護(hù)理山東專升本數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極小值，且f(1)=2，則a的取值范圍是？

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.設(shè)函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|，則g(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)是？

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

3.若數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，則a_5的值是？

A.9

B.10

C.11

D.12

4.設(shè)函數(shù)h(x)=log_2(x+1)，則h(x)的反函數(shù)是？

A.2^x-1

B.2^x+1

C.2^(x-1)-1

D.2^(x-1)+1

5.若圓的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，則該圓的圓心坐標(biāo)是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(3,-2)

D.(-3,2)

6.設(shè)向量u=(1,2)，v=(3,-4)，則向量u和v的夾角余弦值是？

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

7.若矩陣A=|12|，B=|34|，則矩陣A和B的乘積AB是？

A.|56|

B.|78|

C.|910|

D.|1112|

8.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i，則z的模長是？

A.1

B.√2

C.2

D.√3

9.若函數(shù)k(x)=sin(x)+cos(x)，則k(x)在[0,π/2]上的最大值是？

A.1

B.√2

C.√3

D.2

10.設(shè)事件P和Q的概率分別為P(P)=0.6，P(Q)=0.7，且P(P∩Q)=0.4，則事件P和Q的并的概率P(P∪Q)是？

A.0.8

B.0.9

C.1.0

D.1.1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的是？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=tan(x)

2.下列數(shù)列中，收斂的是？

A.a_n=(-1)^n

B.a_n=1/n

C.a_n=n^2

D.a_n=log(n)

3.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是？

A.f(x)=x^3

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^2*sin(1/x)

D.f(x)=e^x

4.下列矩陣中，可逆的是？

A.|10|

B.|01|

C.|11|

D.|1-1|

5.下列事件中，互斥的是？

A.擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和點(diǎn)數(shù)為2

B.擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和點(diǎn)數(shù)為1

C.拋硬幣出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面

D.拋硬幣出現(xiàn)正面和出現(xiàn)正面

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為________。

2.設(shè)函數(shù)g(x)=e^x*sin(x)，則g(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)g'(0)的值為________。

3.若數(shù)列{a_n}滿足a_1=2，a_n=3a_{n-1}-1，則a_4的值為________。

4.設(shè)函數(shù)h(x)=sqrt(x+1)，則h(x)在x=3處的導(dǎo)數(shù)h'(3)的值為________。

5.若圓的方程為(x+1)^2+(y-2)^2=9，則該圓的圓心到直線x-y=1的距離是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)。

2.計(jì)算不定積分∫(x^3-3x^2+2)dx。

3.求解微分方程y'-y=x。

4.計(jì)算定積分∫(0→1)x*e^xdx。

5.已知向量u=(1,2,3)，v=(2,-1,1)，求向量u和v的向量積u×v。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極小值，說明x=1是函數(shù)的駐點(diǎn)，即f'(1)=0。又f'(x)=2ax+b，所以2a*1+b=0，即b=-2a。同時(shí)，由f(1)=2得a*1^2+b*1+c=2，代入b=-2a得a-2a+c=2，即c=a+2。由于在x=1處取得極小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，a必須大于0。

2.A

解析：函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+1|在x=0處的導(dǎo)數(shù)可以通過分段函數(shù)的方法求解。當(dāng)x<-1時(shí)，g(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g(x)=-(x-1)+(x+1)=2；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)=(x-1)+(x+1)=2x。因此，g(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為-2（x<-1時(shí)）和2（x>1時(shí)），但在x=0處，左右導(dǎo)數(shù)不相等，所以導(dǎo)數(shù)不存在。但是題目中問的是在x=0處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)定義，導(dǎo)數(shù)為0。

3.C

解析：數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，這是一個(gè)等差數(shù)列，公差為2。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d，其中d為公差。所以a_5=1+(5-1)*2=1+8=9。

4.A

解析：函數(shù)h(x)=log_2(x+1)的反函數(shù)可以通過交換x和y，然后解出y來得到。即y=log_2(x+1)變?yōu)閤=log_2(y+1)，解得y=2^x-1。

5.A

解析：圓的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的圓方程，其中圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為4。

6.D

解析：向量u=(1,2)，v=(3,-4)，向量u和v的夾角余弦值可以通過公式cosθ=(u·v)/(||u||*||v||)計(jì)算。其中u·v=1*3+2*(-4)=3-8=-5，||u||=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)，||v||=sqrt(3^2+(-4)^2)=sqrt(25)=5。所以cosθ=-5/(sqrt(5)*5)=-1/5。但是題目中給出的選項(xiàng)是4/5，這里可能是一個(gè)錯(cuò)誤，正確的答案應(yīng)該是-1/5。

7.B

解析：矩陣A=|12|，B=|34|，矩陣A和B的乘積AB=|1*3+2*01*4+2*1|=|36|。

8.B

解析：復(fù)數(shù)z=1+i，z的模長可以通過公式|z|=sqrt(a^2+b^2)計(jì)算，其中a和b分別是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。所以|z|=sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2)。

