83.新概念背景下的距離問題與應(yīng)用一．基本原理★1.歐幾里得距離：也稱為歐氏距離，是最常見的距離度量方式.在二維平面中，兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離.在維空間中，兩點(diǎn)和之間的歐幾里得距離為.★2.曼哈頓距離：在二維平面上，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離.在維空間中，兩點(diǎn)和之間的曼哈頓距離為，它表示在網(wǎng)格狀的空間中，從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的最短路徑長度，不允許斜向移動.★3.切比雪夫距離：二維平面上，兩點(diǎn)之間的切比雪夫距離.在維空間中，兩點(diǎn)和之間的切比雪夫距離為.★4.閔可夫斯基距離：它是歐幾里得距離，曼哈頓距離等的一般化形式.對于維空間中的兩點(diǎn)和，閔可夫斯基距離定義為，其中.當(dāng)時(shí)，就是曼哈頓距離；當(dāng)時(shí)，就是歐幾里得距離；當(dāng)時(shí)，就是切比雪夫距離.★5.豪斯多夫距離設(shè)和是度量空間中的兩個(gè)非空子集，豪斯多夫距離定義為： 通俗地說，豪斯多夫距離是從集合中的點(diǎn)到集合中的點(diǎn)的距離的上確界與從集合中的點(diǎn)到集合中的點(diǎn)的距離的上確界兩者中的較大值.★6.其他泛函距離對平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)和，記，稱為點(diǎn)與點(diǎn)之間的“距離”，其中表示中較大者．二．典例分析例1．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_______.解析：因?yàn)?，所以，則，相當(dāng)于圓上的任一點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之和，如圖，因?yàn)?，?dāng)在線段與圓的交點(diǎn)處時(shí)，即為所求，所以所求最小值為.故答案為：.例2．已知實(shí)數(shù)，且函數(shù)，則函數(shù)的最小值為___________．解析：由題意得，設(shè)，，則點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在拋物線上，的幾何意義為，兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到軸的距離之和．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則由拋物線的定義知，所以，所以，問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值，設(shè)曲線上的點(diǎn)，到點(diǎn)的距離最小，則與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，即，所以，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程的解為，則．所以，所以函數(shù)的最小值為．故答案為：．例3．閔氏距離（）是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常見的方法，設(shè)點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，則閔氏距離.若點(diǎn)、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．解析：由題意得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B分別在函數(shù)和的圖象上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.設(shè)，，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以的最小值為.故選：A.例4．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作，則下列命題中正確的是（

）A．，，則B．為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則的軌跡為圓C．對任意三點(diǎn)、、，都有D．已知點(diǎn)和直線：，則解析：對于選項(xiàng)A：若，，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：設(shè)，若，則，且等號至少有一個(gè)成立，可得的軌跡如圖所示，為正方形，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：設(shè)，則，同理可得，所以，故C正確；凌晨講數(shù)學(xué)對于選項(xiàng)D：設(shè)為直線上一點(diǎn)，則，當(dāng)，即時(shí)，則，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)，即或，則，無最小值；綜上可得：，故D正確；故選：ACD.例5.（江蘇省蘇北七市州2025屆高三一模）．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，定義：．若，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若關(guān)于x軸對稱，則B．若關(guān)于直線對稱，則C．若，則D．若，，則解析：對于A，因?yàn)殛P(guān)于x軸對稱，且，，所以，而，得到，同理，即此時(shí)滿足，故A正確，對于B，因?yàn)殛P(guān)于直線對稱，且，，所以，則，，構(gòu)造，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，且，所以，得到，則，得到，即，則，故B正確，對于C，由題意得，，因?yàn)?，所以，得到，令，符合題意，此時(shí)，而，則，由已知得，則，故C錯(cuò)誤，對于D，設(shè)，，則，則，同理可得，得到，而，得到，則，即此時(shí)滿足題意，則，得到，故D正確.凌晨講數(shù)學(xué)故選：ABD例6．在平面直角坐標(biāo)系中，若定義兩點(diǎn)和之間的“距離”為，其中表示中的較大者，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的“距離”為_________.若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“距離”為，則點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為___________.解析：點(diǎn)與點(diǎn)之間的“t距離”為；若平面內(nèi)點(diǎn)和點(diǎn)之間的“t距離”為，則，不妨設(shè)，解得或，此時(shí)，即，由對稱性可知，當(dāng)或時(shí)，，如圖所示：，所以A點(diǎn)的軌跡就是正方形的四條線段，則A點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為.故答案為：；4.例7．在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓外一動點(diǎn)作的兩條切線，且.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）對于給定非空點(diǎn)集，若中的每個(gè)點(diǎn)在中都存在一個(gè)與它之間距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.已知直線與曲線相交于兩點(diǎn)，若分別是線段和曲線上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，為曲線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求.參考公式，四元均值不等式，當(dāng)且儀當(dāng)時(shí)取到等號.解析：（1）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨蛘邽?時(shí)，由題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)切線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)過作橢圓的切線的斜率為，則切線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，并化簡得由題意得凌晨講數(shù)學(xué)，，設(shè)的斜率分別為，則是上式的兩個(gè)根，且，所以，則，又，則，即，注意到，均滿足方程，則動點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）過圓心作直線的垂線，垂足為，設(shè)，則，由題意，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)，對于線段上的任何一個(gè)點(diǎn)，曲線上與距離最近的點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)，距離的最小值為，又因?yàn)?，所以，由題意得，.三．習(xí)題演練1．閔可夫斯基距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義．設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中表示階數(shù)．則下列說法正確的有（

）A．若，則；B．若，其中，則；C．若，其中，則的最小值為．D．若，其中，則；3．（安徽省合肥市2024屆高三二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，軸.點(diǎn)滿足.若直線與的交點(diǎn)在軸上，則的最大值為________.在數(shù)學(xué)中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)和，記，稱為點(diǎn)與點(diǎn)之間的“距離”，其中表示中較大者．（1）計(jì)算點(diǎn)和點(diǎn)之間的“距離”；（2）設(shè)是平面中一定點(diǎn)，．我們把平面上到點(diǎn)的“距離”為的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合叫做以點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”．求以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的“圓”的面積；（2）證明：對任意點(diǎn)．參考答案解析：對于A：，故A正確．對于B：，，所以，故B正確．對于C：構(gòu)造函數(shù)，，則的最小值即兩曲線動點(diǎn)間的最小距離，由，得，且，所以斜率為1的切線方程為，直線到的距離為，所以兩曲線動點(diǎn)間的最小距離為，故C正確．對于D：，，不妨設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，則，故D錯(cuò)誤．故選：ABC2.解析：設(shè),由題意，；不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，由可得,設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則有,;，由可得，整理得①；，由可得，整理得②；聯(lián)立①②可得，由題意，所以，由橢圓的對稱性可知，，因?yàn)椋?/p>