第十章磁場微專題17

帶電粒子在組合場中的運動壹考點一磁場與磁場組合磁場與磁場的組合問題實質(zhì)就是兩個有界磁場中的圓周運動問題，帶電粒子在兩個磁場中的速度大小相同，但軌跡半徑和運動周期往往不同．解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點與兩圓心共線的特點，進一步尋找邊角關系．典例1

(2025·蘇州期初調(diào)研改編)如圖所示的xOy坐標系中，在x軸上方有垂直xOy平面向里、范圍足夠大的勻強磁場，一質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子在xOy平面內(nèi)運動，某時刻粒子經(jīng)過y軸上y＝a的P點，速度方向與y軸正方向夾角為θ＝30°，經(jīng)過時間t0粒子經(jīng)過x軸，速度方向與粒子在P點速度方向相反，不計粒子的重力．(1)求粒子運動的速度v0和磁場Ⅰ的磁感應強度大小B1.(2)若粒子經(jīng)過P點時，在x軸上方再疊加一個方向垂直xOy平面的勻強磁場Ⅱ，使粒子能在磁場中做完整的圓周運動，求勻強磁場Ⅱ的磁感應強度B2的大小和方向．(2)有兩種情況：①B2與B1同方向，粒子順時針轉(zhuǎn)動，設最大半徑r1，對應B1＋B2最小，則r1＋r1sin30°＝a②B2與B1反向，粒子逆時針轉(zhuǎn)動，設最大半徑r2，對應B2－B1最小，則r2－r2cos60°＝a類題固法11.(2024·如皋二模)如圖所示，坐標系xOy平面在紙面內(nèi)，在x≥0的區(qū)域存在垂直紙面向外的勻強磁場，0≤x<d的區(qū)域Ⅰ和x>d的區(qū)域Ⅱ的磁感應強度大小分別為B1和B2.大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從原點O在坐標平面內(nèi)以與x正方向成θ(－90°≤θ≤90°)角射入，粒子的速度大小相等，方向隨角度均勻分布．沿y軸正方向射入的粒子在P(d，d)點垂直兩磁場的邊界射入?yún)^(qū)域Ⅱ.不計粒子的重力和粒子間的相互作用．(1)求粒子從原點O射入磁場時的速度大小v.(2)若在兩磁場分界處有一垂直于xOy平面的足夠大豎直擋板，求打到擋板上的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比η.(3)若粒子在區(qū)域Ⅱ中受到與速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系數(shù)為k，觀察發(fā)現(xiàn)沿y軸正方向射入的粒子，射入?yún)^(qū)域Ⅱ后粒子軌跡呈螺旋狀并與兩磁場的邊界相切于Q點(未畫出)，求該粒子由P點運動到Q點的時間t及該粒子在區(qū)域Ⅱ中運動軌跡的長度l.(2)由R＝d，當初速度方向沿x軸正方向時，軌跡與磁場邊界相切，此時粒子剛好打到擋板上，0°≤θ≤90°范圍內(nèi)的粒子都能打到擋板，所以打到擋板上的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比(3)該粒子在區(qū)域Ⅱ中的運動軌速如圖所示粒子在區(qū)域Ⅱ中做螺旋線運動，由于存在阻力，所以最后會停下來，在切線方向上，由牛頓第二定律有k∑(vtΔt)＝m∑Δvt，求和得