9.B

解析：函數(shù)k(x)=sin(x)+cos(x)，k(x)在[0,π/2]上的最大值可以通過求導(dǎo)數(shù)找到。k'(x)=cos(x)-sin(x)，令k'(x)=0得cos(x)=sin(x)，即x=π/4。k(π/4)=sin(π/4)+cos(π/4)=√2/2+√2/2=√2。所以最大值為√2。

10.B

解析：事件P和Q的概率分別為P(P)=0.6，P(Q)=0.7，且P(P∩Q)=0.4，事件P和Q的并的概率P(P∪Q)=P(P)+P(Q)-P(P∩Q)=0.6+0.7-0.4=0.9。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：函數(shù)f(x)=x^2在定義域內(nèi)連續(xù)；f(x)=|x|在定義域內(nèi)連續(xù)；f(x)=tan(x)在定義域內(nèi)連續(xù)。f(x)=1/x在x=0處不定義，所以不連續(xù)。

2.B

解析：數(shù)列a_n=1/n收斂于0；a_n=(-1)^n在-1和1之間振蕩，不收斂；a_n=n^2發(fā)散；a_n=log(n)發(fā)散。

3.A,C,D

解析：f(x)=x^3在x=0處可導(dǎo)；f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)；f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0處可導(dǎo)；f(x)=e^x在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)。

4.A,B,D

解析：|10|可逆；|01|可逆；|11|不可逆；|1-1|可逆。

5.A,C

解析：擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和點(diǎn)數(shù)為2互斥；擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和點(diǎn)數(shù)為1不是互斥事件；拋硬幣出現(xiàn)正面和出現(xiàn)反面互斥；拋硬幣出現(xiàn)正面和出現(xiàn)正面不是互斥事件。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，f'(x)=3x^2-a，f'(1)=3-a=0，所以a=3。又f(1)=1^3-3*1+1=-1，所以a=2。

2.1

解析：函數(shù)g(x)=e^x*sin(x)，g'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)，g'(0)=e^0*sin(0)+e^0*cos(0)=0+1=1。

3.26

解析：數(shù)列{a_n}滿足a_1=2，a_n=3a_{n-1}-1，所以a_2=3*2-1=5，a_3=3*5-1=14，a_4=3*14-1=41。

4.1/2

解析：函數(shù)h(x)=sqrt(x+1)，h'(x)=1/(2*sqrt(x+1))，h'(3)=1/(2*sqrt(3+1))=1/4。

5.1√2

解析：圓的方程為(x+1)^2+(y-2)^2=9，圓心為(-1,2)，直線x-y=1的法向量為(1,-1)，點(diǎn)到直線的距離公式為d=|Ax1+By1+C|/sqrt(A^2+B^2)，所以d=|1*(-1)-1*2+1|/sqrt(1^2+(-1)^2)=|-1-2+1|/sqrt(2)=2/sqrt(2)=√2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.4

解析：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.x^4/4-x^3/3+2x+C

解析：∫(x^3-3x^2+2)dx=∫x^3dx-∫3x^2dx+∫2dx=x^4/4-3x^3/3+2x+C=x^4/4-x^3+2x+C。

3.y=e^x(x+C)

解析：微分方程y'-y=x，令y=u(x)e^x，則y'=u'e^x+ue^x，代入方程得u'e^x=x，u'=xe^-x，積分得u=-xe^-x-e^-x+C，所以y=e^x(-xe^-x-e^-x+C)=-x-1+Ce^x=e^x(x+C)。

4.e-1

解析：∫(0→1)x*e^xdx，令u=x，dv=e^xdx，則du=dx，v=e^x，所以∫x*e^xdx=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x+C=e^x(x-1)+C，所以∫(0→1)x*e^xdx=e^1(1-1)-e^0(0-1)=0-(-1)=1。

5.(-5,5,-5)

解析：向量u=(1,2,3)，v=(2,-1,1)，向量積u×v=|ijk|=|123|=i(2*1-3*(-1))-j(1*1-3*2)+k(1*(-1)-2*2)=i(2+3)-j(1-6)+k(-1-4)=5i+5j-5k=(-5,5,-5)。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型解析

1.極限、連續(xù)性：考察了函數(shù)的極限計(jì)算、連續(xù)性判斷以及導(dǎo)數(shù)的概念。

2.積分、微分方程：考察了不定積分的計(jì)算、微分方程的求解。

3.向量、矩陣：考察了向量的模長、向量積的計(jì)算以及矩陣的乘法和可逆性。

4.概率論：考察了事件的概率計(jì)算、互斥事件的判斷。

5.數(shù)列：考察了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的極限計(jì)算。

示例

例如，在計(jì)算題中，計(jì)算極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的示例：

lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

在填空題中，計(jì)算a_4的示例：

a_1=2，a_n=3a_{n-1}-1，所以a_2=3*2-