55.棱臺(tái)及應(yīng)用一．基本原理1.斜高：\t"/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank"空間幾何體的頂點(diǎn)到其\t"/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank"底邊的\t"/item/%E6%96%9C%E9%AB%98/_blank"距離，即為斜高。就棱錐而言，斜高是指其側(cè)面三角形底邊上的高，它也是棱錐頂點(diǎn)到該底邊的距離，就棱臺(tái)而言，斜高是指其側(cè)面梯形的高，它也是該梯形上下底邊的距離.2.\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"正棱臺(tái)的性質(zhì)：（1）正棱臺(tái)的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"側(cè)棱相等，側(cè)面是\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"全等的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱臺(tái)的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"斜高；（2）正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的截面是相似\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"正多邊形；（3）正棱臺(tái)的兩底面中心連線、相應(yīng)的\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"邊心距和斜高組成一個(gè)\t"/item/%E6%A3%B1%E5%8F%B0/_blank"直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個(gè)直角梯形；已知正棱臺(tái)如圖(以正四棱臺(tái)為例)，分別為上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，則E1E為斜高，①斜高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形E1ECC1．②斜高、高構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1E1EO.③高、側(cè)棱構(gòu)成直角梯形，如圖中梯形O1OCC1．（4）棱臺(tái)各棱的反向延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，故可以通過補(bǔ)成棱錐來處理.二．典例分析★1．考察棱臺(tái)的基本公式例1．（2021年新高考2卷）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.例2.（2022新高考1卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．例3．（2023年新高考2卷）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_________.解析：方法1：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法2：棱臺(tái)的體積為.故答案為：.例4．（2023年新高考1卷）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為________.解析：如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)?，，故，則，所以所求體積為.故答案為：.★2．考察棱臺(tái)的外接球例5．（2022年全國(guó)新高考2卷）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．★3.以棱臺(tái)為模型考察空間角例6．（2024年新高考2卷）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3解析：解法1：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，（凌晨講數(shù)學(xué)）則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法2：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.三．習(xí)題演練（凌晨講數(shù)學(xué)）未來還會(huì)怎么考？?jī)?nèi)切球，二面角？都有可能！還有可能不考了...1．已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的表面積為（）A． B． C． D．解析：設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，設(shè)分別是正三角形和正三角形的中心，則，且，由于平面平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，所以，過作，垂足為，則，所以，所以三棱臺(tái)的表面積為.故選：C2．已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（

）A． B． C． D．解析：作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中為正四棱臺(tái)的高，為其斜高，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)?，故半徑最大的球不與上下底面同時(shí)相切，，則，則，過作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，

即該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.3．在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

）（凌晨講數(shù)學(xué)）A． B． C． D．解析：設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺(tái)的高，設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，設(shè)中點(diǎn)為，連接，所以，解得，所以球的表面積為，故選：C4．（多選題）已知正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，高為1，則（

）A．該四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為B．二面角的大小為C．該四棱臺(tái)的體積為D．與所成角的余弦值為解析：如圖，平面于，于，則是的高，是斜高，顯然在對(duì)角線中，，，則，所以，A正確，直角中是二面角的平面角，，所以，B正確；，C錯(cuò)；，所以與所成的角為或其補(bǔ)角．又，，正四棱臺(tái)中，D錯(cuò)．故選：AB．5．在正四棱臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切（稱為該四棱臺(tái)的內(nèi)切球），若，則該四棱臺(tái)的外接球（四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在球面上）與內(nèi)切球的半徑之比為_____