74.新型對折問題中的六種常見類型一．基本原理1.二面角的定義：（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面；直線叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面．記法：.（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，如圖所示，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角．2.三余弦定理：如圖所示，斜線在平面內(nèi)的射影為，則線面角的大小為，平面內(nèi)任一點，則，這樣就有：.1.常見函數(shù)圖像對折過程中的空間角2.橢圓對折過程中的空間角3.雙曲線對折過程中的空間角4.拋物線對折過程中的空間角5.空間幾何體的截面或者空間角度融合平面問題6.三余弦定理在對折中的應用二．典例分析★1.常見函數(shù)圖像對折過程中的空間角例1．如圖，將繪有函數(shù)（，）部分圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為，此時A，B之間的距離為，則（

）

A． B． C． D．解析：過分別作軸的垂線，垂足分別為，過分別作軸、軸的垂線相交于點，連接，則，由余弦定理得，由上可知，軸垂直于，又平面，所以軸垂直于平面，又軸，所以平面，因為平面，所以，因為的周期，所以，由勾股定理得，解得，由圖知，的圖象過點，且在遞減區(qū)間內(nèi)，所以，即，因為，點在遞減區(qū)間內(nèi)，所以.故選：C例2．（多選題）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，將的部分圖象沿軸折成直二面角（如圖所示），若，則（

）A．B．C．將的圖象向左平移2個單位即可得到函數(shù)的圖象D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為解析：如圖，過作軸，垂足為，過作軸，垂足為，由題意可知平面平面，平面平面，又平面，則平面，平面，則，則，，由，則的周期，A項，由圖象可知，所以，由，解得；B項，由A項可知，，則，因為圖象經(jīng)過點，即，，，或，由函數(shù)圖象可知，則，所以，故B正確；C項，由AB可知，，，即將的圖象向左平移2個單位即可得到函數(shù)的圖象，，故C錯誤；D項，，由，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D錯誤.故選：AB.★2.橢圓對折過程中的空間角例3．已知橢圓C的離心率為，為C的右焦點，過的直線l交橢圓于A，B兩點，且A在x軸上方，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)若l⊥x軸，求線段AB的長；(3)若將坐標平面沿x軸折成一個直二面角，求面積的最大值.解析：（1）由題意得，，故，所以，故橢圓方程為；（2）若l⊥x軸，中，令得，故；（3）當直線l的斜率為0時，點在軸上，不合要求，設直線，聯(lián)立得，設，故，恒成立，，，，故，故，故，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為.★3.雙曲線對折過程中的空間角例4．點，是雙曲線的左、右焦點，過點作直線交雙曲線C于A，B兩點，現(xiàn)將雙曲線所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖.翻折后A，B兩點的對應點分別為，，，若，則雙曲線C的離心率為.解析：設，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去）.故答案為：3例5.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點是雙曲線右支上一點，滿足，點是線段上一點，滿足.現(xiàn)將沿折成直二面角，若使折疊后點，距離最小，則（

）A． B． C． D．解析：由雙曲線方程知，，，，設，則，，又，則，解得或-3（舍），設折疊后點達到F點，如圖所示，作于A點，易知平面，，，設，

則，在中，，，在中，由余弦定理知，，則，當且僅當，即時，等號成立，折疊后點，距離最小.此時為的角平分線，由角平分線定理知，，則，，故選：C★4.拋物線對折過程中的空間角例6．如圖，畫在紙面上的拋物線過焦點F的弦長為9，則沿x軸將紙面折成平面角為60度的二面角后，空間中線段的長為（

）A． B． C． D．解析：，設直線為，Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立與可得故，解得，故，解得，故，如圖，建立空間直角坐標系，過作平面于，過作于，連接，由于軸，且軸，，故軸平面，平面，故軸，則由于在直角坐標系中，故，因此在直角三角形中，，因此在空間直角坐標系中，，故，故選：B★5.空間幾何體的截面或者空間角度融合平面問題例7．在中，，，的平分線交AB于點D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.（1）求直線CD與平面所成角的大小；（2）設點，且，記E的軌跡為曲線Γ.（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；（ii）不與直線AB重合的直線l過點D且交Γ于P，Q兩點，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點T，使得無論l繞點D如何轉(zhuǎn)動，總有？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由.解析：（1）因為平面，平面平面，所以.所以直線在內(nèi)的射影為直線，所以直線與所成角為.過作，垂足為.因為平分，所以.又，所以，所以又，所以.因為，所以，所以直線與平面所成角為.（2）（i）曲線是橢圓,理由如下：由（1）可知，，所以是的中點,設的中點為，所以.又，所以.在內(nèi)過作，所以，以為原點，所在的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示.因為，所以，設，又，則.因為，又，所以，化簡得，即，所以曲線是橢圓.（ii）設.在平面內(nèi)，因為與不重合，可設，由得，故.由對稱性知，若存在定點滿足條件，則必在平面與的交線上，故可設.若，則，即，因為，所以，當時，上式恒成立，所以符合題意；當時，有，所以，所以.因為，所以，所以，所以，即.因為上式對于任意的恒成立，所以.綜上，存在點滿足，或時，符合題意.★6.三余弦定理例8.雙曲線的左右焦點分別為，點是雙曲線右支上一點且滿足.點在線段上且滿足.現(xiàn)將沿著折成直二面角.若折疊