101.全國卷概率計算的十二種題型與方法1.頻率與概率（統(tǒng)計結(jié)合概率）2.枚舉法3.排列組合與古典概型4.加法乘法概率公式5.利用對稱性計算概率6.三大分布7.極大似然估計與概率最值8.條件概率與全概率公式9.概率遞推與馬爾科夫鏈10.伯努利試驗與幾何分布11.基于期望的遞推12.新情境與跨板塊綜合問題1.頻率與概率例1.（2022年新高考全國Ⅱ卷高考真題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.解析：（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．例2.（2023年新課標Ⅱ卷高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．解析：（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當時，；當時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．2．枚舉法例3．（2022新高考1卷）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．解析：總事件數(shù)共，第一個數(shù)取2時，第二個數(shù)可以是；第一個數(shù)取3時，第二個數(shù)可以是；第一個數(shù)取4時，第二個數(shù)可以是；第一個數(shù)取5時，第二個數(shù)可以是；第一個數(shù)取6時，第二個數(shù)可以是；第一個數(shù)取7時，第二個數(shù)可以是；所以．例4.（2020全國1卷）.甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.解析：（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進行第五場比賽的概率為.（3）①四場比賽丙獲勝，丙在前四場獲勝的概率為②由下表可知：五場比賽丙獲勝，，，，丙五場比賽丙獲勝的概率為由于①②互斥，丙最終獲勝的概率為.丙的參賽情況12345事件輪空勝勝敗勝B輪空勝敗輪空勝C輪空敗輪空勝勝D注：第二問在處理時直接列舉情況較復(fù)雜，此時可以采取正難則反的技巧.第三問則可直接枚舉出各種可能結(jié)果，這是我們在計算復(fù)雜事件時一個重要的技巧.3.排列組合與古典概型例5．（2022全國甲卷）從正方體的個頂點中任選4個，則這4個點在同一平面上的概率為．解析：總的選法是，四點共面的有6個表面與6個對角面，共計12個，則．例6.（2021全國甲卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.解析：將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.例7．（2022全國乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________．解析：由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出3人，基本事件總數(shù)，甲，乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個數(shù)，根據(jù)古典概型及其概率的計算公式，甲、乙都入選的概率．故答案為：．4.概率公式主要有加法公式和乘法公式：1.如果事件與事件互斥，那么2.如果事件與事件互為對立事件，那么，3.對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．（1）事件與是相互獨立的，那么與，與，與也是否相互獨立．（2）相互獨立事件同時發(fā)生的概率：．4.計算技巧：（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”.（2）理解事件中常見詞語的含義：A,B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；A,B都發(fā)生的事件為AB；A,B都不發(fā)生的事件為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；A,B恰有一個發(fā)生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；A,B至多一個發(fā)生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).善于“正難則反”求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用解出所求事件概率.例8．（2019年全國1卷）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．解析：前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝的概率是例9.（2022全國甲卷）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.解析：（1）記甲學(xué)校獲得冠軍為事件，則甲學(xué)校獲得冠軍的概率是0.6.（2）的可能取值為0,10,20,30，則的期望值為．例10．（2023年新課標Ⅱ卷高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率解析：對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD例11．（2024年新課標2卷高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．（2）假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？解析：（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.5.利用對稱性例12．中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．（1）若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；（2）若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．解析：（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，，由對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對稱性可知，故，而由，可得．6.三個分布例13.（2023年全國甲卷）為探究某藥物對小鼠的生長作用,將40只小鼠均分為兩組,分別為對照組(不藥物)和實驗組(加藥物).(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為,求的分布到和數(shù)學(xué)期望;(2)測得40只小鼠體重如下(單位:g)：（已按從小到大排好)(i)求40只小鼠體重的中位數(shù),并完成下面列聯(lián)表:對照組實驗組(ii)根據(jù)列聯(lián)表,能否有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.參考數(shù)據(jù):解析：（1）由題意知的取值可能為（2）略例14.（2021新高考2卷）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（）A.越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B.越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等解析：對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.