江蘇省昆山市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編定向練習考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、小明想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當它把繩子的下端拉開4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．9m2、《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，記載著這樣一個問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？”大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則可列方程為（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）23、如圖，正方形ABCD中，AB＝12，將△ADE沿AE對折至△AEF，延長EF交BC于點G，G剛好是BC邊的中點，則ED的長是（）A．2 B．3 C．4 D．54、如圖，正方形的邊長為10，，，連接，則線段的長為（

）A． B． C． D．5、如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為1），點A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么△ABC中BC邊上的高是（

）A． B． C． D．6、如圖，由6個相同小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C均在格點上，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°7、如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，某農(nóng)舍的大門是一個木制的長方形柵欄，它的高為2m，寬為1.5m，現(xiàn)需要在相對的頂點間用一塊木板加固，則木板的長為________．2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，則點C到AB的距離是_______．3、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．4、無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．5、如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．6、有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為_____尺．7、把兩個同樣大小含角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點，且另外三個銳角頂點在同一直線上．若，則____．8、在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長是________．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛．他趕緊拿出紅外線測距儀，測得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計算敵方汽車的速度嗎？2、細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．OA22=，；OA32=12+，；OA42=12+，…（1）請用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變規(guī)律：OAn2=______；Sn=______．（2）求出OA10的長．（3）若一個三角形的面積是，計算說明他是第幾個三角形？（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．3、在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒，當△ABP為直角三角形時，求t的值．4、做4個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，再做一個邊長為c的正方形，把它們按如圖的方式拼成正方形，請用這個圖證明勾股定理．5、如圖，高速公路上有A，B兩點相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長．6、如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？7、在邊長為8的等邊ABC中，點D是邊AB上的一動點，點E在邊AC上，且CE=2AD，射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°交BC邊于F．（1）如圖1，求證：∠AED=∠BDF；（2）如圖2，在射線DF上取DP=DE，連接BP，①求∠DBP的度數(shù)；②取邊BC的中點M，當PM取最小值時，求AD的長.-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理的方程（x+1）2=x2+42，解方程求得x的值即可.【詳解】如圖所示：設(shè)旗桿AB=x米，則AC=（x+1）米，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，解得：x=7.5．故選B．【考點】本題考查了勾股定理的應用，解決本題的基本思路是是畫出示意圖，利用勾股定理列方程求解．2、C【解析】【分析】首先設(shè)蘆葦長x尺，則水深為（x?1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程（x?1）2＋52＝x2．【詳解】解：設(shè)蘆葦長x尺，由題意得：（x?1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故選：C．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型．3、C【解析】【分析】連接AG，證明△ABG≌△AFG，得到FG＝BG，△ADE沿AE對折至△AEF，則EF＝DE，設(shè)DE＝x，則EF＝x，EC＝12－x，則Rt△EGC中根據(jù)勾股定理列方程可求出DE的值．【詳解】如圖，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．∵△ADE沿AE對折至△AEF，∴EF＝DE，AF＝AD，∵AF＝AD，AB＝AD，∴AF＝AB，又AG是公共邊，∴△ABG≌△AFG（HL），∵G剛好是BC邊的中點，∴BG＝FG＝，設(shè)DE＝x，則EF＝x，EC＝12－x，在Rt△EGC中，根據(jù)勾股定理列方程：62＋（12－x）2＝(x＋6)2解得：x＝4．所以ED的長是4，答案選C．【考點】本題考查了正方形和全等三角形的綜合知識，根據(jù)勾股定理列方程是本題的解題關(guān)鍵．4、B【解析】【分析】延長DH交AG于點E，利用SSS證出△AGB≌△CHD，然后利用ASA證出△ADE≌△DCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出EG、HE和∠HEG，最后利用勾股定理即可求出HG．【詳解】解：延長DH交AG于點E∵四邊形ABCD為正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB和△CHD中∴△AGB≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG＋∠DAE=90°∴∠DCH＋∠DAE=90°∴CH2＋DH2=82＋62=100=DC2∴△CHD為直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH，∵∠CDH＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE和△DCH中∴△ADE≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG－AE=2，HE=DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt△GEH中，GH=故選B．【考點】此題考查是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．5、A【解析】【詳解】先用勾股定理耱出三角形的三邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形，最后設(shè)BC邊上的高為h，利用三角形面積公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：，，，，即∴△ABC是直角三角形，設(shè)BC邊上的高為h，則，∴.故選A.點睛：本題主要考查勾股理及其逆定理.