85.解析幾何新概念多選壓軸中的八種命題形式★1.卡西尼卵形線定義：到兩個定點（叫做焦點）的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.設(shè)兩定點為，且，動點滿足（且為定值），取直線作為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.設(shè)，則，整理得：，解得.于是曲線的方程可化為.進一步，對于常數(shù)當時，圖像變?yōu)閮蓚€點，當時，圖像分為左右兩支封閉曲線，隨著的減小而分別向點收縮當時，圖像呈8字形交叉，稱為雙紐線當時，圖像為中部凹陷的光滑曲線當時，圖像中部接近水平當時，圖像為光滑卵形封閉曲線例1．發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點到兩定點（焦點）的距離之積為常數(shù)．已知：曲線是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡，則下列命題中錯誤的是（

）A．曲線過坐標原點B．曲線關(guān)于坐標原點對稱C．曲線關(guān)于坐標軸對稱D．若點在曲線上，則的面積不大于解析：由題意設(shè)動點坐標為，則，即，即曲線的方程為，若曲線過坐標原點，將點代入曲線的方程中可得與已知矛盾，故曲線不過坐標原點，故A錯誤；把方程中的被代換，被代換，方程不變，故曲線關(guān)于坐標原點對稱，故B正確；因為把方程中的被代換，方程不變，故此曲線關(guān)于軸對稱，把方程中的被代換，方程不變，故此曲線關(guān)于軸對稱，故曲線關(guān)于坐標軸對稱，故C正確；若點在曲線上，則，，當且僅當時等號成立，故的面積不大于，故D正確.故選：BCD.例2．（2023屆廣州一模）平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的橫坐標的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是解析：設(shè)點，依題意，，對于A，，當且僅當時取等號，解不等式得：，即點的橫坐標的取值范圍是，A錯誤；對于B，，則，顯然，因此，B正確；對于C，的面積，當且僅當時取等號，當時，點P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對于D，因為點在動點P的軌跡上，當點P為此點時，，D錯誤.故選：BC★2.雙扭線例3．中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．在xOy平面上，把與定點距離之積等于的動點的軌跡稱為雙紐線．曲線C是當時的雙紐線，P是曲線C上的一個動點，則下列是關(guān)于曲線C的四個結(jié)論，正確的是（

）．①曲線C關(guān)于原點對稱②曲線C上滿足的P有且只有一個③曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過4④若直線與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解析：根據(jù)雙紐線的定義可得，，當時，曲線C：，即，整理，得，①：用替換方程中的，原方程不變，所以曲線C關(guān)于原點中心對稱，故①正確；②：若曲線C上點P滿足，則點P在y軸上，即，代入曲線方程，解得，所以這樣的點僅有一個，故②正確；③：由，得，所以曲線C上任意一點到原點的距離，即都不超過4，故③正確；④：直線與曲線C一定有公共點(0,0)，若直線與曲線C只有一個交點，將代入方程中，得，整理，得，方程無解，則，解得或，故④錯誤.故選：A.例4．中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點對稱B．曲線經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為解析：把代入得，所以曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；令解得，或，即曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，，令，得，令，得，因此結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個整點，，故B錯誤；可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即都不超過3，故C正確；直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線只有一個交點，所以，整理得無解，即，解得，故D正確.故選：ACD.★3.心形線例5.（2019年北京理）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是A.① B.② C.①② D.①②③解析：由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個整點,結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯誤.故選C.★4．阿波羅尼斯圓定義：已知平面上兩點，則所有滿足的動點的軌跡是一個以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.解析：設(shè)．因為且由兩點間距離公式得，化簡得．所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．例6.在平面直角坐標系中，三點，，，動點滿足，則A.點的軌跡方程為 B.面積最大時C.最大時， D.到直線距離最小值為解析：由題意可設(shè)，由，可得，即，化簡可得，故選項A正確；對于選項B，，且點P到直線AB的距離的最大值為圓的半徑，即為，所有面積最大為，此時，所以，故選項B正確；對于選項C，最大時，為過點A作圓的切點，求得切點不為，則，故選項C錯誤；對于選項D，直線的方程為，則圓心到直線的距離為，所以點P到直線AC距離最小值為，故選項D正確；故選ABD.結(jié)論：已知圓上任意一點和坐標軸上任意兩點，求形如的最值問題，可逆用阿氏圓轉(zhuǎn)化為三點共線最值計算.例7．已知圓是以點和點為直徑的圓，點為圓上的動點，若點，點，則的最大值為（

）A． B． C． D．解析：由題設(shè)，知：且，即圓的半徑為4，∴圓：，如上圖，坐標系中則，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圓，其實就是阿氏圓的幾何推導(dǎo)）.∴，在△中，∴要使最大，共線且最大值為的長度.∴.故選：A★5.四葉玫瑰線例8．數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對稱；②曲線上任意一點到原點的距離都不超過1；③存在一個以原點為中心?邊長為的正方形，使曲線在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.其中，正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解：對于①，用替換方程中的，方程形式不變，所以曲線關(guān)于直線對稱，故①正確，對于②，設(shè)點是曲線上任意一點，則，則點到原點的距離為，由，解得，當且僅當時取等號，故②正確，對于③，由②可知，包含該曲線的以原點為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應(yīng)該是包含該曲線的最小正方形的內(nèi)切圓，即正方形的邊長最短為2，故③錯誤.故選：A★6.包絡(luò)曲線例9.（湖北省部分地市州25屆高三元月聯(lián)考）．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線族（不包括直線）．直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線．已知直線族，則下列說法正確的是（

