)，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記為首次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，的取值為所有正整數(shù)，此時(shí)稱離散型隨機(jī)變量的概率分布為幾何分布.（1）對(duì)于正整數(shù)，求，并根據(jù)求；（2）對(duì)于幾何分布的拓展問題，（凌晨講數(shù)學(xué)）在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，現(xiàn)提供一種求的方式：先進(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)失敗對(duì)出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是，即總的試驗(yàn)次數(shù)為；若第一次試驗(yàn)成功，則進(jìn)行第二次試驗(yàn)，當(dāng)?shù)诙卧囼?yàn)成功時(shí)，試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為2，若第二次試驗(yàn)失敗，相當(dāng)于重新試驗(yàn)，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為.（i）求；（ii）記首次出現(xiàn)連續(xù)次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，求.解析：（1），，記，則，相減得：由題意：.（2）（i）.解得：.（ii）期待在次試驗(yàn)后，首次出現(xiàn)連續(xù)次成功，若下一次試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為；若下一次試驗(yàn)失敗，相當(dāng)于重新試驗(yàn)，后續(xù)期望仍是，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為.即.整理得：，即.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）所以.由（1）知，代入得：.

利用對(duì)稱性計(jì)算概率例1．（2023屆武漢四調(diào)）中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對(duì)稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場(chǎng)比賽獲勝概率均為，且每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對(duì)稱性可知，在5場(chǎng)比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場(chǎng)的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．解析：（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，，由對(duì)稱性可知?jiǎng)t甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對(duì)稱性可知，故，而由，可得．

概率填空壓軸選編1．（2024年新高考1卷）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_________.2．（2024全國甲卷高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為________．3．（24-25高三上江蘇期末）已知等差數(shù)列的公差不為0．若在的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來的順序仍然成等差數(shù)列的概率為_______．（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）4．（24-25高三上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數(shù)字依次記為，則不等式成立的概率是_____.5．（24-25高三上·安徽·階段練習(xí)）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，，，從數(shù)列中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)也是數(shù)列中的項(xiàng)的概率為____.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）6．（2024·浙江寧波·一模）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取兩個(gè)球，乙接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的兩個(gè)小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個(gè)球中依次不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為_______.7．（24-25高三上·湖南株洲·期末）在箱子里有六張印有6名同學(xué)名字（名字都不相同）的卡片，6名同學(xué)隨機(jī)在箱子中抽取一張卡片.為了使6名同學(xué)都能拿到自己的卡片，每次只有2名同學(xué)可以互換手中的卡片，則這6名同學(xué)至少進(jìn)行5次互換才能都拿到自己名字的卡片的概率為_________.8．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲得3分的概率為；甲的總得分不小于2的概率為_________．1．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.2．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過12時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：3．（24-25高三上·江蘇·期末）已知等差數(shù)列的公差不為0．若在的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來的順序仍然成等差數(shù)列的概率為．（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，若在數(shù)列的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，構(gòu)成新的等差數(shù)列，則其公差可能為.當(dāng)公差為時(shí)，則首項(xiàng)可以為，可構(gòu)成共個(gè)不同的等差數(shù)列；當(dāng)公差為時(shí)，則首項(xiàng)可以為，可構(gòu)成共個(gè)不同的等差數(shù)列；當(dāng)公差為時(shí)，則首項(xiàng)可以