汕頭市2024～2025學(xué)年度普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第Ⅰ卷選擇題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算：（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.2.已知，，與的夾角為60°，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知求解.【詳解】由.故選：C3.學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)是參加100m跑的同學(xué)，是參加200m跑的同學(xué)，是參加400m跑的同學(xué)，學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽，則下列集合的運(yùn)算能說明這項(xiàng)規(guī)定的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意參加其中任意兩項(xiàng)的同學(xué)，不可能參加第三項(xiàng)比賽，結(jié)合各項(xiàng)集合運(yùn)算即可得.【詳解】由題意，參加其中任意兩項(xiàng)的同學(xué)，不可能參加第三項(xiàng)比賽，故，而其它各項(xiàng)集合運(yùn)算不能說明該規(guī)定.故選：C4.以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是（）A.70 B.66 C.62 D.58【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用組合數(shù)求從8個(gè)頂點(diǎn)任選4個(gè)的情況數(shù)，再排除4點(diǎn)共面的情況數(shù)，即可得.【詳解】由正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，從中任選4個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)，其中有12種情況4點(diǎn)共面（6個(gè)側(cè)面，6個(gè)對(duì)角面），所以以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：D5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用二倍角正弦公式、平方關(guān)系及齊次法求函數(shù)值.【詳解】由.故選：B6.音量大小用聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）表示，聲強(qiáng)級(jí)與聲強(qiáng)I（單位：）的關(guān)系是：，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng).人能承受的最大聲強(qiáng)為1，對(duì)應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為120dB.若學(xué)生早讀期間讀書的聲音的聲強(qiáng)級(jí)范圍為（單位：dB），則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A.（單位：）B.學(xué)生早讀期間讀書的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C.如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，則對(duì)應(yīng)聲強(qiáng)級(jí)也變?yōu)樵瓉淼?倍D.如果聲強(qiáng)級(jí)增加10dB，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知求得，即，再應(yīng)用指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，可得，A對(duì)；所以，若，則，所以，B對(duì)；若，則，C錯(cuò)；若，則，可得，D對(duì).故選：C7.已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則對(duì)于，下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】舉反例即可判斷ABC，再分類討論時(shí)和時(shí)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】令，，，，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，C錯(cuò)；一般情況，時(shí)，，，，，此時(shí)；時(shí)，，左邊，右邊左邊，D對(duì)；故選：D．8.設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開式中的系數(shù)為15，則（）A. B.展開式中，中間項(xiàng)的系數(shù)為C.展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為32 D.當(dāng)時(shí)，的末兩位數(shù)字是61【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及展開式的應(yīng)用依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為，，又，可得，A對(duì)；所以展開式通項(xiàng)為，，共有7項(xiàng)，則時(shí)為中間項(xiàng)，系數(shù)為，B錯(cuò)；由上，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，C對(duì)；時(shí)，，故末兩位數(shù)字為，D對(duì).故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.在上有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)C.在上遞增D.方程在上所有根的和為【答案】AB【解析】【分析】應(yīng)用三角恒等變換得，再由余弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，所以最小正周期為，A對(duì)；由，則，結(jié)合余弦函數(shù)圖象及極小值點(diǎn)定義知，區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，B對(duì)；由，則，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，C錯(cuò)；由題設(shè)或，則或，，所以，故所有根的和為，D錯(cuò).故選：AB11.已知P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，（），線段PQ的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，是拋物線B.當(dāng)時(shí)，是離心率為的橢圓C.當(dāng)時(shí)，是離心率為的雙曲線D.若與圓O有公共點(diǎn)，則m的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圓的性質(zhì)、橢圓和雙曲線的定義判斷點(diǎn)M的軌跡的對(duì)應(yīng)曲線，數(shù)形結(jié)合依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：如下圖，當(dāng)，則為圓與正半軸的交點(diǎn)，則是圓的一條弦，所以必與原點(diǎn)重合，即是一個(gè)點(diǎn)，不是拋物線，錯(cuò)；B：如下圖，當(dāng)，則在線段上，故，所以軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，即，故離心率為，對(duì)；C：如下圖，當(dāng)，則在線段兩側(cè)的延長線上，且，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，即，故離心率為，對(duì)；D：由上分析，時(shí)是定點(diǎn)（原點(diǎn)），不滿足；時(shí)，是以為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，且，顯然不可能與圓O有公共點(diǎn)，不滿足；時(shí)，是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，若時(shí)，，即雙曲線左支與圓O有公共點(diǎn)，若時(shí)，，即雙曲線不可能與圓O有公共點(diǎn)，所以，對(duì).故選：BCD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與斜率的關(guān)系求出切線方程，聯(lián)立曲線和切線方程，根據(jù)方程只有一個(gè)解求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，即切線的斜率為2，所以由點(diǎn)斜式得即，聯(lián)立整理得，因?yàn)榍芯€與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為只有一個(gè)根，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，即，解得，綜上或，故答案為:或.13.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約有40%人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率約為___________．【答案】0.375【解析】【分析】設(shè)出總體容量即學(xué)校的人數(shù)，根據(jù)概率計(jì)算出樣本容量，然后再計(jì)算出所求概率.【詳解】設(shè)該學(xué)校人數(shù)為，依題意得，近視的人數(shù)為，玩手機(jī)超過1小時(shí)的人有，近視人數(shù)為，于是玩手機(jī)小于1小時(shí)但又近視的人數(shù)為，玩手機(jī)小于1小時(shí)的總?cè)藬?shù)為，這類人的近視率約為.故答案為：14.如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得，，，所以，，，所以，故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，可得①，由可得，整理可得②，聯(lián)立①②可得，，所以，.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，上式下式得，因此，.16.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．（1）求A；（2）若，則的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理，得到，再由輔助角公式求出答案；（2）由三角形面積公式求出，由余弦定理得到，從而得到，得到周長.【小問1詳解】由正弦定理得，其中，故，因?yàn)?，所以，故，即，所以，因?yàn)椋?，故，解得；【小?詳解】由三角形面積公式得，故，由余弦定理得，解得，故，解得，故，周長為6.17.如圖，四棱錐中，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：平面PAB；（2）求直線CE與平面PAB間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取為的中點(diǎn)，連接，可證四邊形為平行四邊形，得，再根據(jù)線面平行的判定定理可證；（2）轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)E與平面PAB間的距離，取的中點(diǎn)，連接，可證平面平面，建立合適空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)面距的向量公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】若為的中點(diǎn)，連接，E為PD的中點(diǎn)，則且，由，，則且，故為平行四邊形，所以，平面，平面，故平面；【小問2詳解】由（1）知直線CE與平面PAB間的距離，即為點(diǎn)E與平面PAB間的距離，由，，，取的中點(diǎn)，連接，所以四邊形為矩形，，由是以AD為斜邊等腰直角三角形，，，由，且都在平面內(nèi)，則平面，由，則平面，平面，則平面平面，以為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，由平面，平面，則，在中，則，由，所以，可得，所以，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，所以直線CE與平面PAB間的距離為.18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個(gè)零點(diǎn).若，當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知在有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).從而可得取值范圍為.試題解析：（1）的定義域?yàn)?，，（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，即.又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).19.如圖，已知拋物線.點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)P（x,y）,過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.（