借助網(wǎng)格利用勾股定理求邊長，并用勾股定理的逆定理來判斷三角形是否是直角三角形是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】【分析】連接AC，利用勾股定理分別求出AB、AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到答案．【詳解】連接AC，∵，，，∴，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=(180°-∠ACB)=45°．故選A．【考點】本題考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建三角形，熟練掌握等腰三角形的定義和性質(zhì)，熟練運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形．7、C【解析】【分析】根據(jù)每個小網(wǎng)格都為正方形，設(shè)每個網(wǎng)格為1，由勾股定理可以求出AD、AC、CD的長，再由勾股定理的逆定理得到△ACD為等腰直角三角形，同理可得△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=∠DAC．【詳解】解：如圖，設(shè)正方形每個網(wǎng)格的邊長都為1，連接CD、BC，則，，，，為等腰直角三角形，，同理：，，，，為等腰直角三角形，，．故選：C．【考點】本題考查勾股定理的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵要掌握勾股定理及逆定理的基本知識．二、填空題1、2.5m【解析】【詳解】設(shè)木棒的長為xm，根據(jù)勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的長為2.5m．故答案為2.5m．2、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出直角邊BC的長，再根據(jù)三角形的面積為定值即可求出則點C到AB的距離【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，則有AC2+BC2=AB2∵AC=9，BC=12，∴AB=在Rt△ABC中,∠C=90°，則有AC2+BC2=AB2，∵AC=9，AB=15，∴BC==12，∵S△ABC=AC?BC=AB?h，∴h==故答案為【考點】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵3、5【解析】【分析】根據(jù)角度轉(zhuǎn)換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運用勾股定理計算出DE的長.【詳解】∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【考點】本題主要考查到運用勾股定理求長度，說明三角形ADE是直角三角形是解題的關(guān)鍵.4、5【解析】【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度，進而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度為：＝15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20?15＝5（cm）．故答案為5．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長是解決問題的關(guān)鍵．5、##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【考點】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6、13【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺，答：蘆葦長13尺．故答案為：13．【考點】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵．7、．【解析】【分析】如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，過點作于，在中，，，，兩個同樣大小的含角的三角尺，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，故答案為．【考點】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．8、3【解析】【分析】過點C作CE∥AB交AD延長線于E，先證△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可．【詳解】解：過點C作CE∥AB交AD延長線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案為：3．【考點】本題考查中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造三角形全等．三、解答題1、速度為30米每秒【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長度，再根據(jù)速度等于路程除以時間即可求得敵方汽車的速度．【詳解】，，米每秒，答：敵方汽車的速度為30米每秒．【考點】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2、（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）說明他是第20個三角形；（4）．【解析】【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意觀察數(shù)據(jù)的變化，（2）結(jié)合（1）中規(guī)律即可求出OA102的值即可求出，（3）若一個三角形的面積是，利用前面公式可以得到它是第幾個三角形，（4）根據(jù)題意列出式子即可求出．【詳解】（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：OAn2＝n；Sn＝；（2）∵OAn2＝n，∴OA10＝；（3）若一個三角形的面積是，根據(jù)：Sn＝＝，∴＝2＝，∴說明他是第20個三角形，（4）S12+S22+S32+…+S102，＝，＝，＝，＝．故答案為（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）說明他是第20個三角形；（4）．【考點】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，勾股定理的應用.3、當△ABP為直角三角形時，t＝4或．【解析】【分析】當△ABP為直角三角形時，分兩種情況：①當∠APB為直角時，②當∠BAP為直角時，分別求出此時t的值即可．【詳解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：，∴BC＝4cm，由題意得：BP＝tcm．，①當∠APB為直角時，如圖①，點P與點C重合，BP＝BC＝4cm，∴t＝4；②當∠BAP為直角時，如圖②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，，在Rt△BAP中，，即，解得，答：當△ABP為直角三角形時，t＝4或．【考點】本題考查了勾股定理以及直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應用，以及分類討論，否則會出現(xiàn)漏解．4、見詳解．【解析】【分析】利用4個直角三角形全等，根據(jù)列式，整理即可．【詳解】證明：如圖，，，，∵，即∴，∴．【考點】本題考查了勾股定理的驗證，運用拼圖的方式，即利用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積來驗證勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．5、4km【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出BE的長為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)BE＝xkm，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的長是4km．【考點】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．6、這棵樹在離地面6米處被折斷【解析】【分析】設(shè)，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)，∵在中，，∴，∴．答：這棵樹在離地面6米處被折斷【考點】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進行求解．有時也可以利用勾股定理列方程求解．7、（1）見解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①方法一：連接EP，過點P作GQ∥BC分別交AB，AC于點G，Q，易知△AGQ和△DEP均為等邊三角形，得到△ADE