99.二項分布與超幾何分布本節(jié)主要研究二項分布與超幾何分布及兩者之間的區(qū)別，全國卷在這個點上的考察主要還是以基本的概念和公式為主，并沒有像地方卷那樣單獨考察，但是我們需要注意的是二項分布的期望和方差公式，需要熟記于心，這一部分內容可能用來做為決策依據(jù)考察.一．二項分布1．重伯努利試驗的概念只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗．2．重伯努利試驗具有如下共同特征（1）同一個伯努利試驗重復做次；（2）各次試驗的結果相互獨立．3．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為：，如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作4．一般地，可以證明：如果，那么.二．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣，一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數(shù)，則X的分布列為，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．2．超幾何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p為N件產品的次品率)．三．二項分布與超幾何分布的區(qū)別1.看總體數(shù)是否給出，未給出或給出總體數(shù)較大一般考查二項分布，此時往往會出現(xiàn)重要的題眼“將頻率視為概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項分布.3.看一次抽取的結果是否只有兩個結果，若只有兩個對立的結果或，一般考查二項分布.4.看抽樣方法，如果是有放回抽樣，一定是二項分布；若是無放回抽樣，需要考慮總體數(shù)再確定.5.看每一次抽樣試驗中，事件是否獨立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨立且概率不變，一定考查二項分布，這也是判斷二項分布的最根本依據(jù).6.把握住超幾何分布與二項分布在定義敘述中的區(qū)別，超幾何分布多與分層抽樣結合，出現(xiàn)“先抽，再抽”的題干信息.三．典例分析例1．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了名觀眾進行調查．如圖是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調查所得到的頻率視為概率．（1）現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列及數(shù)學期望．（2）用分層抽樣的方法從這名觀眾中抽取名觀眾，再從抽取的抽取名觀眾中隨機抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．解析：（1）“體育迷”對應的頻率為：，用頻率估計概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中，隨機抽取名觀眾，該觀眾是“體育迷”的概率為，則；所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.（2）根據(jù)分層抽樣原則知：抽取的人中，有“體育迷”人，非“體育迷”體育迷人，則所有可能的取值為，；；；的分布列為：例2．（廣東省2023屆高考一模）某商場為了回饋廣大顧客，設計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.（1）若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.（2）若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.（3）如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.解析：（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)服從二項分布，即，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012所以的數(shù)學期望為.（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學期望為.（3）因為（1）（2）兩問的數(shù)學期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的大，即，第（1）不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產生宣傳效應，則選擇按第（2）問方式進行抽.回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進行抽獎.例3．每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權日”，為了解某地區(qū)高一學生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了1000名高一學生進行在線調查，得到了這1000名學生的日平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值：（2）為進一步了解這1000名學生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均閱讀時間在內的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.解析：（1）由頻率分布直方圖得：.解得；（2）由頻率分布直方圖得：這1000名學生中日平均閱讀時間在，兩組內的學生人數(shù)之比為，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在內的學生中抽?。ㄈ耍┰谌掌骄喿x時間在內的學生中抽取4人，現(xiàn)從這10人中隨機拍取3人，則服從超幾何分布，其可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列為：0123.三．習題演練1．某服裝公司經過多年發(fā)展，在全國布局了3500余家規(guī)模相當?shù)匿N售門店．該公司每年都會設計生產春季新款服裝并投放到全國各個門店銷售．公司為了了解2022年春季新款服裝在各個銷售門店的銷售情況，市場部隨機調查了20個銷售門店的年銷售額（單位：萬元，不考慮門店之間的其它差異），統(tǒng)計結果如下：門店編號12345678910銷售額45333044282237211924門店編號11121314151617181920銷售額34412320373129323642（1）從以上20個門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店中至少有2個的年銷售額超過40萬元的概率；（2）以樣本頻率估計概率，現(xiàn)從全國銷售門店中隨機抽取3個，記該年春季新款的年銷售額超過40萬元的銷售門店的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．解析：（1）年銷售額超過40萬元的門店有個，則所求概率；（2）由樣本估計總體，從全國隨機抽取1個銷售門店，春季新款的年銷售額超過40萬元的概率是，則隨機變量，，，，，的分布列為：0123P∴的期望為：．2.鹽水選種是古代勞動人民的智慧結晶，其原理是借助鹽水估測種子的密度，進而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：）進行測定，測定結果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和．（1）估計這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（2）用頻率估計概率，從這批種子（總數(shù)遠大于）中選取粒在自