例15.（2022新高考2卷）．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則．解析：由題意可知，，故．7.極大似然估計一．基本原理已知函數(shù)：輸入有兩個：表示某一個具體的數(shù)據(jù)；表示模型的參數(shù)，如果是已知確定的，是變量，這個函數(shù)叫做概率函數(shù)，它描述對于不同的樣本點，其出現(xiàn)概率是多少.如果是已知確定的，是變量，這個函數(shù)叫做似然函數(shù)，它描述對于不同的模型參數(shù)，出現(xiàn)這個樣本點的概率是多少.極大似然估計，通俗理解來說，就是利用已知的樣本結(jié)果信息，反推最具有可能（最大概率）導(dǎo)致這些樣本結(jié)果出現(xiàn)的模型參數(shù)值.換句話說，極大似然估計提供了一種給定觀察數(shù)據(jù)來評估模型參數(shù)的方法，即：“模型已定，參數(shù)未知”.例16.（2018年全國1卷）．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？解析：（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.點評：第一問中，，二項分布中參數(shù)未知，所以我們需要利用似然方法找到，即利用最大.例17．（2023屆四省聯(lián)考）一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標識的魚的數(shù)目．（1）若，求的數(shù)學(xué)期望；（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標識，試給出N的估計值（以使得最大的N的值作為N的估計值）．解析：（1）依題意X服從超幾何分布，且，故．（2）當時，，當時，，記，則．由，當且僅當，則可知當時，；當時，，故時，最大，所以N的估計值為6666．8.條件概率與全概率公式例18.一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)査了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組60對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為．（=1\*romani）證明：；（=2\*romanii）利用該調(diào)査數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（=1\*romani）的結(jié)果給出的估計值．附：，解析：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異，則，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）（=1\*romani），得證；（=2\*romanii）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，，則，，所以．例19.（2022長沙新高考適應(yīng)性考試）為了調(diào)動大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識的競賽．初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個單位派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該單位獲得決賽資格的小組個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲、乙兩個小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進行．假設(shè)這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對，計算恰好是甲小組答對的概率．解析：（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件則，由題意可得，的取值有，，所以設(shè)表示事件“該單位的某小組對最后一道題回答正確”，表示事件“甲小組搶到最后一道題”，表示事件“乙小組搶到最后一道題”，則有：，則該題如果被答對，恰好是甲小組答對即為點評：本題第二問即考察了全概率公式與貝葉斯公式，后者雖然不做高考要求，但是可以看到，它實際就是條件概率的應(yīng)用，完全可以現(xiàn)場依據(jù)具體情況得出.再舉一道貝葉斯公式的例子9.概率遞推與馬爾科夫鏈雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經(jīng)是新高考考查內(nèi)容了，利用全概率公式，我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率，還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進一步，我們假設(shè)在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機游走模型在2019年全國1卷中的應(yīng)用.例20．（2023年新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（凌晨講數(shù)學(xué)）（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解析：（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．10.伯努利試驗與幾何分布幾何分布：伯努利實驗中，記每次試驗中事件發(fā)生的概率為，試驗進行到事件出現(xiàn)時停止，此時所進行的試驗次數(shù)為，其分布列為：，記為，因為此分布列是幾何數(shù)列的一般項，故稱幾何分布.若，則以記第次成功出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則亦是隨機變量，稱其概率分布為巴斯卡分布：，其中，記作，顯然，的巴斯卡分布即幾何分布.例21.（2024屆廣州市高三一模）某校開展科普知識團隊接力闖關(guān)活動，該活動共有兩關(guān)，每個團隊由位成員組成，成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān)，該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束.已知團隊每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為和，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響.（1）若，用表示團隊闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求的均值；（2）記團隊第位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為，集合中元素的最小值為，規(guī)定團隊人數(shù)，求.解析：（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.（2）令，若前位玩家都沒有通過第一關(guān)測試，其概率為，若前位玩家中第位玩家才通過第一關(guān)測試，則前面位玩家無人通過第一關(guān)測試，其概率為，第位玩家通過第一關(guān)測試，但沒有通過第二關(guān)測試，其概率為，第位玩家到第位玩家都沒有通過第二關(guān)測試，其概率為，所以前面位玩家中恰有一人通過第一關(guān)測試的概率為：，因此第位成員闖過第二關(guān)的概率，由，得，解得，則，所以.11.基于數(shù)學(xué)期望的概