）A．若，則該直線族的包絡(luò)曲線為圓B．若，則該直線族的包絡(luò)曲線為橢圓C．當時，點可能在直線族上D．當時，曲線是直線族的包絡(luò)曲線解析：對于A，設(shè)圓：上的點為，直線的斜率為，過點作圓的切線，由，得，所以切線的方程為，即，故A正確；對于B，設(shè)橢圓上的點為，過點作圓的切線，當切線斜率存在時，設(shè)，，聯(lián)立得：，所以，.作商：，得，所以切線的方程為，即；當切線斜率不存在時，或，則切線方程和亦滿足，故B正確；對于C，將代入得，構(gòu)造，，當時，；當，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因而當時，取到最小值，所以在無零點，無解，故C錯誤；對于D，若不在直線族上，則將代入直線得無解，則，所以,因而可得當在曲線上時，則一定在直線族上，聯(lián)立和得，所以，故直線和相切，又不包括直線，所以是直線族的包絡(luò)曲線，故D正確.故選：ABD.★7.高次曲線例10．（2025·江西·一模）我們把形如的曲線叫作拉梅曲線，該曲線是法國數(shù)學(xué)家加布里埃爾?拉梅在研究圓錐曲線方程時進行拓展而得的．下列說法正確的是（

）A．若，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積為B．若，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于C．若拉梅曲線與曲線恰有4個公共點，則D．若為拉梅曲線上第一象限內(nèi)一點，則解析：當時，拉梅曲線方程為為菱形，與坐標軸交于點，，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積為2ab，A不正確．當時，根據(jù)對稱性，不妨考慮拉梅曲線在第一象限的情形，此時由可得，下證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，這顯然成立．因為（）表示圓心為，半徑為a的四分之一圓弧，所以其與第一象限圍成的封閉區(qū)域的面積為，則拉梅曲線與第一象限圍成的封閉區(qū)域的面積小于，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于，B正確．當拉梅曲線與曲線恰有4個公共點時，根據(jù)對稱性可知，它們在第一象限恰有1個公共點，由，整理得恰有1個正根，則，解得，即，C正確．若為拉梅曲線上第一象限內(nèi)一點，則，從而，D正確．故選：BCD．★8.圓錐曲線（前面曲線）的拼接與組合例11.（24-25高三下·浙江·開學(xué)考試）數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點為，右頂點為，曲線上的點滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點，過作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（

）A．曲線由兩條拋物線的一部分組成B．線段的長度與點到直線的距離相等C．若線段的長度為，則直線的斜率為D．若，則直線的斜率為解析：對于A選項，設(shè)曲線上任意一點，由定義可知，滿足，移項，平方可得：，即，為兩條拋物線，故A正確；對于B選項，和直線分別為拋物線的焦點和準線，由拋物線定義可知，故B正確對于C選項，設(shè)與軸夾角為同時為拋物線和橢圓的焦點，，，解得，則，故C錯誤.對于D選項，易知為拋物線和的焦點，前者，后者分別為兩個拋物線的較短的焦半徑，因此，由于，則，因此，所以，故D正確，故選：ABD三．習(xí)題演練1．（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、心形線、卵形線等．已知卵形線C：，則（

）A．C關(guān)于直線對稱B．C上橫、縱坐標均是整數(shù)的點恰有4個C．C上存在點P，使得P到點的距離小于1D．C圍成區(qū)域的面積大于42．（2025·安徽合肥·一模）我們把既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“優(yōu)美曲線”，“優(yōu)美曲線”與其對稱軸的交點叫作“優(yōu)美曲線”的頂點.對于“優(yōu)美曲線”，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線有4個頂點C．曲線與直線有4個交點D．曲線上動點到原點距離的最小值為3．（2025·云南昆明·一模）“四葉草”形態(tài)優(yōu)美、寓意美好．已知曲線，其形態(tài)極像“四葉草”，設(shè)為坐標原點，為上異于原點的一點，過點作直線的垂線交坐標軸于，兩點，則（

）A．有4條對稱軸 B．圍成的面積大于C． D．的面積最大值為4參考答案1.解析：由，則，對于曲線上任意點，其關(guān)于軸對稱點為，把代入成立，曲線關(guān)于直線對稱，A對；所以，得，故，時；時；時，故曲線過點，曲線C上恰好有4個整點，B對；由圓過點，故圓上點均在曲線上或內(nèi)，所以曲線上不存在點，使得P到點的距離小于1，C錯；如圖中，四邊形在曲線內(nèi)部，故曲線所圍成區(qū)域的面積大于，D對.故選：ABD2.解析：對于A，將交換方程依然成立，所以曲線關(guān)于對稱，A正確；對于B，易得曲線有四條對稱軸軸，軸，直線，直線，共有8個頂點，B錯誤；對于C，由得，即，可得，對于方程，，則方程有兩不等實根，且方程的根不為0和3，所以方程有4個不等實根，從而曲線C與直線有4個交點，C正確；對于