開封高考學(xué)科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

2.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={2},則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1/2

B.-1/2

C.1/2或-1/2

D.1或-1/2

3.已知向量a=(1,k),b=(3,-2),且a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.-3/2

B.3/2

C.-2/3

D.2/3

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,0)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(0,-1)

6.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2=a+bi(a,b∈R),則a+b的值為（）

A.2

B.-2

C.0

D.1

7.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊BC=2,則邊AC的長度為（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

8.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為1,公差為2,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）

A.100

B.150

C.200

D.250

9.在直角坐標(biāo)系中,直線l的方程為x-2y+3=0,則點(diǎn)P(1,1)到直線l的距離為（）

A.√5/5

B.2√5/5

C.√10/5

D.2√10/5

10.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.若函數(shù)f(x)=x2-mx+1在區(qū)間(-∞,2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.m≤4

B.m≥4

C.m≤-4

D.m≥-4

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=4,a?=16，則該數(shù)列的公比q和首項(xiàng)a?分別為（）

A.q=2,a?=1

B.q=-2,a?=-1

C.q=2,a?=-1

D.q=-2,a?=1

4.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9，則下列說法正確的有（）

A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為3

C.點(diǎn)P(2,0)在圓C上

D.直線y=x+1與圓C相切

5.下列命題中，真命題有（）

A.若a2=b2，則a=b

B.若a>b，則a2>b2

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a+b>2，則a>1或b>1

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域?yàn)閇3,m]，則實(shí)數(shù)m的值為______。

2.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，邊BC長為√2，則邊AC的長為______。

3.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)a?=5，公差d=-2，則該數(shù)列的第10項(xiàng)a??的值為______。

4.計(jì)算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=______。

5.若復(fù)數(shù)z=2+3i的模長為|z|，則|z|2的值為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/x，求f(1/2)的值。

2.解方程：2x2-5x+2=0。

3.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2)，求向量a+b和向量a·b的值。

4.求函數(shù)f(x)=sin(2x-π/4)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

5.已知等比數(shù)列{a?}的首項(xiàng)a?=1，公比q=2，求該數(shù)列的前5項(xiàng)和S?。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則x-1>0，解得x>1，所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.A

解析：由A={1,2}，A∩B={2}，則2∈B，即2a=1，解得a=1/2。

3.A

解析：向量a⊥b，則a·b=0，即(1,k)·(3,-2)=1×3+k×(-2)=3-2k=0，解得k=3/2。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.A

解析：拋物線y2=4x的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4px，其中p=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(π/2,0)。

6.C

解析：z2=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i，即a+bi=2i，所以a=0,b=2，a+b=0+2=2。

7.A

解析：由正弦定理得：AC/sinB=BC/sinA，即AC/sin45°=2/sin60°，解得AC=2×(√2/2)/(√3/2)=2√6/3=√2。

8.C

解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為S?=n(a?+a?)/2，這里n=10,a?=1,a??=a?+9d=1+9×2=19，所以S??=10×(1+19)/2=10×20/2=100。

9.B

解析：點(diǎn)P(1,1)到直線l:x-2y+3=0的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|1×1-2×1+3|/√(12+(-2)2)=|1-2+3|/√5=2/√5=2√5/5。

10.A

解析：f'(x)=3x2-a，由題意f'(1)=0，即3×12-a=0，解得a=3。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD

解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)；f(x)=x2+1是偶函數(shù)，f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)；f(x)=tan(x)是奇函數(shù)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)。

2.AD

解析：函數(shù)f(x)=x2-mx+1的對(duì)稱軸為x=m/2，要在區(qū)間(-∞,2]上為增函數(shù)，則對(duì)稱軸x=m/2必須不小于2的右端點(diǎn)，即m/2≥2，解得m≥4。

3.AD

解析：由等比數(shù)列性質(zhì)a?/a?=q2，即16/4=q2，解得q2=4，所以q=2或q=-2。當(dāng)q=2時(shí)，a?=a?/q2=4/4=1；當(dāng)q=-2時(shí)，a?=a?/q2=4/4=1。所以a?=1，q=2或q=-2。

4.ABD

解析：圓C:(x-1)2+(y+2)2=9的圓心為(1,-2)，半徑r=√9=3。點(diǎn)P(2,0)到圓心(1,-2)的距離|PC|=√((2-1)2+(0-(-2))2)=√(12+22)=√5，而半徑r=3，|PC|<r，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。直線y=x+1可化為x-y+1=0，圓心(1,-2)到直線x-y+1=0的距離d=|1-(-2)+1|/√(12+(-1)2)=|1+2+1|/√2=4/√2=2√2=r，所以直線與圓相切，選項(xiàng)D正確。

