第二章4.2平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解平面向量坐標(biāo)的概念,會(huì)求平面向量的坐標(biāo).2.掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則,會(huì)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算.3.掌握用坐標(biāo)表示兩向量共線的條件,能運(yùn)用兩向量共線的條件解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一

平面向量的坐標(biāo)表示如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為

.對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作

唯一性

因此,a=xi+yj.我們把(x,y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j}下的坐標(biāo),向量a可以表示為a=(x,y).標(biāo)準(zhǔn)正交基

名師點(diǎn)睛1.在正交基下向量的線性表示稱為正交分解.2.向量與坐標(biāo)的關(guān)系:3.向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)和這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)才相同.思考辨析正交分解與平面向量基本定理有何聯(lián)系?提示

正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基中的兩個(gè)向量互相垂直).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)任意一個(gè)確定的向量的坐標(biāo)是唯一的.(

)(2)與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量坐標(biāo)分別為i=(1,0),j=(0,1).(

)(3)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).(

)(4)相等向量的坐標(biāo)相同.(

)(5)向量的平移會(huì)影響向量的坐標(biāo).(

)√√√√×知識(shí)點(diǎn)二

平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.加法:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=

,即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.

2.減法:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=

,即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.

3.數(shù)乘:設(shè)a=(x1,y1),λ∈R,則λa=

,即實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積.

4.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則

=

,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)5.中點(diǎn)坐標(biāo)公式:若點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則

名師點(diǎn)睛1.進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí),應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來,再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算.2.進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí),先掌握向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若a=(1,2),b=(-2,-1),則2a+b=(0,3).(

)(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),若A(x1,y1),B(x2,y2),則向量

=(x1-x2,y1-y2).(

)√×2.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,則m+n=

.7知識(shí)點(diǎn)三

平面向量平行的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共線的充要條件是

.

x1y2-x2y1=0名師點(diǎn)睛1.相等向量的坐標(biāo)是相同的,但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同.2.若兩個(gè)向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行,則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例,反之也成立.思考辨析若A,B,C三點(diǎn)共線,請(qǐng)問

是什么位置關(guān)系?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)向量a,b(b≠0)共線的充要條件是x1y1-x2y2=0.(

)(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則

.(

)××2.[人教A版教材習(xí)題]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐標(biāo).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求平面向量的坐標(biāo)【例1】

(1)設(shè)i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b與a-b的坐標(biāo).解

因?yàn)閍=3i+4j,b=-i+j,所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b與a-b的坐標(biāo)分別是(2,5),(4,3).(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D為BC的中點(diǎn),求向量

的坐標(biāo).規(guī)律方法

1.若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當(dāng)a=xi+yj時(shí),向量a的坐標(biāo)為(x,y).2.向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo),只有當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo).3.求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo).解題時(shí),常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】

(1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),試求a+3b,3a-2b+c;規(guī)律方法

進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí),應(yīng)先將向量用坐標(biāo)表示出來.一般地,已知向量起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo),可以求出該向量的坐標(biāo).求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo).變式訓(xùn)練2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c等于(

)A.3a+b B.3a-bC.-a+3b D.a+3bB探究點(diǎn)三平面向量平行的條件及應(yīng)用【例3】

已知向量

=i-2j,=2i+μj,其中i,j分別是與x軸、y軸方向相同的單位向量,試確定實(shí)數(shù)μ的值,使A,B,C三點(diǎn)共線.規(guī)律方法

1.由向量共線求參數(shù)值的方法:2.a∥b(b≠0)的充要條件有兩種表達(dá)方式:(1)a∥b?a=λb(λ∈R);(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.變式訓(xùn)練3已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判斷

是否共線?如果共線,它們的方向相同還是相反?本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)平面向量的坐標(biāo)表示;(2)平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示;(3)兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示的公式易記錯(cuò).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123451.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量

=(

)A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)D12345A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10)A12345D123454.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且