kl＝mv貳考點二電場與磁場組合1.帶電粒子在勻強電場中做勻加速直線運動，在勻強磁場中做勻速圓周運動，如圖所示．2.帶電粒子在勻強電場中做類平拋(或類斜拋)運動，在磁場做勻速圓周運動，如圖所示．3.常見粒子運動的解題方法(1)加速電壓U.(2)離子首次到達x軸的坐標范圍．(3)到達探測板的離子數(shù)占發(fā)射的總離子數(shù)的比例η.(2)由于粒子帶正電，磁場垂直于紙面向外；可以作出離子在磁場中的軌跡．最小速度的軌跡圓最小，將出射點標記為A.最大速度的軌跡圓最大，將出射點標記為B.離子首次到達x軸的范圍在A、B之間．過入射點O作入射速度方向的垂線，過出射點A作出射速度方向的垂線，交匯于C點，該點為最小軌跡圓的圓心，OC、AC為半徑．如圖所示由于入射速度與x軸正方向的夾角為30°，所以α＝90°－30°＝60°由于OC、AC為軌跡圓半徑，故OC＝ACθ＝β＝α＝60°所以AC的長度等于最小軌跡圓半徑，入射速度為v，由于向心力等于離子所受的洛倫茲力(3)由于探測板足夠長，所以不用考慮粒子從水平方向離開探測板范圍的可能性．僅需要考慮豎直方向的運動．電場強度方向向上，對正離子的作用力和加速度向上，大小為根據(jù)離子豎直方向速度剛好在到達探測板時減為0，列出運動學方程類題固法21.如圖所示，在xOy平面內(nèi)第一、四象限內(nèi)存在垂直平面向外的勻強磁場，第一象限磁場的磁感應強度為B0，第三象限內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強電場，電場強度為E.一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子，從第三象限內(nèi)A點以速度v0沿x軸正方向射出，恰好從原點O射入第一象限，射入時的速度方向與x軸正方向的夾角為60°，不計粒子重力．(1)求A點離x軸的距離．(2)求第四象限的勻強磁場的磁感應強度滿足什么條件時，粒子恰好不能再射入第三象限．(3)若第四象限的磁感應強度為2B0，帶電粒子恰能以經(jīng)過O點的速度經(jīng)過x軸上的C點，OC距離為L，求帶電粒子從O點運動到C點的時間．【解析】(1)粒子沿y軸方向做勻加速運動，則運動三分之一圓周進入第四象限，要使粒子恰好不再進入第三象限，粒子的運動軌跡和y軸相切，設粒子在第四象限的運動半徑為r2，則2r1cos30°＝r2＋r2cos30°粒子在第一象限運動三分之一圓周的時間在第四象限運動三分之二圓周的時間當粒子經(jīng)過C點進入第一象限時t＝n(t1＋t2)(n＝1,2,3，…)(1)若兩邊界之間的勻強電場場強大小為E0，求粒子第一次離開區(qū)域Ⅰ磁場前的運動時間t1和第一次到達區(qū)域Ⅱ磁場時的速度大小v1.(2)若粒子第一次經(jīng)過區(qū)域Ⅱ磁場后恰好能回到原點O，求兩邊界間電勢差．【解析】(1)粒子在區(qū)域Ⅰ磁場中圓周運動的周期(2)設粒子在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ磁場中圓周運動的半徑分別為r1、r2，在區(qū)域Ⅱ磁場中速度為v2，粒子在電場中運動加速度為a，兩邊界間電勢差為U，軌跡如圖所示由幾何關系有r2＝r1或r2＝2r1解得v2＝2v0或v2＝4v0(3)設粒子在區(qū)域Ⅱ磁場中圓周運動的半徑為r，軌跡如圖所示由幾何關系可知叁配套精練1.如圖所示，在xOy平面內(nèi)，0<x<L的區(qū)域內(nèi)有一沿y軸正方向的勻強電場．x>L的區(qū)域內(nèi)有一方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場．某時刻，一帶正電的粒子從坐標原點以沿x軸正方向的初速度v0進入電場，之后的某一時刻，另一帶等量負電的粒子以同樣的初速度從坐標原點進入電場．正、負粒子從電場進入磁場時速度方向與電場和磁場邊界的夾角分別為60°和30°，兩粒子在磁場中分別運動半周后在某點相遇．兩粒子的重力以及兩粒子之間的相互作用都可忽略不計．求：(1)正粒子從O點運動到A所用的時間．(3)兩粒子先后進入電場的時間差．(2)設粒子進磁場方向與邊界的夾角為θ.vy＝a·tqE＝ma設兩粒子在磁場中運動半徑為r1、r2，由幾何關系2r1＝(y1＋y2)sin60°2r2＝(y1＋y2)sin30°兩粒子在磁場中運動時間均為半個周期v0＝v1sin60°，v0＝v2sin30°由于兩粒子在電場中運動時間相同，所以進電場時間差即為磁場中相遇前的時間差Δt＝t1－t22.(2025·鎮(zhèn)江期初)如圖所示，在P點有一粒子源可發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子．以O為圓心有一大圓與小圓，大圓半徑為r，大圓外存在方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，大圓與小圓之間的區(qū)域存在方向沿半徑向外的輻向電場，不計粒子重力．①求大小兩圓間的電勢差U.②求該粒子再次回到P點時在磁場中經(jīng)歷的時間．解得粒子在磁場中運動的半徑為R＝4r(2)①

粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示②

粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示由幾何關系可知，粒子在磁場中運動的總的圓心角為θ＝150°＋300°＋300°＋150°＝900°所以，該粒子再次回到P點時在磁場中經(jīng)歷的時間為3.如圖所示，y方向足夠長的兩個條形區(qū)域，寬度分別為l1＝0.1m和l2＝

0.2m，兩區(qū)域分別分布著磁感應強度為B1和B2的磁場，磁場方向垂直于xOy平面向外，磁感應強度B2＝0.1T．現(xiàn)有大量粒子從坐標原點O以恒定速度v＝2×106m/s不斷沿x軸正方向射入磁場，由于B1的大小在0～0.5T范圍內(nèi)可調(diào)，粒子可從磁場邊界的不同位置飛出．已知帶電粒子的電荷量q＝－2×10－8C，質(zhì)量m＝4×10－16kg，不考慮帶電粒子的重力．求：(1)要使粒子能進入B2的磁場，B1應滿足的條件．(2)粒子在條形區(qū)域內(nèi)運動的最短時間t.(3)粒子從y軸飛出磁場時的最高點坐標y.【解析】

(1)當帶電粒子在B1磁場中圓周運動的半徑大于l1時粒子能進入磁感應強度B2的磁場．代入數(shù)據(jù)得B1＝0.4T因此B1滿足的條件為0≤B1<0.4T(2)當B1＝0時，粒子水平向右進入B2磁場粒子從右邊界MN飛出粒子在兩個條形區(qū)域運動的時間為隨著B1的增大，如圖所示，根據(jù)時間等于弧長與速度的比值可知，粒子在磁場中的運動時間先增大，后減小，當B1達到最大值0.5T時，粒子從左邊界飛出，運動時間為所以粒子在兩個條形區(qū)域內(nèi)運動的最短時間為t2＝1.26×10－7s(3)設A1為粒子從MN射出的最高點，則A1為軌跡與邊界MN的切點，如圖所示，O1為粒子在B1磁場中運動的圓心，O2為粒子在B2磁場中運動的圓心，由幾何知識可得O2C2＝r2－(l1＋l2)＝0.1m由對稱性知，粒子從y軸飛出磁場時的最高點坐標(1)粒子從O運動到P的時間t1.(