5.D

解析：對(duì)于A，a2=b2可推出a=±b，所以A是假命題。對(duì)于B，取a=1,b=0，則a>b但a2=1>0=b2，所以B是假命題。對(duì)于C，取a=2,b=1，則a>b但1/a=1/2<1=1/b，所以C是假命題。對(duì)于D，若a+b>2，則a>2-b。若2-b≤1，即b≥1，則a>1。若2-b>1，即b<1，則b>2-a，所以b>2-a≥1，即b>1。綜上，若a+b>2，則a>1或b>1，所以D是真命題。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：由定義域[3,m]可得x-1≥0且m≥3，即x≥1且m≥3，所以m=4。

2.√3

解析：由正弦定理得：AC/sinB=BC/sinA，即AC/sin45°=√2/sin30°，解得AC=√2×(√2/2)/(1/2)=√2×√2=2。又由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cosA，即22=AB2+(√2)2-2×AB×√2×cos30°，4=AB2+2-2AB×√2×(√3/2)，2=AB2-AB×√6，AB(AB-√6)=2。解得AB=√6或AB=2/√6=√6/3（舍去，因?yàn)锳B>BC）。所以△ABC不是直角三角形，無法直接用30°角對(duì)邊關(guān)系。重新審視：sinA=BC/AC=√2/2，所以A=45°。此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，所以AC=√2BC=√2×√2=2。但題目已知BC=√2，AC應(yīng)為2√2。這里原解析有誤，重新計(jì)算：sinA=BC/AC=√2/2，A=45°。所以AC=BC/sinA=√2/(√2/2)=2。又由余弦定理：AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×cosA，22=AB2+(√2)2-2×AB×√2×cos30°，4=AB2+2-2AB×√2×(√3/2)，2=AB2-AB×√6。AB(AB-√6)=2。解得AB=√6。所以AC2=(√6)2+(√2)2-2×√6×√2×(√3/2)=6+2-6=2。AC=√2。所以AC=√2BC=√2×√2=2。原題條件有誤或計(jì)算有誤，若按sinA=BC/AC=√2/2，則A=45°，AC=2BC=2√2。若題目意圖是求AB，則AB=√6。若題目意圖是求AC且AC=2，則sinA=BC/AC=√2/2矛盾。假設(shè)題目意圖是求AB，則AB=√6。若題目意圖是求AC=2，則sinA=BC/AC=√2/2矛盾。此題可能存在印刷錯(cuò)誤。若按最可能意圖求AB=√6。

3.-15

解析：a?=a?+(n-1)d，所以a??=5+(10-1)×(-2)=5+9×(-2)=5-18=-13。

4.4

解析：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。（使用了x2-4=(x-2)(x+2)）

5.13

解析：|z|=√(22+32)=√(4+9)=√13，所以|z|2=(√13)2=13。

四、計(jì)算題答案及解析

1.f(1/2)=(1/2-1)/(1/2)=(-1/2)/(1/2)=-1。

2.因式分解：2x2-5x+2=(2x-1)(x-2)=0，解得2x-1=0或x-2=0，即x=1/2或x=2。

3.a+b=(3,-1)+(-1,2)=(3+(-1),-1+2)=(2,1)。a·b=(3,-1)·(-1,2)=3×(-1)+(-1)×2=-3-2=-5。

4.令u=2x-π/4，則f(x)=sin(u)，x∈[0,π]對(duì)應(yīng)u∈[2×0-π/4,2×π-π/4]=[-π/4,7π/4]。sin(u)在[-π/4,π/2]上單調(diào)遞增，在[π/2,3π/2]上單調(diào)遞減，在[3π/2,7π/4]上單調(diào)遞增。sin(u)在u=π/2時(shí)取得最大值1；sin(u)在u=-π/4時(shí)取得最小值sin(-π/4)=-√2/2。所以f(x)的最大值為1，最小值為-√2/2。

5.S?=a?(1-q?)/(1-q)=1×(1-2?)/(1-2)=(1-32)/(-1)=-31/-1=31。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識(shí)，主要包括以下幾類：

1.函數(shù)部分：包括函數(shù)的概念、定義域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、圖像變換，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的基本性質(zhì)和圖像。試卷中涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、奇偶性判斷、三角函數(shù)的周期、求值、解方程等知識(shí)點(diǎn)。

2.向量部分：包括向量的基本概念、線性運(yùn)算（加減、數(shù)乘）、向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）及其應(yīng)用。試卷中考察了向量的線性組合、數(shù)量積的計(jì)算以及向量垂直的條件。

3.解析幾何部分：包括直線與圓的方程、位置關(guān)系（平行、相切、相交）、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等。試卷中考察了直線與圓的位置關(guān)系判斷、點(diǎn)到直線的距離計(jì)算、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。

4.數(shù)列部分：包括等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、